2021年湖南省衡阳市夏明翰中学高三数学文测试题含解析

2021年湖南省衡阳市夏明翰中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在（+）12的展开式中，x项的系数为(

) A．C B．C C．C D．C参考答案：A考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数．解答： 解：（+）12的展开式的通项公式为Tr+1=，令6﹣r=1，求得r=6，故x的系数为，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．2.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于

A．

B．

C．

D．

参考答案：A，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.3.已知直线都在平面外,则下列推断错误的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C略4.将函数R的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

参考答案：B5.已知函数在点x=2处连续，则常数a的值是.

(A)5(B)4(C)3

(D)2参考答案：C略6.已知集合 A． B． C． D．参考答案：D7.设,函数的图象可能是（

）参考答案：

解析：

可得

是函数的两个零点当时,则

当时,则当时,则

故选B

8.下列命题中，真命题是（

）

A.，使得

B.，有

C.，使得

D.，有参考答案：D9.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B10.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果球的内接正方体的表面积为，那么球的体积等于

参考答案：12.

.参考答案：13.已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，则=______．参考答案：6分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a的值，然后求解定积分即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．由，得，即a=zmax=2×4-2=6，则==6lnx=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．14.a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a没有放入A中的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由排列组合的知识可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，由概率公式可得．【解答】解：由题意可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，∴所求概率P=1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的应用，属基础题．15.如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率计算公式，设BC=2AB=2，AF=GD=x，根据勾股定理求出x的值，由对称性求出阴影面积，计算所求的概率值．【解答】解：长方形ABCD中，设BC=2AB=2，AF=GD=x，∴FG=2﹣2x，由勾股定理得（1﹣x）2+12=（2﹣2x）2，解得x=1﹣，∴FG=；由对称性知，S阴影=S矩形FGJI=FG?IF=××1=；∴该点落在阴影区域内的概率为P===．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题．16.如图，由两条曲线及直线所围成的图形的面积为

参考答案：略17.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________参考答案：或，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．

参考答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅲ）略（Ⅰ）由，解得或，∴函数的定义域为

当时，∴在定义域上是奇函数。

（Ⅱ）由时，恒成立，∴

∴在成立

令，，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时，∴

（Ⅲ）=证法一：构造函数，

当时，，∴在单调递减，

当（）时，

证法二：构造函数,证明:在成立,则当时,成立.

略19.（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．参考答案：【考点】：余弦定理的应用．【专题】：三角函数的求值；解三角形．【分析】：（1）利用三角形的内角转化为A的三角函数，利用两角和的正弦函数求解结合正弦定理求出表达式，求出结合即可．（2）由余弦定理以及基本不等式求解最值即可．解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．【点评】：本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．20.(本小题满分12分)．设函数（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集．参考答案：解：(1)

,由,得.因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.--------------6分由

,

得：.

-------------9分故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：.-------------------12分略21.已知直线l过圆的圆心且平行于x轴，曲线C上任一点P到点的距离比到l的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（异于原点）作圆M的两条切线，斜率分别为，过点P作曲线G的切线，斜率为，若成等差数列，求点P的坐标．参考答案：(1)(2)【分析】（1）由已知可得点到的距离等于到直线的距离，即曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，从而可得结果；（2）结合（1）可设，则，设过点所作圆的两切线方程为：，，由圆心到直线的距离等于半径可得，也适合，由韦达定理，结合成等差数列，可得，解方程即可得结果.【详解】（1）易知直线，∵曲线上任一动点到点的距离比到的距离小1，∴点到的距离等于到直线的距离，∴曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，设抛物线方程，∵∴曲线的方程为.（2）由（1）知曲线，设，则，曲线上过点的切线方程为，即，设过点所作圆的两切线方程为：，，即：，，又，即，*.同理也适合*式，故，是方程的两个不相等的根，∴，∵成等差数列，∴∴，解得，∴，∴点的坐标为.【点睛】本题主要考查抛物线的轨迹方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.22.(14分)已知为常数，且，函数是自然对数的底数)．(1)求实数的值；（3分）(2)求函数的单调区间；（5分）(3)当时，是否同时存在实数和，使得对每一个，直线与曲线）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．（6分）参考答案：解：(1)由，得.……………3分(2)由(1)知，其定义域为．…………4分从而，因为，所以

……………5分①当时，由得.由得.②当时，由得由得.……………7分所以，当时，的单调增区间为，单调减区间为．当时，f(x)的单调增区间为，单调减区间为．……………8分(3)当时，.则.令，则.当在区间内变化时，，的变化情况如下表：1

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