2020届安徽阜阳高三教学质量统测数学理试题及答案

2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学(理)试题

及答案一、单选题1.设集合A={xl2<l-x<4},B={rlx2-4x-120),则A(B)=F()>uA.(-2,-1)B.(-3,6)C.(-3,6]D.(-6,2)【答案】B【解析】算出集合3,求出任人直接进行交集运算即可.【详解】因为A={xl-3<x<-1}, 8={尤I-2<x<6},所以A(B)={xl-3<x<6}.【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2.已知复数”J，1为z的共朝复数，则匕=( )ZA.'B. C.-D.11212 2 2 2【答案】C【解析】求出直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】1+z2-zl-3z = = •第1页共24页

故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题..某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A.6.25% A.6.25% B.7.5% C.10.25% D・31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为 250 X20%=6.25%.250+450+100故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题..已知tan:历，则cos[2。-曰二（）I4）第2页共24页

A・立 B._红6 6C.4+亚C.4+亚• 6cosf2—口化简为关于tana的式子，代入12口a二&即可得解.I4）【详解】f一 兀、cos2a一—I 4)<2 - f一 兀、cos2a一—I 4)<2 - 22.-=——cos2a+——sin2a22豆(cos2

2a—sin2asinacosa/一tan/一tan2\) 2tana2G+tan2a) 1+tan2a、2(cos2a—sin2a),2sinacosa2(cos2a+sin2a)cos2a+sin2a五24-v'2二一十一二 .6 3 6故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1在化简中的妙用，属于基础题.，-y<o,5.若一y满足约束条件L+y<2,，则z二4x+y的取值范围x+1>0,为（）.[—5,—1] B.[—5,5] C.[—1,5] D.[—7,3]【答案】B【解析】根据约束条件作出可行域，找到使直线y=-4x+z的截距取最值得点，相应坐标代入z=4x+y即可求得取值范围.第3页共24页【详解】画出可行域，如图所示:由图可知，当直线z=4X+y经过点A(-1,-1)时，z取得最小值—5;经过点5(1,1)时，z取得最大值5,故-5z5.故选：B -AA【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题..山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N60,52),则直径在（75,90］内的概率为（ ）附：若X〜N（n,o2），则pQ_o<XN+o）=0.6826,P（n-2o<XN+2o）=0.9544.A.0.6826/ B.0.8413 C.0.8185D.0.9544【答案】C【解析】根据服从的正态分布可得N=80,o=5，将所求概率转化为P(M-o<X<^+2o),结合正态分布曲线的性质可求得结果.第4页共24页【详解】由题意，自=80,o=5，贝UP(75<X85)=0.6826,P(70<X90)=0.9544,所以P(85<X90)=2x(0.9544—0.6826)=0.1359，P(75<X90)避.6826+0.1359=0.8185.故果实直径在(75,90］内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题..将函数f(x)=sin(3x+上］的图象上各点的横坐标伸长到原I6)来的6倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)为奇函TOC\o"1-5"\h\z数，则m的最小值为( )A.三 B.2 C.四 D.三18 9 6 3【答案】D【解析】由条件根据函数y=Asin®x+勺)的图像变换规律，得到相应的函数解析式，再根据正弦型函数的奇偶性求得m的范围.【详解】由题意知g(x)=sinf1x-m+口，因为g(x)是奇函数，所以12 26)-m+1=k兀，keZ.解得m」-2k兀，keZ.因为m>0，所以m的26 3最小值为1.3第5页共24页故选：D【点睛】本题考查有关函数图像的变换问题，正弦型函数的奇偶性，属于基础题..在AABC中，“B=—”是“tanC2sinC一2cosA)=2sinA一、J2cosC”4的()A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由tanC=sinC化简等式得,和=2sin(A+C)=2sinB，解cosC得B=：或B=,再判断即可.【详解】由tanC('2sinC一2cosA)=2sinA一<12cosC,得sinC(；2sinC一2cosA)=cosCQsinA一<2cosC),所以22sin2C-2sinCcosA=2cosCsinA一<2cos2C，所以、：2=2sin(A+C)=2sinB，解得B二—或B=把.4 4前者可以推出后者，后者推不出前者，故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，三角恒等变换化简等式，属于基础题..一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,第6页共24页

