2021年广东省深圳市清华实验学校高二数学理联考试卷含解析

2021年广东省深圳市清华实验学校高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于

A．-6

B

-4

C

-8

D

-10参考答案：A2.已知椭圆：+=1，直线l：y=x+5，椭圆上任意点P，则点P到直线l的距离的最大值（）A．3 B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的参数方程，设出点P的坐标，再由点到直线的距离及辅助角公式，再由正弦函数的性质，即可求出P到直线l最大值．【解答】解：因为P是椭圆+=1上任意点，可设P（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）；因此点P到直线y=x+5，的距离是d==，其中tanα=；∴当sin（θ+α）=﹣1时，d取得最大值，点P到直线l的距离的最大值=3．故选A．3.参考答案：B4.点（﹣1，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（）A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2）参考答案：D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求对称点为（m，n），由轴对称的性质建立关于m、n的方程组解出m=2、n=﹣2，即可得到所求对称点坐标．【解答】解：设所求对称点为（m，n），则，解之得m=2，n=﹣2∴点（﹣1，1）关于直线x﹣y﹣1=0的对称点为（2，﹣2）5.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）

A．个

B．个

C．个

D．个参考答案：A略7.要从165人中抽取15人进行身体健康检查，现采用分层抽样法进行抽取，若这165人中，老年人的人数为22人，则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是（

）

A．5

B．2

C．3

D．1参考答案：B略8.过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=4，则符合条件的直线l有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：C【考点】直线的截距式方程．【分析】设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．可得S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，解出即可得出．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．∴S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，化为：4k2﹣12k+1=0，4k2+4k+1=0，解得k=，或k=﹣．因此符合条件的直线l有3条．故选：C．9.已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于(

)A．1 B． C． D．参考答案：C【考点】等差数列的性质；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，am+an=ap+aq的性质．10.已知某几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的表面积为A.

B．

C.

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点F2，与椭圆相交于A、B两点，则AB的长为

．参考答案：

椭圆的右焦点为(1,0)，直线的方程为y=(2x-1)，代入椭圆方程，可得，解得x=0或，即有交点为，则弦长为，故答案为.12.由1、2、3三个数字组成可以有重复数字的三位数,如果组成的个位数字是1,且恰有两个数字相同,这样的数称为“好数”,在所有三位数中,好数的概率是

．参考答案：13.设是椭圆上的一点,则的最大值是

.参考答案：14.一次射击训练中，某战士命中10环的概率是0.21，命中9环的概率为0.25，命中8环的概率为0.35，则至少命中8环的概率为

．参考答案：0.81由概率的加法公式可得至少命中8环的概率为0.21+0.25+0.35=0.81。答案：0.81

15.已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围是

。参考答案：16.右边框图表示的程序所输出的结果是

．参考答案：1320

略17.函数在区间[0,1]的单调增区间为__________．参考答案：，（开闭都可以）.【分析】由复合函数的单调性可得：，解得函数的单调增区间为（），对的取值分类，求得即可得解。【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时，=当时，当取其它整数时，所以函数在区间的单调增区间为，【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（I）求在处的切线方程；（II）讨论函数的单调性。参考答案：（I）（Ⅱ）在和上单调递增，在和上单调递增【分析】（I）求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解在处的切线方程；（II）设，求得则，令，解得，进而可求得函数的单调区间．【详解】（I）由题意，函数，得，可得，故在处的切线方程为，即．（II）设，则令，解得则随的变化情况如下表：极小极大极小

所以在和上单调递增，在和上单调递增．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数求解函数的单调性，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19.（12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为，求抛物线的方程和双曲线的方程.

参考答案：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点，所以可设其方程为

∴=2

所以所求的抛物线方程为所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，设所求的双曲线方程为

而点在双曲线上，所以

解得所以所求的双曲线方程为20.已知四棱锥如图1所示，其三视图如图2所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形.（1）若E是PD的中点，求证：平面PCD；（2）求此四棱锥的表面积。参考答案：（1）证明：由三视图可知，平面，∴

∵是正方形，∴

又，平面，平面∴平面，

∵平面，∴

又是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴又，平面，平面∴平面.（2）解：由题意可知，四棱锥的底面是边长为2的正方形，其面积，高，所以

四棱锥的表面积

略21.解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；分类讨论；分类法；不等式的解法及应用．【分析】已知不等式左边分解因式后，分a=0与a≠0两种情况求出解集即可．【解答】解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0，因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0，若a=0，不等式化为﹣2（x﹣2）＞0，则解集为{x|x＜2}；若a≠0时，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的两根分别为，2，①若a＜0，则＜2，此时解集为{x|＜x＜2}；②若0＜a＜1，则＞2，此时解集为{x|x＜2或x＞}；③若a=1，则不等式化为（x﹣2）2＞0，此时解集为{x|x≠2}；④若a＞1，则＜2，此时解集为{x|x＞2或x＜}．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？参考答案：解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：种．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另