一元二次方程经典练习题及深度解析

.知识技：一、空题：1．以下方程中是一元二次方程的序号是．①x②2y③x20④520◆答：,③,④⑤◆析判一个方程否一二次程要据一元二方的义，是同符条件①有一个未知数；②未知数的最高次数是2;③式方程．设同时符合这个条件的就是一元一可．其中方程不合条件①；方不合条③方⑦中未知的高数是次，符条件②方程⑧过整理；次项消掉，也不符条件．2于的程(aax◆答：

是一二方，则a◆解析方程()x2ax

既是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高数是，此二次项系数3当k，方程(k)◆答：

k0

不是于的一二次程．◆解析方程k2)故k

k0

不是于一元次方，则次项数k04．一元二次方程的一般方法有，◆答：接平法配法；式；式解法5．元二次方程ax2c0a◆答：

0)

的求公式为．◆析：此题不可漏掉0

的件．6(2004·市方程2x的是．◆答：◆解：20x2

4()

2

.

所以xx.7．不解方程，判断一元二次方程

6

2

的的情况是．◆案：有两个相等的实数根◆解：方化26

)2.方程有两个不相等的实数根．8．设关于程xx

有实数，k的围是．◆答：k◆解．有实根b

kk9m时，方程

x

)x)

有数根．◆答：◆解m)x)

有数根．10．关*的程

x

kxk

的根情况是．◆答：无实◆解：bac(

(k

)

k

k

k

k

)k

,

,b

原方无实根．二、选题11假a的得

x

xx)

成立则a为)A58．4C．D2◆答：◆解：

x)

x

x

x

x

的值得x

xx)

x

xa

故C正确．12把方程x

化ax

后，、b、c分为)◆答：C◆解析：方程xx化

xx

故

.

故C正．13．方xx

的是)x土1

Bx

Cx,x

Dx◆答：◆解析运用因式分解得x(x

故

xx

故C正．14．关*的元方围()

有两个相等的实数根则k的取Ak

Bk

k

且

k

.◆答：◆解：由意知得k4k.．元二次方程x0的两个分别为)◆答：．解程①x2;②x;x(3x)较简的方法()

2

;x2A．依次为：开平法、配方法、公式法、因式分解法B依次为：因式解法、公式、配方法、直接开方法①直接开平法，②④公法③因分法①接平方，②公式，④因式分解法◆答：17用配方法解一二次方程20.则方程变形为◆答：18一次程k)2x

有两个相等的实数根则的取是)Ak.k◆答：

且k

且k◆解有两个不相的实根b2ac(

2

)k0

且k正确．19．以方程有两相等的实数根的方程是()◆答：◆解析只有的判式的为零故正确．20．一次程的根情是A有实根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根根◆答：◆解：b2ac

0

方程有数，D正21下命题正确的选项是(Ax

x只有一实根有个实根xC．程20有个等的根2无根◆答：◆解：有两根为xx

;B

有一为

.x:

有两为x1

3x;D正．2三、解题22解方程x

x2◆解：x1

3x2

323用分解程◆解(1)方程化为

)3x;2()2xx;(2x15xx)

2

9,xx.12(3)原方化x

x,x

11x,(x24

)

.x

53x4424．关2方：◆析解母系数的元次程时注区字母系数未数方程边时以字母的数式时，要考虑到分母不为零的条件，以保证除法有意义◆：原方程整理为(xxxx0

或mx(2)原程化为x)(mx)x0．不解方，别下方程根情．

或mx◆：(1)原方程可化

2

2

xb

2

6

2

0,原方程不相等两实根；()b

2

)

2

20,原程有相等两实根；3)

2

ac

2

,

原程有相等两实根(4)原程：

5y2y0b(

2

4200,原方无实根26关z的程

2

k)

2

0

当k为何值，(1)程两不等实根(2)程个的数(3)方无实◆：

2

ac(2

2

(

2

)4

当b

时，k

134当b当b

时，时，

k;413k;4当

134

时，原方程有两个不相等的实数根；22.13当，方程两相等实数；413当4

时原方程无实根．274x2axa0

无根，且是数，化简a.解：程x2axa0

无根ac(a)

2

(2a即

a

2

解得2a

当

时，28k取何值时，程xk4

有两相的数根并求出这时方程的根．◆解根题，b2ac(k)

2

(k)0

2

,1

2

．当或

k

时，方程两相等的实数．当时，方程：xxxx1当

时，方为：xxx129．：于2的程x22mx0

有两个相等的实数根．◆证：b)

2

(3m

2

4m

2

2

2

4m

2

0,

原程有两个不等的实数根．30．：论k为值，方程x)x(0

都有实数根．◆证：bac)]