小圆柱底面半径为『大圆柱底面半径为厂2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为rA.r1(rB.rC.rA.r1(rB.rC.D.【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为兀r12hj在图2中，液面以上空余部分的体积为*幺.因为兀r12々二兀r22h2，所以hIr1Ir12故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题..已知定义在R上的函数f(Q满足f(Q=f(f),且在(0,+8)上是增函数，不等式f(ax+2)<f(-1)对于xJ,2卜恒成立，则的取值范围是A.-3,-1B.-1,-2C.-2,0 D.[0,1]【答案】a第7页共24页【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(f0)上是减函数，由此可将不等式化为-1<QX+2<1；利用分离变量法可得-3<a<-1，求得-3的最大值和-1的最尢尢 尢 x小值即可得到结果.【详解】f(X)=f(-X) ：.f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称••又f(x)在(0,收)上是增函数 f(X)在(-8,0)上是减函数f(ax+2)<f(—1) 「.ax+2<1，即—1<ax+2<1-1<ax+2<1对于xJ,2］恒成立 ，-3<a<-1在h,2］上恒x x成立••，-3<a<-1，即a的取值范围为：［-3,-112 2本题正确选项：A【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11.双曲线C：三-竺=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别a2b2TOC\o"1-5"\h\z为FjF2PP为双曲线左支上一点，且PFjGF］+OP)=0(O为坐标原点)，cos/PFF="，则双曲线C的离心率为( )21 13A.2B.5 C.13- D：133 5 7第8页共24页【答案】D【解析】取PF的中点为M，贝UOM1可得PF1OM，则PF1 1而求得离心率.=I"+OP），根据题意1PF，由cosZPFF=—【解析】取PF的中点为M，贝UOM1可得PF1OM，则PF1 1而求得离心率.=I"+OP），根据题意1PF，由cosZPFF=—可求出acc，从2 21 13【详旬如图，取PF的中点为M，则OM=1（OF+OP），1由PF.(OF+OP)=0，得1 1因为OM为PF1OM.1APF]F2的中位线，所以PF1PF.由cosZPFF=，设I21 13 1，得了的离心率为c=U.a7所以2a=PF—PF=7212c=勺F2=13-故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.12.设函数f（x）二三x一（lnx+x+2]恰有两个极值点，则实数t的取值范围是A.C.1一8，21e2,3可，+87V3 7UB.D.1-8,2第9页共24页【答案】C【解析】f(Q恰有两个极值点，则f,x二0恰有两个不同的解，求出f,x可确定x=1是它的一个解，另一个解由方程J-t-0确定，令g(x)二三(x>0)通过导数判断函数值域求x+2 x+2出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数f(x)的定义域为0,+8，f\x)=(xzlhx2(x-1)ex—t(x+2)] (x-1)(x+2)二、填空题13.已知等差数列"｝的前n项和是Sn，a4.丫6，且a1,a3,a8成等比数列，则S0=.a3【答案】g2【解析】设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.【详解】设公差为d，则有12d=6\ （、解得卜「4ya+2d）2=aya+7d）, d=3,ii ii从而a=3n+1，故工=甯=35.n a10 2故答案为：352【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和，属于基础题.14.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有北BC满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB=4，D为“弦”BC上一点（不含端点），且AABD满足勾股定理，则（CB-CA）.AD=.【答案】史25【解析】先由等面积法求得AD，利用向量几何意义求解即可.第11页共24页【详解】由等面积法可得AO=吧=U,由等面积法可得AO=吧=U,依题意可得,5 5所以（C8—CA）ad^abad^\adAD1BC，2_144故答案为：吧25【点睛1—一本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15.（x2+1V1X--615.（x2+1V1X--6的展开式中所有项的系数和为常数项为.【答案】3 -260【解析】(1)令求得所有项的系数和；(2)先求出U展开式中的常数项与含，的系数，再求Q+2)f2x」T展开X2 X)式中的常数项.【详解】将X=1代入Q+2“2x」「得所有项的系数和为3.kx)因为的展开式中含工的项为0(2、弁」丫=竺，Rx-JT的展%2 6yXJX2 X)开式中含常数项C3(2x"当3=-160,所以Q+2丫2工—『的展6IX) Vx)开式中的常数项为60-320=-260.故答案为：3;-260【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的第12页共24页

