#高二(下)数学周练系列(8)理科(选修2–2全书)

高二(下)数学周周练系列(8高二(下)数学周周练系列(8) 学习思维，学会思考，学做真人！高二（下）数学周周练系列（8高二（下）数学周周练系列（8） 学习思维，学会思考，学做真人!高二(下)数学周练系列(8)理科选修2-2全书 杨志明一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.设复数z=1+i，z=2+初，若•z为实数，则 ( )1 2 12A．2 B．1 C．－1 D．－22.已知正三角形内切圆的半径是高的3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是:正四面体内切球的半径是高的( )11A.1 B.— C— D.—3 4.若z=cos6—isin0(i为虚数单位)，则使z2=-1的0值可能是( )A．0B.兀D.2兀4.A．0B.兀D.2兀4.函数在(，)内有极小值，则实数的取值范围是、(0 ) 、(8, ) 、(， 8).曲线y=2%和曲线y=3%2围成的图形的面积是A.2*3 B.—2n C.— D.27.已知函数f(%)的导函数为尸(%)=5+cos%,%e(-1,1),、(35且f(0)=0,如果f(1-%)+f(1-%2)<0，则实数%的取值范围为((0,1)(-(0,1)(-2,-v2)7.已知函数f(%)的定义域为［-2,+功函数y=f'(%)的图象如下图所示.(B)(1,v2)U(—V2,—1)部分对应值如下表.f'(%)为f(%)的导函数，，的取值范围是()a.(3,326C.(3,5)D.a.(3,326C.(3,5)D.(-3,3)8.已知函数f(%)的定义域为［-2,+^),且f(4)=f(-2)=1,f(%%为(%)的导函数，函数y=f'(%)的图象如图所示.则平面区域a>0b>0、f(2a+b)<1A.2、填空题所围成的面积是(B.4C.59.如图所示，函数y=f(%)的图象在点P处的切线方程是y=-%+8，贝uf(5)=D.810.复数z=3+i,z=1-i,则复数3在复平面内对应的点位于第 象限.1 2 z211.图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（5）=；f（n）-f（n-1）=.（答案用数字或n的分析式表示）塞爨 爨阵费R靠 费,靠费爨12.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）,如此继续下去，得图（3）……n11113在RtAABC中，两直角边分别为a、b,设h为斜边上的高，则—= H，由此h2a2b2类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c,设棱锥底面ABC上的高为h，则..观察：①tan10°-tan20°+tan20°・tan60°+tan60°・tan10°=1；②tan15°-tan25°+tan25°・tan50°+tan50°・tan15°=1；③tan13°-tan27°+tan27°・tan50°+tan50°・tan13°=1.已知以上三式成立且还有不少类似的等式成立,请你再写出一个这样的式子：三、解答题.（本小题满分12分）某服装厂品牌服装的年固定成本100万元,每生产1万件需另投入27万元,设服装厂一年内共生产该品牌服装X万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（x）万元.108-3x2(0<x<10)108010000x 3108010000x 3x2(x>10)（I）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（II）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大?（注：年利润二年销售收入－年总成本）

.(本小题12分)已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,neR,m<0.(I)求m与n的关系式；(II)求f(x)的单调区间.(III)当xe[—1,1]时，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围..(本小题14分)(2007年广东卷)如图所示，等腰三角形△ABC的底边AB=6v6，高CD=3,点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且E，AB,现沿EFSABEF折起到4PEF的位置，使P，AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACEF的体积.求求V(x)的表达式；当x为何值时，V(x)取得最大值？当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值..(本题满分14分)…、 兀已知：在函数f(x)=mx3—x的图象上，以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为二.4(I)求m,n的值；(II)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)<k—1993对于xe[—1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；(III)求证：|f(sinx)+f(cosx)|<2f(t+-1)(xeR,t>0).高二()数学周周练系列(8)高二()数学周周练系列(8)学习思维，学会思考，学做真人!高二()数学周周练系列(8)高二()数学周周练系列(8)学习思维，学会思考，学做真人!高二(下)数学周周练系列(8) 学习思维，学申思申，学做斗人L.已知函数f(x)=x-山(11x)数列｛4｝满足0<a<1a__=f(a)~数列｛b｝n 1 n+1 n n满足b=1,b21(n+1)bn£N*求证1 2n+1 2 n(I)(II)(III)0<a(I)(II)(III)0<a<a<1;n+1 na2a<n^~;