[4(k]．．论k为，程)x(0

都有实数根．31．当c是实数时，求证：方程x2axab

2

)0

必有个实根并求两根相的条件．◆证：a)]

(

2

a

2

ab

2

2

2

2

c

2．．方程x2)x

2

)

必有个实根，当方两相时，)2

(a

且c0ab

且两根相等的条是且32如于z的二次程2xmx)2

没实数根，m的小整数．◆：原方程整理，(2x

x程实根,m88

且2m

.m6

的小整数值为．综合运：一、空题：33方程x4nmx0◆案：一；1

是于的元方则◆析根一元二次程定可知

故m

且

故

34关于的程2(xx2x;当m时这个方程是一元次方程(2)当m时这个方程是一元一次方程．◆答：1)◆解：(1)方化一形式为)x2m0

当二次系数m

0

时，这个方程是一二次方，当二系数m

，

此时二次项系数零，而一次项系恰好不零，故m

时这个方程是元一次程．35方程2(x()◆答：7

的是2则◆解析因为2是程2(xk

根，以x

应适于方，x2代方得关于的一元次方，解得k

(327

二、选题：36方程x2x的边配完全方后得程为)x)

D答案都不对◆答：37于程23x0

有两个则的围()Am

15

Bm

15

且m

15

D.

15◆答：◆解：．(3xm

有两个根．.

ac3m

2

一9)0,

得且

故正确．注意不能丢掉m件．38、b、是的条边且程)x(b)x0么，个三形()A．三形形C．三形形◆案

有两相等实根，那◆析：根据题意，得(2

(ca)0

或0,a

或c故正确．注：与C之是“或者〞关，不是并〞关系所不能得到39关于的程2m)x

2

0

有两个相等的实数根则的最大整值是)◆答：◆解个相等的实数根．m的大整数值是，故正确．三、解题：40用因式分解法解以下方程：◆析此要注意运换的想．◆：)(x4(x],(x3x),x

或3x0,

解得xx412()x(xxxx(x0(xx03得xx7

x

或x0)1

2

250[(x][4(x](xx;4x

或x,得x

1x44)25(3x)

2

2x

2

0[53xx)][3xxx)(x)x0137解得x,x1741．解方程x2|x0.

或x◆析解未知数绝值方一般两思：一是设填对符号把方化关于|x

的元二次方程，先|x|的，进一求2的；二是设法脱去绝对值符号，把原方程.化为于的一元次方程，去绝对值号的方法是要对分论．◆法|2

,

原程可化为：|x|2|x|(||x|0|x|R|4x

±l或◆解法：x时原方左右两边的不等时程可化为当x时原方程化为2x3

4

42．(1)方程xy

0

求证：9y

或y;(2)方程4xz2

求证：

或x

◆证：原程为(y)y

2

,

==+

4y,9

或y;5(2)方程化为(xz28

12164

2

x

5118

,

或z．为何值时，程()mx

有两不相等实数根◆析：注意不漏掉隐含条◆：

mm有两个相等的实数根．

mmmx244方程(mm

有根，求m的取值围．◆析注讨论一元次程一元次程种情况．◆：根据题意得①

时m

原方为x

②

时

1,

有2取值是m31．假于的方程xa4

有两不相的数根，试化代数式1◆解析：注意负的绝对值等于其反数，当a时，|2a一于3a.2◆解：)]2

14

a

,a

当

a

时式a||1|a1a)a2a2.46当m是什么整数时，2x40

与

x

mx

m

的根都整数◆解一次程mx2x40有整数根.b

2

ac

2

0

①又x2mxm0

有整根由①②得：

54

为数1当

m

时，程mx

x

的次系为零，不题，去；当m时方2

x

为

x2

x0

其根为

xx;12方x2

mxm

0

为

x2x

其为

x,x1当

时，程mxx

为

x2x0

其根是整数．当时于2的二次程mxx0的根是整数

与程xmx047求方程

x2yyxy0

的数解．◆解：原方程整理成于2的二次方程，得因为此程有实数解，以

14x(y)xyy0(y

2

又y

2

,yy

当y

时，方程化xx,xx.12

程实数解为48设a、6为三角形的条边．求：程

b

2

x2

2

2

2

x

2

无实．◆证：

(b

2

2

2

2

2

c

2

b

2

2

2

bcb

2

2

2

ab

是三形三边，0b0,原方无根49假程

2

2

x

b

2

2

x

2

2

0

有两个等的实数根，且a、b、c是

ABC的三边，证等腰三形◆证：a)(b)(b,、b、c

是

ABC

的三边a

2

2

0

只b,c

是等三角形50设m、k有，k何时关z