特殊项问题，属于基础题.16.过抛物线C:x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是.【答案】4【解析】先求出直线PA，PB的方程，联立解得x=工，p2由点p是两切线的公共点求得AB的方程为y=B+1,表示2出A，b两点到准线的距离之和并化简为5+x2〉+4，从而4求得最小值.【详解】设A(x,y),B(x,y),则直线PA，PB的方程分别为y=5x-X211 22 2 4xx2y=-2rx-才，联立解得x=4，y=二.又直线PA，PB的方程分别可p2p4表示为y=2x-yi,y=]x-y/将p点坐标代入两方程，得yP=所以直线AB的方程为修-y=-1,即y=安+1，所以A点到准线的距离与b点到准线的距离之和为(x Atx(x Atx+1+I21)(x Atx+1+2—I22) -+x2(x+x)+4=—1——=+44.故答案为：4【点睛】第13页共24页本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17.AABC的内角A，b，C的对边分别为“，b，c，已知(sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC，点D为边bc的中点，且AD=<7・⑴求A；(2)若b=2c，求AABC的面积.【答案⑴A=1 ⑵2点【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A；(2)由ad为AABC的中线得2AD=AB+AC，同时平方可得28=c2+b2+bc，与b=2c联立解出b,c的值，代入三角形面积公式即可得解. 一一一【详解】解：(1)由(sinA+sinB)(a—b)+bsinC=csinC，可得a2—b2+bc=c2，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a2=—，2bc 2所以A=1.3(2)因为ad为AABC的中线，2AD=AB+AC，两边同时平方可得4AD2=AB2+AC2+2|AB|•|ac|cosA，故28=c2+b2+bc•因为b=2c，所以c=2rb=4.一一一所以AABC的面积S =1bcsinA=2.3.AABC2【点睛】第14页共24页本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题.18.已知数列｛“满足「二1，且a「3a”+1二a£讨+1.（1）证明数列［，］是等差数列，并求数列｛a｝的通项公Ia+11 nnn）式；（2）若b;含，求数列｛”的前n项和S；n【答案】（1）证明见解析，a=2-1 （2）S=（n-1>2n+1nn n【解析】（1）由a-3a=aa+1，利用定义能证明［，］是nn+1nn+1 Ia+11n以1为公差的等差数列，从而求出a=2-1；（2）由2 nnb=二二=n.2n-1，利用错位相减法即可求得数列｛b｝的前n项na+1 nn和.【详解】解：（1）因为a-3a=aa+1，所以a=a—1，nn+1nn+1 n+1a+3TOC\o"1-5"\h\z两边都加上1，得a+1=2（aJ，n+1 a+3n所以，=41+上［=L，，即--2=1，a+121a+1I2a+1 a+1a+12n+1 'n, n n+1 n所以数列［L］是以1为公差的等差数列，且首项是［a+1J 2n1_1 =一，a1+12所以1=£，即a=2-1.a+1 2 nnn第15页共24页(2)因为bn=为二n.2n一1，所以数列“｝的前n项和nS=1X1+2X21+3X22+…+n•2n-1,①则2S=1x21+2x22+3x23+…+n.2n,②由①一②，得-S=1x1+1X21+1X22H F1x2n-1—n•2n=(1—n)2n—1,n所以Sn=(n-1).2n+1.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，错位相减法求数列前n项和，属于中档题.19.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数属于［0,50］,(50,100］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；第16页共24页

（2）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气’0,0x100,质量指数，的关系式为y1220,100<x250,，试估计该企业一,1480,250<x300,个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.【答案】（1）至 （2）9060元114【解析】（1）根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；（2）任选一天，设该天的经济损失为x元，分别求出P（x=0），P（x=220），P（x=1480），进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设&为选取的3天中空气质量为优的天数，则P也2）=P（a2）+P（&=3）=2+2=二.C3 C3 11420 20（为任选一天，设该天的经济损失为x元，则x的可能取值为0，220，1480，P(x=0)=P(0x100)=至=1，100570 7P(x=220)=P。00<x250)=一=一，10010P(x=1480)=P(250<x300)=9=—，10010所以Ex=0X1+220XL+1480X—=302(元)，5由10故该企业一个月的经济损失的数学期望为30Ex=9060(元).【点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望,属于基础题.20.如图20.如图1,在等腰梯形ABFF中，12底边第17页共24页AB=6,F1F2=4,d，C是AB的三等分点，£是FF2的中点.分别沿CE，DE将四边形BCEF1和ADEF2折起，使F1,F2重合于点F，得到如图2所示的几何体.在图2中，M,N分别为CD，EF的中点.（1）证明：MN±平面ABCD.（2）求直线CN与平面ABF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）江3【解析】（1）先证cn1ef，再证DN1EF，由EF〃BC可得BC，平面CDN，从而推出MN1平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量与cn，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】 一（1）证明：连接CF，DN，由图1知，四边形BCEF为菱形，且/CEF=60。，所以ACEF是正三角形，从而cn1ef.同理可证，DN1EF，所以EF1平面CDN.又EF〃BC，所以BC,平面CDN，因为BCu平面ABCD，所以平面CDN1平面ABCD.第18页共24页