n+1 2v2若a==，则当12三时b>a-nnnn!=nx(n—1)xx2x1.(本小题满分14分)数列｛a｝满足a=1,a=-1-.n 1 2n+1 2—ann+2证明S<n—n+2证明S<n—ln(——).

n2(II)设数列｛a｝的前n项和为S,nn

高二(下)数学周周练系列(8)理科参考答案选修2-2全书、选择题题号12345678答案DDCDCBAB、填空题11119.3. 10.—.11.41,4(n-1)12.34n-1.13. =一+ +h2a2b2c2.tan5°・tan20°+tan20°・tan60°+tan60°・tan5°=1.三、解答题.解：(I)当0<xW10时，y=x-(108-3x2)-100-27x=81x-3x3-100.当x>10时，4分TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"108010000 100004分y=( - )x-100-27x=980-( )+27x)\o"CurrentDocument"x 3x2 3x〜 1 …小 …81x一一x3-100(0<x<10)/.y=< 3 6分980-(i2000+27x)(x>10)(II)①当0<x<10时，y'=81-x2,令y'=0得x=9.当xg(0,9)时，y,>0;当xg(0,10)时，y,<0.1TOC\o"1-5"\h\z当x=9时.y=81义9--x93-100=386(万兀) 8分max 3②当x>10时，y=980-(粤0+27x)<980-600=380(万元)3x100(当且仅当x=—时取等号) 10分综合①②知：当x=9时，y取最大值 11分故当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大……12分.解:(I)f(x)=3mx2-6(m+1)x+n.x:1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，，f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0, /.n=3m+6. 5分2、r(II)由(I)知f(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+—)],调递减。m调递减。x, 1,2、(一84+一)m1+2m(1+2,1)m1(1,+8)f(x)0+0 f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减2当m<0时,有1>1+一,m22所以，当m<0时,f(x)在(-8,1+―)单调递减,在(1+—,1)单调递增,在(1,+8)上单mm10分高二(下)数学周周练系列(8高二(下)数学周周练系列(8) 学习思维，学会思考，学做真人！高二(下)数学周周练系列(8高二(下)数学周周练系列(8) 学习思维，学会思考，学做真人！(111)由已知，得f'(x)>3m,即mx2-2(m+1)x+2>0.(111)由已知，得f'(x)>3m,即mx2-2(m+1)x+2>0.m<0,「.x2—2(1+—)x+—<0,xe[-1,1]. (*)mm12设g(x)=x2-2(1+—)x+—,函数图象开口向上由题意,知(*)式恒成立.mmg(-1)<0,g(1)<0.1+2+—+-<0,•,.<mm-1<0.44又m<0,，-3<m<0即m的取值范围为(-3,0).12分17.解：(1)由折起的过程可知，P，平面ABC,S =9v6,S =x2-S =旦x2^ABC ABEF54ABDC12V(x)=^-x(9——x2)(0<x<3\6).3 12(2)V,(x)=延(9」x2)，所以xe(0,6)时，v,(x)>0，V(x)单调递增；6<x<3<6时3 4v'(x)<0，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值12<6.(3)过F作MF//AC交AD与M,则BM="=BE=-BE-,MB=2BE=12,PM=6<2,

