第5章-系统运动的稳定性

第5章

系统运动的稳定性建模分析设计状态空间表达式建立求解转换能控性能观性稳定性线性系统的时间域理论预览定量分析定性分析第5章系统运动的稳定性5.1外部稳定性和内部稳定性5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理5.4构造李亚普诺夫函数的规则化方法5.5连续时间线性系统的状态运动稳定性判据5.6连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能的估计5.7离散时间系统状态运动的稳定性及其判据稳定性是系统性能研究的首要问题！控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则稳定偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。5.1外部稳定性和内部稳定性外部稳定性如果对任意一个有界输入u(t),即满足条件对应的输出y(t)均为有界，即有经典控制理论的稳定性判据劳斯（Routh）判据奈氏（Nyquist）判据经典控制理论对有界输入有界输出稳定就是外部稳定只适用于线性系统结论5.1对零初始条件的线性时变系统结论5.2对零初始条件的线性时不变系统结论5.3对零初始条件的线性时不变系统BIBO稳定BIBO稳定BIBO稳定真或严真传递函数矩阵所有极点均具有负实部现代控制理论对稳定性分析的特点（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性；现代控制理论的稳定性判据李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论（3）能够反映系统稳定的本质特征。内部稳定性如果由时刻t0任意非零初始条件x(t0)=x0引起的状态零输入响应x0u(t)对所有t∈[t0,∞)为有界，并满足渐近属性即成立结论5.4线性时变自治系统渐近稳定结论5.5线性时不变自治系统渐近稳定结论5.6线性时不变自治系统渐近稳定

结论5.7线性时不变系统渐近稳定BIBO稳定反之不一定成立，但若系统既能控又能观测，则成立。（对时变系统不成立）内部和外部稳定性的关系就一般系统而言，两种稳定性没有必然的联系，对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。对于线性定常系统，若该线性定常系统是渐近稳定的，则一定是输入输出稳定的，反之，则不尽然。欧式范数表示向量x的长度表示向量x

到xe的距离表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆表示状态空间中，以xe为球心，半径为c的球5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念设系统方程为：不受外力n维状态向量n维向量函数展开式为：方程的解为：初始状态向量初始时刻自治系统自治系统由初态x0引起的运动受扰运动各分量相对于时间不再发生变化所有状态的变化速度为零，即是静止状态

线性定常系统：平衡状态：一个平衡状态:状态空间原点无穷多个平衡状态平衡状态线性系统：

一般只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。非线性系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同，需将每个平衡点分别讨论。非线性系统：平衡状态：多个平衡状态例：

设系统初始状态位于以平衡状态

xe为球心，δ为半径的闭球域S(δ)内，即若能使系统方程的解在t→∞的过程中，始终位于以xe为球心，任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫意义下稳定几何意义：

任给一个球域S(ε)，若存在一个球域S(δ)，使得当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不离开S(ε)，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。若δ与初始时刻t0无关，则称系统的平衡状态xe是一致稳定的。时变系统δ与t0有关定常系统δ与t0无关一致稳定与经典控制理论中稳定性的定义不同。李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。

设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心，

δ为半径的闭球域S(δ)内，即则称系统的平衡状态xe是渐近稳定的。若系统方程的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有若δ与初始时刻t0无关，则称系统的平衡状态xe是一致渐近稳定的。渐近稳定几何意义：

当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。与经典控制理论中稳定性的定义相同。经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定

当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。几何意义：当t→∞时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于xe

。大范围渐近稳定线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。非线性系统稳定性与初始条件密切相关，如果渐近稳定，不一定大范围渐近稳定。初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越来越远如果对于某个实数ε>0和任一个实数δ>0，不管这两个实数有多小，在S(δ)内总存在着一个状态x0，由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称此平衡状态是不稳定的。几何意义：不稳定5.3李雅普诺夫第二方法的主要定理小范围内稳定性分析方法，泰勒展开，线性化李亚普诺夫第一方法俄国学者李雅普诺夫1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献（，建立了关于运动稳定性研究的一般理论第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法不必求解微分方程，直接判断系统稳定性广义能量属性的李亚普诺夫函数李亚普诺夫第二方法第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性，而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将越来越大若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性例：机械位移系统选状态方程系统能量例：机械位移系统选系统能量能量随时间变化率能量不断衰减运动会停止吗？

例：机械位移系统系统能量能量随时间变化率能量不断衰减渐近稳定！一、标量函数V(x,t)定号性正定负定数学预备知识正半定负半定不定例：已知，确定标量函数的定号性。解：正定解：正半定解：解：负半定不定二、二次型定号性二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数P为实对称矩阵例：