易知CN=DN，且M为CD的中点，所以MN1CD，所以MN1平面ABCD.（2）解：由（1）可知cn=33，MN=乏，且四边形ABCD为正方形.设AB的中点为G，以M为原点，以MG，MC，MN所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系m—乎，则A（2,-1,0），B（2,1,0），C（0,1,0），N（）,0,22），F（,0,、：2），所以AB=（0,2,0），AF=（1,1八2），CN=（）,-1,v,2）.设平面ABF的法向量为n=（羽y,z），n•AB=0,n•n•AB=0,n•AF=0,-x+y+<2z=0,^取n=(12,0,1).设直小与平面ABF所成的角为。所以sin所以sin9CN•nCNn所以直线CN与平面ABF所成角的正弦值为立.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.第19页共24页21.已知椭21.已知椭斜率为1的直线与椭B两点，且OB1AB，其三+y2=1Q>1）的左顶点为A，右焦点为F，a2中O为坐标原点.（1）求椭C的标准方程;（（1）求椭C的标准方程;（2）设过点F且与直线AB平行的直线与椭C交于M，N两点，若点尸满足OP=3PM，且NP与椭C的另一个交点为Q，求陶的值.【答案（1）+y2=1 （2）25【解析】（1）由题意知AABO是以AO为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出a,即可得解；（2）设点M0y）,N（x2,y2）,Q（%,y）直线mn的方程与椭圆方程联立求出x+x=4,xx=3,yy=.L利用计1 2 2 12 4 12 4算出点Q的坐标，因为点Q在椭圆C上，所以二+y2=1，整理得9(m+1)2理得9(m+1)216m2(1-x2+1311m21x2+1323(1xx+yy]=12m21312。乙)为！xx为！xx+yy=0，x2+y2=1，312 12 3 1子+y2=1，方程解得m=臣,即INPI_25 = .IPQI7【详解】解：（1）因为直线AB的斜率为1，且OB1AB，所以NABO是以AO为斜边的等腰直角三角形，第20页共24页

从而有小二1，l22)代人椭圆C的方程，得'竺=1，解得.2.3,44所以椭圆C的标准方程为*+产二1.3(2)由(1)得/Go),所以直线犯的方程为y=x->/I.TOC\o"1-5"\h\z设点A/(x,y),N(x,y),Q(x,y)?1 1 2 2 3 3将y=不一应代入=+y2=1，得4x2-6y/2x+3=0，所以一…还，xx=3，1 2 2 12 4所以yy=(x3)(-◎)=」.12 1 2 4因为OP=3PM，所以。P=』OM,所以pRx,；y〕・设^^根，贝UnP=加皿,,^-y-y\=mix-^x,y-^-yIPg-P——» 2412J341341J3(m+l) 1所以X= -x-——X,所以34m—rm-2-3(m+l) 1y= y——y-、34m1m2因为点°在椭圆C上，所以号+y『,所以;3(m+l)4m1x-——所以;3(m+l)4m1x-——X1m23(m+l)4m整理得,1m2(1—X2+1323(m+l)f1 )整理得,1m2(1—X2+1323(m+l)f1 ) -XX+yV2m2(312 ) -X2+V2+16m2(3i 1)由上得Lx+yy=0，且可知4+山一1，合+产=1，312 12 3 1 3 2所以的+1>+J_=1，整理得7加2―18根-25=。，16m2 m2第21页共24页解得m=25或m=一1(舍去)，即也=".7 IPQI7【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.22.设函数f(Q=x」，g(x)=tlnx，其中x式0,1),t为正实X数.(1)若f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方,求实数t的取值范围；(2)设H(x)=GnX-x2+1)ex+Q-1)(1」]，证明:对任意x式0,1),Ix)都有H(x)>0.【答案(1)(0,2] (2)证明见解析【解析】(1)据题意可得F(x)=f(x)-g(x)=x-1-1lnx<0在区间x0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t的取值范围；(2)不等式整理为xe，:+]<In-1,由(1)可知当t=2时，*>2，利用导数判断函数xe，[+]的单调性从而证明eex+]<2在区间0,1上成立，从而证明对任意x式0,1),都有H(x)>0.【详解】(1)解：因为函数f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方，所以f(x)-g(x)=x-1-1Inx<0在区间0,1上恒成立.x设f(x)=x-1-tlnx，其中x式0,1),x第22页共24页

所以F<x)=