ABBCBD1,AB2MF=BF=PF=——=BC=——<54+9=<423v6 3在^PFM中，cosNPFM=84-72=2,・••异面直线AC与PF所成角的余弦值为2.42 7 7K - 218.解：(I)f(x)=3mx2-1,依题意，得f(1)=tan—，即3m-1=1,m=3.:f(1)=n,・•・n=-3. 3分(II)令f(x)=2x2-1=0，得x=±—4分当-1<x<时，f(x)=2x2-1>0；当2<x<——时，f(x)=2x2-1<0；2<2 .当—<x<3时，f，(x)=2x2-1>0.又f(-1)=3，f(--2-)=-3-，f(-2-)=--3-因此，当xe[-1,3]时，-『<f(x)<15.f(3)=15.7分要使得不等式f(x)<k-1993对于xe[-1,3]恒成立，则k>15f(3)=15.7分故存在最小的正整数k=2008，使得不等式f(x)<k-1993寸于xe[-1,3]恒成立.9分22(m)方法」|f(sinx)+f(cosx)|=|(3sin3x-sinx)+(3cos3x-cosx)|

=I3(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)I2,=I(sinx+cosx)[3(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]ITOC\o"1-5"\h\z. 1,=Isinx+cosxI-I—一sinxcosx——I3 _1 1 兀 2v211分13分14分=一Isinx+cosx|3=—Iv2sin(x+一)|311分13分14分3 3 4 3又t>0，,t+—>22,12+—>1.2t 412「•2f(t+—)=2[—(t+—)3—(t+—)]2t 3 2t 2t1 2 1 1 「2 1 2七2=2(t+ )[-(12+一)—]>2<2(-—)=^21 3 412 3 3 3 3综上可得，If(sinx)+f(cosx)I<2f(t+g)(xeR

2t一、 22 2222方法二：由(II)知，函数f(X)在［-1,――了］上是增函数；在［—亏，—］上是减函、；2数；在[—5-，1]上是增函数.又f(-1)=3，f(-?=・，f曰=-F，f(1)=-3.TOC\o"1-5"\h\z22 .万 .万所以，当x£[-1,1]时，-'<f(x)<.，即If(x)I<..•「sinx，cosx£[-1，1]，；.If(sinx)I<-^3-，If(cosx)I<-^3-.11分13分14分. . <22211分13分14分If(sinx)+f(cosx)I<If(sinx)I+If(cosx)I<-3-+-3-=1 1又.・八0,...t+5之22>1,且函数fx)在…)上是增函数.1 — 2—L 2、.；2・•・2f(t+-)>2fQ2)=2[不(=2)3—、2]=、, ……•21 3 3综上可得，If(sinx)+f(cosx)£2f(t+1)(xeR,t>0).2t.解:(I)先用数学归纳法证明0<a<1,neN*.n(1)当n=1时,由已知得结论成立；(2)假设当n=k时，结论成立，即0<a<1,则当n=k+1时，因为0Vx<1k1x时,f'(x)=1- =-->0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.x+1x+1又f(x)在［。,1］上连续，所以f(0)<f(a)<f(1)，即0Va<1一山2<1.k k+1故当n=k+1时，结论也成立.即0<a<1对于一切正整数都成立.n高二（下）数学周周练系列（8高二（下）数学周周练系列（8） 学习思维，学会思考，学做真人!高二（下）数学周周练系列（8高二（下）数学周周练系列（8） 学习思维，学会思考，学做真人!又由0<a<1,得a-a=a-ln(1+a)-a=一ln(1+a)<0,从而a<a.n n+1nn nn n n+1 n综上可知0<a<a<1.n+1 nx2x2(II)构造函数g(x)=--f(x)=—+ln(1+X)-X,0<x<1,由g'(x)=二>0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[0,11上连续，所以g(x)>g(0)=0.1+X因为0<a<1,所以g(a)>0,即=-f(a)>0,从而a<an2.n n 2 n n+1 21 1 bn+1(Ill)因为b=-,b> (n+1)b，所以b>0,7+1>—1 2 n+1 2 n nb2所以bnbb—所以bnbb—n—,—n—1bbn-1 n-2b.11 .t•b>——•n!b1 2n1n————①a2 --aa aaa由a2 --aa aaa由(II)a <-n-,知：—n+1<才,所以—n= •一■n+1 2