#广东省肇庆2012届高三毕业班第一次模拟数学试卷(理科)

肇庆市中小学教学质量评估数学(理科)2012届高中毕业班第一次模拟试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..若复数Z=(x-5)+(3-X)，・在复平面内对应的点位于第三象限，则实数X的取值范围是A.(一-5)B.(3,+oo)C.(3,5)D.(5,+8).已知集合"二{0,1,2},集合N满足N=则集合N的个数是A.6 B.7 C.8 D.9⑵,%>2.已知函数/(x)=lgx的定义域为M,函数y=1。 1 1的定义域为N,则=-3x+l,x<lA.(0,l)B.(2,+s)C.(0,+s)D.(0,l)U(2,+8).“刃<l”是“函数/(X)=X2+X+根有零点”的条件A.充分非必要 B.充要 C.必要非充分D.非充分必要.已知函数/(x)=(cos2xcosx+sin2xsinx)sinx,贝i|/(x)是A.最小正周期为兀的奇函数 B.最小正周期为兀的偶函数兀 兀C.最小正周期为5的奇函数 D.最小正周期为了的偶函数.已知向量〃=(4,3),b=(-2,1),如果向量〃十九)与方垂直，贝iJIZz—九)I的值为.()A.1 B.6 C.5 D.575x<3,2y>x,7.已知羽y满足<qc、么,则z=2x—y的最大值是().3x+2y>6,3y<x+9

15A.TD.28.设“为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数九和向量〃£^^都有九〃 ，则称D.2为“点射域”则下列平面向量的集合为“点射域”的是x-y>0

x+y<0C.{(x,y)lx2+y2-2y>0}D.{(x,y)13x2+2y2-12<0}二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.必做题（9〜13题）x-y>0

x+y<0C.{(x,y)lx2+y2-2y>0}D.{(x,y)13x2+2y2-12<0}二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.必做题（9〜13题）9.I#2—21x1—15>。的解集是1°.在一10的展开式中常数项是,（用数字作答）.某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有.短轴长为逐，离心率的椭圆的两焦点为4勺过F作直线交椭圆于AB两点，则AABF的周长为.如果实数羽y满足等式（X-2）2+w=I，那么的取值范围是 x-1（二）选做题:第14J5题为选做题，考生只能选做一题，请先用2B铅笔填涂选做的试题号对应的信息点，并将选做的题号填写在括号内再作答。114题口15题U.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆p=2上的点到直线phose+V^sine/=6的距离的最小值为.（几何证明选讲选做题）如图2,点尸是。。外一点，尸。为。。的一切线，。是切点，割线经过圆心0,若/EF£>=30。，PD=2、/3,则尸E1=三、解答题本大题共小题，满分分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分12分)已知数列｛〃｝是一个等差数列，且〃=1,〃=-5. (I)求｛〃｝的通项〃；n 2 5 n n5—Q(II)设C= e,b=2c“，求T=logb+logb+logb++logb的值。n2 n 21 22 23 2n.(本小题满分13分)2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：(I)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(II)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(III)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数占的分布列及其均值(即数学期望)。.(本题满分13分)已知△A5C的面积为2JI,内角A,5,C的对边分别为。，4c,已知。=3,/?=4,0<C<90^.(I)求sin(A+5)的值；(兀)(II)求cos2C+-的值；(III)求向量CB,AC的数量积I.(本小题满分14分)如图4,已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-ABC的侧面AACC与底面A5C垂直,11111BC=2,AC=25AB=2&,AA=AC=J6.ii(I)求侧棱在平面AACC上的正投影的长度. /吓丁11 11 /1、、/(II)设AC的中点为D,证明4。，底面ABC； □一方工B(III)求侧面々ABH］与底面A5C所成二面角的余弦值； 图420.(本小题满分14分)圆C的圆心轨迹方程为L,设L上已知圆C与两圆心圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点〃(1»)的距离的最小值为根，点尸(。［)与点〃(1»)的距离为和(I)求圆C的圆心轨迹L的方程；(II)求满足条件根=几的点M的轨迹Q的方程；(III)试探究轨迹Q上是否存在点8(5,八)，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于若存在，请求出点5的坐标；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分14分)设函数/(x)=x2+〃ln(x+l).(I)求函数/(%)的单调区间；(11)若函数/。)=/。)+1口，1有两个极值点外元且x<x,求证/(x)>!.12 12 2 4肇庆市中小学教学质量评估数学（理科）答题卡、选择题号12345678答案、填空:9、10、11、12、13、]4、15、三、解答题：16.（本小题满分12分）17.（本小题满分13分）人数图318.（本题满分13分）19.（本小题满分14分）图420.（本小题满分14分）21.（本小题满分14分）肇庆市中小学教学质量评估数学（理科）答案一、选择:题号12345678答案CCDCADBB、填空:(9)、(9)、0r5f阴0(10)、45.(11)、11 (12)6 (13)-,+oo[3 J(14)1 (15)216解：（I）16解：（I）设%｝的公差为d

na+d-1'由已知条件'「+4〃=-5，（2分）解得4=3,d=-2.(4分)1所以q=a+（zz—V）d——2zz+5.（6分）n1_ 5—5-（~2几+5）*.*a=—2n+5,c— = 二nTOC\o"1-5"\h\zn n2 2b=2cn=2n （8分）n...T=logb+logZ?+logZ?++logb

21 22 23 2n=log2+log22+log23+**+log2n2 2 2 21cc 〃（〃+l）…八=1+2+3++n- （12分）217解：（I）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法（分）II从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：5+20+25+20+30=100人,四川籍的有：15+10+5+5+5=40人，（分）5x设四川籍的驾驶人员应抽取1名，依题意得—二R，解得％=210040即四川籍的应抽取名（7分）（III）］的所有可能取值为0,1,2；（8分）

