2020届江苏省如皋市、如东县高三上学期期中考试数学(理)试题(word版)

#页江苏省如皋、如东2019—2020学年度高三第一学期期中考试数学理科一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．).已知集合A=(x\f(x)=InxJ,B={11,2,3},则A|B=.答案：{2，3}.若式1+3i)=10，则z的实部为.答案：1.已知a+b=(3,4),a—b=3,则a•b=.答案：4一 f 1 — — 一f4Xx>1 八/八/、、Y-4.已知函数f(x)=\ ,若f(f(a))=16，则实数a= .x+3,x<1答案：-1x2y2 工2系.双曲线--t-=1(。>0,b>0)的渐近线方程为丁=±—;x,且过点(5,3V2),则其焦距为a2b2 5答案：714.已知(m,川为直线x+J-12=0上一点，且mn>0，则一+—的最小值为.mn3答案：4兀 八.若函数f(x)=cos(2x+0)(0<。<兀)的图象关于直线x=在对称，则0=答案：FDD1.在棱长为6的正方体ABCD—A1B1c1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，则三棱锥E的体积为FDD1答案：-1若答案：-1若A墨B,则实数a的最大值为.已知等差数列{a}的公差为-2,且a,a,a成等比数列，则该等比数列的公比为 n 2 4 51答案：2.如图，已知点0(0,0),A(2,0),P是曲线y=C(0WxW1)上一个动点，则OP•AP的最小值是1答案：一4/兀、1 ./兀 C、.已知cos(X——)=",x1答案：一4/兀、1 ./兀 C、.已知cos(X——)=",x£(0,兀)，贝|Jsin(--2x)=63 3x2y2 1.已知椭圆至+记=1(心心0)的离心率e=2,A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、cos(a-B)B的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为a、P，则co而备的值为1答案：74.已知函数f(x)=九lnx+一x，九22，曲线y=f(x)上总存在两点M(xy=f(X)在M、N两点处的切线互相平行，则X+X的取值范围为—1 2答案：(8,+8)X1，y1)，N(X2，y2)使曲线二、15.解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程

或演算步骤.)(本题满分14分)在锐角4ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且(b2+c2-a2)tanA=、：3bc.解：(1)求角A；(2)若a=2,△ABC的面积S=<3，求1+-的值.bc(1)由(b2+c2-a2)tanA=''''3bc,及余弦定理b2+c2-a2=2bccosA得32bcsinA=h3bc,又bc>0，得sinA=——.2兀一，兀因为△ABC为锐角三角形，所以。<A<-，故A=-.兀 ， …(2)因为a=2,A=-，根据余弦定理b2+c2-a2=2bccosA得b2+c2-4=bc,又S=b-bcsinA=-bc=33，解得bc=4. ①2 4所以b2+c2-4=4，即b2+c2=(b+c>-2bc=(b+c>-8=8.又b+c>0,所以b+c=4…・・・②11b+c41 11根据①②得，了+―= =7=1，所以，彳+―的值为1.bc bc 4 bc16.(本题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD—A/1c1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1c的中点.(1)求证:人4〃平面PBD；(2)求证：BDXA1P.A1ACPA1ACPC(1)证明：连结AC交BD于。点，连结OP(1)证明：连结AC交BD于。点，连结OP,因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O,所以0点是AC的中点，所以AO=OC.又因为点P是侧棱CC的中点，所以CP=PC.1AOCP在AACC中，=t—=11中OCPC所以AC//OP.1又因为OPu面PBD,AC仁面PBD,1所以AC//平面PBD.1(2)证明：连结AC.11因为ABCD-ABCD为直四棱柱，1111所以侧棱CC垂直于底面ABCD,1又BDu平面ABCD，所以CC1BD.1因为底面ABCD是菱形，所以AC1BD.又ACCC=C,ACu面ACeCC1u面AC1,所以BD1面AC^.又因为PgCC,CCu面ACCA，所以Pg面ACCA，因为Ag面ACCA1 1 11 11 1 11所以APu面AC,11A11717.(本题满分14分)设等差数列｛a｝的前n项和为S,已知a=1,S=22.n n 18(1)求a；n(2)若从｛a｝(1)求a；n(2)若从｛a｝中抽取一个公比为q的等比数列｝,其中幻=1,且n kn 1<….当q取最小值时，求｛k｝的通项公式. ”n解：(1)设等差数列的公差为d，则11S=8a+-x8x7d=8+28d=22，解得d=，8i2 ， 2，k1<k2<一<kn1n+1所以a=a+(n-1)d=1+—(n-1)= n1 2 2(2)法一：因为｛ak｝为公比q的等比数列knk+1—n 2a所以一ak

