矩阵分析第3章习题答案2796

矩阵分析第3章习题答案第三章1、已知A(a)是n阶正定Hermite矩阵，在nij维线性空间中向量Cn定义内积为(,)AH(x,x,,x),(y,y,,y)12n12n（1）证明在上述定义下，是酉空间；Cn（2）写出中的Canchy-Schwarz不等式。Cn2、已知A，求的标准正交基。N(A)2111311101提示：即求方程AX0的基础解系再正交化单位化。3、已知126308(1)A316,(2)A103205114试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。UUAUH提示：参见教材上的例子4、试证：在上的任何一个正交投影矩阵是CPn半正定的Hermite矩阵。5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，U使为对角矩阵，已知UAUH131321i61i(1)A326231ii62328、要条件是与的特征值相同。AB同上9、设A是Hermite矩阵，且，则存在酉AA2矩阵，使得UE0r00UHAU10、设A是Hermite矩阵，且，则存在酉AE2矩阵，使得U。UHAUE0r0Enr11、设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：与的特征值实部为0。ABBA证：A为正定Hermite矩阵ALHL，为满秩的。L，(LBLH)HLBHLHLBLH1HEABELHLBLELBLH(LH)是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征LBLH值实部为0,所以的特征值实部为0。AB12、设均是Hermite矩阵，且A正定，试证：A,B与的特征值都是实数。BAAB证明：同上题。，EABELHLBLELBLH(LH)1H(LBLH)HLBHLHLBLH，是Hermite矩阵，HermiteLBLH矩阵的特征值为实数,所以的特征值是实数。AB13、设A为半正定Hermite矩阵，且A0，试证：AE1。证明：A的特征值为，矩阵的行列式等于特0i征值之积。特征值为，AE(1)1AE1ii14、设A为半正定Hermite矩阵，，B是正A0定Hermite矩阵，试证：。ABB证明：，为满秩的。BLLHLABALHLLH(LH)1AL1EL(LH)1AL1ELHL(LH)1AL1EB为半正定Hermite矩阵，由上题(LH)1AL11E1，(LH)1ALAB(LH)1AL1EBB15、设A为正定Hermite矩阵，且AU，则。AEnn证明：存在UUnn，。又diag(,,),01,AUUHni，AUnn2211AUUHUEUHEHEAHAUUHUUHii16、试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的。提示：考查X(AB)XH17、设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。提示：A为正定Hermite矩阵，为满秩ALLLH的。ABLE(LH)1HBLL1(LH)1BL1是反Hermite矩阵，特征值实部为i0,，所以AB0E(LH)1BL1(1)0i18、设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。证明：充分性，酉相似相似。必要性，A，B是n阶正规矩阵，，又A与B相似,与的AUHU,BUHU,UUnnAB111222i特征值相同,可设，1AUUUHUBUHU,UHUUnnH111122121219、设，试证：总存在，使得AtE是正定AAt0HHermite矩阵，是负定Hermite矩阵。AtE提示：A的特征值为，则的特征值为AtEtii20、设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则AE。提示：21、设A、B均为正规矩阵。且ABBA，则与ABBA均为正规矩阵。提示：用Ｐ１５０定理，可以同时酉对角化。A,B22、设，试证：U(AE)(AE)是酉矩阵。AAH1提示：UHU[(AE)(AE)(AE)1(AE)(AE)(AE)1(AE)1(AE)(AE)(AE)1E1]H(AE)(AE)123、设A为n阶正规矩阵，为A的特征,,,12n值，试证：的特征值为AAH。2||,||2,,||212n111提示：，，所以AHAUHAUUHAHAUnnn的特征值为2iii24、设AC，试证：（1）和都是半正定的nnAAHAAHHermite矩阵；（2）和的非零特征值相AAHAAH同。提示：（1）XHAHAX(AX)H(AX)0（2），特征值的重数AHAXXAAHAXAXii也相同，参见P19125、设A是正规矩阵，试证：（1）若（为A0rr自然数），则A0；（2）若，则；（3）AAAA2H若，则。AAAA23226、设，求证以下三条件等价：AA,BBHH（1）AB为正规矩阵（2）ABBA（3）(AB)HAB解：（1）（2）由(AB)H(AB)(AB)(AB)HAHBBHAABHBAH。AHA,BHBABBA（2）（3）,由AA,BBABBHAH(AB)HABBAHH（2）（1）,由(AB)(AB)(AB)(AB)HABBA(AB)(AB)(AB)(AB)31、设AC，则A可以唯一的写为A