C1C110d。、。2 1 、P也=0）=S-=—,=1）=C221 C2己的分布列为:»匕、। 1°c1 4均值石（己）=1x——+2x——=—.18解：（I）由2P也=0）=S-=—,=1）=C221 C2己的分布列为:»匕、। 1°c1 4均值石（己）=1x——+2x——=—.18解：（I）由2〃Z?sinC=2,即』x2 2012p102110211217（H分）（13分）3x4sinC=20得sinC=4（2分）•：A+B=lS0o-C：.sin（A+B）=sin（180。一C）=sinC=（4分）（II）由（I）得sinC=*/0<C<90。，cosC=Jl—siruA二cos2C=2cos2C-l=2x2 5一1=§. （6分）：.sin2C=2sinCcosC=2xx3 3 9（7分）.・.小+3I4y7C■——■兀=cos2Ccos--sin2Csin—_5/2"72_5g-4币9 2 9 2 18（III）,/CB-a-3,AC-b-4（9分）（10分）设向量cs与ci所成的角为e,则e=i8o0-c（n分）ACBeAC=|CB|J二Vx4x立二—4"

3（13分）ACACBeAC=|CB|J二Vx4x立二—4"

3（13分）19解：（方法一）（I）・・・45。—45。是斜三棱柱，.・.55〃平面44。。，iii i ii故侧棱在平面AACC上的正投影的长度等于侧棱55的长度.（2分）1111又BB「AA「#，故侧棱BB在平面AACC的正投影的长度等于的.（3分）（II）证明：AC=2^/3,, =AC=76,：.AC2=AA2+AC2・・・三角形AAC是等腰直角三角形，（5分）1又D是斜边AC的中点，・・・AO，AC（6分）1・.•平面AACC，平面ABC,.・.4D，底面ABC（7分）111（HI）作。垂足为石，连A7,VA^XffiABC,.・.AB,平面（8分）i从而有AE1AB,ZAED是面AABBa与面ABC所成二面角的平面角.（9分）1 ill・.・BC=2,AC=2/AB=272,?.ACi=BCi+AB2・・・三角形ABC是直角三角形，AB1BCJ.ED//BC,又。是AC的中点，BC=2,AC=2小：.DE=1,AD=AD=J3,AE=」AD2+DE2=21 1Vla…DE1...cosAED 二—,iAE2

i即侧面A】AB"与底面ABC所成二面角的余弦值为;.（14分）(III)VBC=2,AC=2"AB=272,AC2=AB2+BC2・•・三角形A5C是直角三角形，过B作AC的垂线BE,垂足为E,「厂ABBC2-2722而厂厂r—~2^3则 =丁' ，hr:.DE=CD—EC=E—W=£(8分)以D为原点，4。所在的直线为Z轴，DC所在的直线为y轴，平行于BE的直线为X轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则4（0,—正,0）,4（0,0,、囱，吕］孚,。,0令X=&,得y=-1,Z=1,所以p=（JI,—1,1）是平面A］ABB］的一个法向量.（11分）由（I）得AR,而ABC,所以设平面ABC的一个法向量为4=（。,。/）（12分）设向量P和4所成角为8,则cos®=9=1 1==:（13分）帆M房+1+lxl2

即侧面与底面A5C所成二面角的余弦值为;.（14分）20分析：（I）两圆半径都为1,两圆心分别为。（0,-4）、C（0,2）,由题意得。。=CC,1 2 1 2可知圆心C的轨迹是线段的垂直平分线，的中点为（。，-1）,直线的斜率等于零,12 12 12故圆心c的轨迹是线段的垂直平分线方程为y=-1,即圆c的圆心轨迹L的方程为12y=-1。（4分）（II）因为加二〃，所以M（羽y）到直线y=—1的距离与到点/Q1）的距离相等，故点"的轨迹Q是以y=T为准线，点/Q1）为焦点，顶点在原点的抛物线，y=t即夕=2,所以,TOC\o"1-5"\h\z轨迹Q的方程是X2=4y （8分）1,171（III）由（H）得y=7X2,y=—x,所以过点B的切线的斜率为k=三1，切线方程为4 2 211. . _ 1 _2yy-y=-X（X-X）,令工=0得了=-+y,令y=0得x=——J-+X,i2i1 21 1 x11,111因为点B在42=4y上，所以y=—X2故y=一二筮，x=xi4i 4i2iTOC\o"1-5"\h\z1 11111 1所以切线与两坐标轴围成的二角形的面积为S=7IXUy1=工一二x=—X32 2411|21161设S=k，即二卜二三得口|=2,所以x=±22 161i121i1 1当x=2时，y=1,当x=—2时，y=l,111所以点5的坐标为（2,1）或（—2,1）. （14分）21解:（I）函数/⑴的定义域为（T+与，（1分）fM=2x+2x2+2x+a

x+1(x>—1)(2fM=2x+2x2+2x+a

x+1(x>—1)(2分)令g(x)=2x2+2x+a,则A=4—8”.①当A<。，即:时，g(x)>0,从而/口)>0,故函数/⑴在(T+8)上单调递增；(3②当A=。，即” ■时，g(x)>0,此时尸0)2。，此时/'(%)在/(％)=。的左右两侧不变号，故函数/(X)在(T,+8)上单调递增；(4分)TOC\o"1-5"\h\z1 —1—J1—2a —1+J1—2a 1③当A>。，即时，g(x)=。的两个根为\= ,匕= >--,