在猜想与验证中培养推理能力

在猜想与验证中培养推理能力

一、复习——落实猜想基础师：这节课我们将探讨圆面积的求法，现在我们先回忆一下已经学过的平面图形面积的求法.谁能告诉老师，长方形和正方形面积是怎样求出来的？生：是数出来的.师：平行四边形呢？生：先割补平移成长方形，再根据长方形的面积公式推导出平行四边形面积.（在交流三角形与梯形面积公式推导之后，课件依次出示如下的图形与公式）【设计说明】学生已有经验是猜想的基础，已知的平面图形面积公式，是学生学习圆面积的逻辑起点.其实，大部分学生只记得公式而并不清楚各公式推导的方法.转化法以及通过数一数而利用乘法原理推导出长、正方形面积的思想方法，并没有真正成为学生的已有经验.因此，教师通过复习再次唤醒学生面积公式推导的经验，便于学生迁移运用到圆面积公式的推导之中.二、探索——猜测圆面积大小师：圆面积大小与哪些条件相关？又会是哪两个量的乘积？你们先动脑猜一猜，画图试一试，也可以与你的同桌说一说.师：把你们的想法与大家交流一下.生：我想到用直径与直径相乘，就是在正方形内画一个最大的圆，圆的面积小于这个正方形的面积.师：这和我们推导圆周长时所用的图形一样（出示图1），正方形的边长就是圆的直径.圆的周长小于直径的4倍，圆的面积也小于直径的平方.（板书：）师：我们在推导圆周长时，是通过这样的外切正方形及内接正方形、正六边形先猜测出周长介于直径的3倍与4倍之间.某某同学能利用这种方法来猜想圆的面积，值得大家学习.生：也可以是半径和半径相乘，就是一个较小的正方形，圆面积大于这个小正方形面积.（出示图2，板书：）生：我还尝试了画出圆内接正方形和正六边形，圆的面积也大于它们，但是不能求出它们的面积.师：能想到这种思路就很好，如果尝试用直径与半径相乘，又会是什么样的图形？生：是一个长方形，它的面积好像比圆面积小.（出示图3）师：这样直接比较还不明显，我们可以设法变化一下，成为能够直观比较大小的图形.（教师引导割补、平移成内接正方形，出示图4，板书：）生：我还想到能否用周长与半径相乘，可是不知道得到什么？师：你又想到把曲线拉直了再与半径组合围成一个长方形，很有创意！那么，这个长方形面积与圆面积又是怎样的关系呢？（学生无法理解）【设计说明】对圆面积大小的猜想应视为学生思维的原点，只有先猜想了圆面积的大小，验证猜想才能顺理成章.教师应遵从学生思维发展的规律，从思维原点出发，先给学生自由探索、猜想的空间，再顺着学生思维可能发展的方向进行推理猜想.因为面总是由线围成，所学过的平面图形面积常常与图形中两个长度的量相乘有关.所以，学生在猜想圆面积大小时就很容易想到圆的直径、半径及周长这样几个长度的量.再者学生已有了对周长公式猜想的探讨经验，因此能够尝试直径与直径、半径与半径、直径与半径及周长与半径的相乘关系.教师见机出示相应的直观图形，有助于帮助学生将圆面积大小的猜想变成现实.三、数一数——实验验证猜想师：我们也可以用“数格子”的方法来验证圆的面积是否真是的3倍多一些.（出示例7，按照填空的思路，教师引导学生领会验证的思路，先师生共同完成半径是4厘米的第一个图.半径分别是3厘米和5厘米的两个图再由同桌同学合作完成，并把数据填入表中）【例7】以正方形的边长为半径画一个圆，用数方格的方法计算出圆的面积，并填空.（每小格表示1平方厘米）正方形的面积=（）平方厘米个圆的面积≈（）平方厘米圆的面积≈（）平方厘米完成下表：【设计说明】猜想的正确性要通过验证加以说明，在小学阶段大都属于实验性验证，如数一数、量一量、举例、计算等.长方形面积公式就是通过数一数的原始方法推导形成的，这种数的方法可以迁移应用到圆面积猜想的验证中.但是，圆是学生第一次接触到的曲线图形.为了便于学生理解，教师直接出示例题图，以引导学生思考验证的思路和数格子的方法，并由学生亲自试验验证猜想的正确性.四、转化——逻辑验证猜想师：刚才我们通过数格子计算出圆的面积大约是半径平方的3倍多一点，与我们的猜想非常吻合.这种数格子计算只是大约的结果，还不能准确说明这个结果一定是正确的.我们也可以像推导平行四边形和三角形面积那样，先把圆转化成学过的图形来验证我们的猜想.1.给学生示范圆转化成近似平行四边形的方法，学生用课前剪好的学具拼成近似长方形（如图8）.在师生的质疑交流中用Flash动画演示圆平分成4等份、8等份、16等份、32等份所拼成的图形，让学生体会到分的份数越多长边的弧线越接近直线，所拼成的图形就越接近长方形.2.找清圆与长方形之间的关系：长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径.并引导学生推导出圆的面积公式.【设计说明】在平行四边形、三角形等平面图形面积公式推导的基础上，学生虽然具有了转化的意识与方法，但是第一次把“曲面”转化成“直面”仍有一定的困难.所以，通过演示直接“教”给学生圆转化为平行四边形的方法，让学生在观察与实验中找清圆与平行四边形的关系.而由“曲”变“直”的极限思想，则通过课件的直观展示及引导学生的想象来理解.五、反思——落实猜想策略师：这节课我们主要通过“猜想—验证”的方法解决了圆的面积计算问题.现在再回想一下，我们是如何猜想出圆面积大小的？又是通过什么方法来验证猜想的？【设计说明】不同版本的新教材都安排了解决问题策略的内容，体现了对解决问题策略的重视.而解决问题策略的学习与运用，应体现在平时一切问题解决的过程中，不该是特意安排的几节“专业课”.圆面积大小计算的问题解决中，突出运用了“猜想—验证”的策略，在验证猜想时，又应用了实验验证法（数一数、算一算）和逻辑推理验证法（转化）.在问题解决之后，让学生有意识地反思公式的推导过程，回顾自己探究的路径，可以进一步地理解和掌握解决问题的不同策略，从而真正地提高学生在解决实际问题时应用策略的能力.【教学思考】孔凡哲教授认为：“在中小学数学教学中，最重要的数学思想应该属于抽象、推理与模型.这是实现学生数学上的终身可持续发展乃至终身受益的核心数学思想.”足见推理在数学学习中的重要地位.圆面积计算教学就可以引导学生充分地猜想和验证，以培养学生的推理能力.当然，对推理能力培养的重视，又势必挑战传统的课堂教学结构，就不能在一节课中留出大量时间进行面积公式运用的教学和练习.叶澜教授“长程两段”的教学主张值得我们思考：“将每一结构单元的学习分为教学‘结构’阶段和运用教学‘结构’阶段.在教学‘结构’阶段主要用发现的方式，逐渐找出知识的结构和发现结构的步骤与方法；通过总结，形成知识、方法、步骤综合的‘类结构’模式.这一部分的教学时间可适度放慢，让大多数的学生有一个充分体验发现和建构‘类结构’的过程.在此基础上，随后进行的用‘结构’的教学阶段就能以加速的方式进行.”应