二次型正定矩阵P正定P的各阶顺序主子式>0二次型负定矩阵P负定P的各阶顺序主子式负正相间二次型正半定矩阵P正半定P的各阶顺序主子式二次型负半定矩阵P负半定P的各阶顺序主子式负正相间，或等于零例：确定下列二次型的定号性。解：正定P的各阶顺序主子式>0矩阵P定号性的判别方法二矩阵P正定矩阵P负定矩阵P正半定矩阵P负半定例：确定下列二次型的定号性解：矩阵P的特征值的符号有正有负，即符号不定不定李雅普诺夫第二法的基本思想

求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）

——标量函数。

求出能量随时间变化率。

依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程中的变换规律。

利用和的符号特征，判断平衡状态稳定性。李亚普诺夫主稳定性原理：

为孤立平衡状态即对所有若可构造对和有连续一阶偏导数的一个标量函数，且对所有非零状态有:(i)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数和，其中和,并对所有和所有成立：(ii)对时间的导数负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数，其中，使对所有和所有成立：(iii)当，有即。则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。几点说明：(1)适用于线性/非线性，时变/时不变系统；(2)物理含义：“广义能量”有界，“广义能量的变化率”为负，则系统运动最终回到平衡状态；(3)判据的充分性属性(1)正定(2)负定(3)则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。

（线性/非线性)定常系统：，其中f(0)=0，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)满足：时不变系统-大范围渐近稳定例：分析下列系统平衡状态的稳定性。解：选取：正定负定大范围（一致）渐近稳定几何意义：表示系统状态到空间原点的距离。表示状态趋向原点的速度。例：机械位移系统选状态方程系统能量正定例：机械位移系统系统能量正定正定负半定根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。(1)正定(2)负半定则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。

（线性/非线性)定常系统：，其中f(0)=0，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，满足：(4)(3)时不变系统-大范围渐近稳定例：机械位移系统系统能量正定正定负半定但不恒等于0能量不断衰减渐近稳定(1)正定(2)负半定(3)则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。

（线性/非线性)定常系统：，其中，如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数满足：(4)系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定！能量不变！时不变系统-李雅普诺夫意义下的稳定例：机械位移系统系统能量正定恒等于0能量不变李雅普诺夫意义下的稳定选状态方程则系统原点平衡状态不稳定。

时变系统定常系统：如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数其中，且满足：(1)(2)时不变系统-不稳定例

确定状态方程描述的系统的平衡态稳定性。选择李雅普诺夫函数平衡点原点(0,0)解：正定正定系统为不稳定的

V(x)结论正定(>0)负定(<0)该平衡态渐近稳定正定(>0)负半定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(>0)负半定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡态不稳定正定(>0)正半定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定注意上述定理是系统平衡状态稳定的充分条件。如果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定！应该重新选取李雅普诺夫函数进行分析。对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析5.4构造李雅普诺夫函数的规则化方法针对各类非线性系统的特性，构造Lyapunov函数通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法)针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等克拉索夫斯基法非线性定常连续系统的状态方程为平衡态xe=0f(x)对状态变量x是连续可微的雅可比矩阵对上述非线性系统，有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为为负定的矩阵函数，且为该系统的一个李雅普诺夫函数若当||x||→∞时，有||f(x)||→∞，则该平衡态是大范围渐近稳定的定理推论克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件，不是必要条件。线性定常连续系统不是负定矩阵

由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的说明1渐近稳定说明2使为负定的必要条件是F(x)主对角线上所有元素均不为零，即

不能采用克拉索夫斯基方法说明3将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知:对称矩阵A+AT负定，则系统的原点是大范围渐近稳定的线性系统可看作非线性系统的特殊情况，故也适用于线性系统例试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性:解:李雅普诺夫函数负定平衡态xe=0是渐近稳定的5.5连续时间线性系统的状态运动稳定性判据线性定常系统渐近稳定判据1.特征值判据线性时不变系统平衡状态李亚普诺夫意义下稳定A的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。渐近稳定A的特征值均具有负实部

不稳定A的特征值中至少有一个具有正实部线性定常连续系统选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数线性定常系统渐近稳定判据原点是唯一的平衡状态2.李雅普诺夫判据令线性定常连续系统渐近稳定给定存在满足李雅普诺夫矩阵代数方程线性定常连续系统渐近稳定给定存在满足李雅普诺夫矩阵代数方程判别步骤：(2)求解(1)选取为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）；(3)若P为正定实