nk+1-n+1 £+r=q，即k-n 2a=1k1所以a=qn-1

knn+1=qk+q—1，所以k+1=q(k+1).n+1又k1=1,k1+1=2中0,所以｛k+1｝是公比q的等比数列，所以k=2Xqn-1-1.nn因为k>2,keN*,所以2xqn-1-1>2且公比q为正整数，解得q22,nn所以最小的公比q=2.所以k=2n-1.n法二：因为数列｛a法二：因为数列｛a｝是正项递增等差数列，n3a3若k=2，则由a=-，得q=-2=-,2 22 a21所以数列｛4｝的公比q>1kn一一 (3¥ 9此时a—aq ,k3 2”12) 4n+1由-27解得n=2电N*,所以k2>2,同理k2>3;TOC\o"1-5"\h\z若k=3，则由a=2，得q=2，此时a=2n-1,23 kk+1 k+1 n另一方面，a=--，所以--=2n-1，即k=2n-1,kn 2 2 n所以对任何正整数n,a是数列｛a｝的第2n-1项.所以最小的公比q=2.kn n所以k=2n-1.n18．(本小题满分16分)x2y2在平面直角坐标系l0y中，如图，已知椭圆E：—+)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、A,,a2b2 1 2上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1倾斜角的余弦值为232，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称.(1)求椭圆E的离心率；(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3)若圆C的面积为4兀，求圆C的方程.

解：(1)设椭圆解：(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),因为直线AB的倾斜角的余弦值为弩，所以.a11 3 aa2+b2于是a2=8b2，即a2=8(a2-c2于是a2=8b2，即a2=8(a2-c2)，(2)由e=E4可设a=4k(k>0)，c=、,14k，则b=<2k，4于是AB的方程为：％—2<2y+4k=0，11故OA的中点(2k0)到AB的距离d=巴网=2k，TOC\o"1-5"\h\z2 11 3又以OA为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线AB与以OA为直径的圆相切.2 11 2因为圆C与以线段OA为直径的圆关于直线AB对称，2 11所以直线AB与圆C相切.11(3)由圆C的面积为4兀知，圆半径为2,从而k=1,设OA的中点(20)关于直线AB：%-2<2y+4=0的对称点为(mn)2 11.±2=-1m-24_ 解得m=2n=警m+2-2v2.n+4=0. 3 3所以，圆C的方程为(所以，圆C的方程为(-1)+(y-3 =4..(本小题满分16分)如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为0，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C,D,F,I在圆周上，E,J在直径上，且NEOF=—，设NBOC=。,。£(—,—).若每平方米游泳池6 62的造价与休息区造价之比为,.;3：1.(1)记游泳池及休息区的总造价为f(。)，求f(。)的表达式；(2)为进行投资预算，当0为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值.解：(1)设游泳池每平方米的造价为C可，休息区每平方米造价为2t(t>0),则在矩形ABCD中，BC=Rsin0,OB=Rcos0,所以，S=2OB义BC=2R2sin0cos0=R2sin20.ABCD

在矩形BEFG中，EF=Rsin—=—,BE=Rcos--Rcos9=R\史一cos962 6 |2所以2S =2EFxBE=R21吏-cos9所以BEFG I2所以f(9)=S x多+所以f(9)=S x多+2S x21=tR2ABCD BEFG(■’3sin29-2cos9+弋(2)由(1)得，f'(9)=tR2QJ3cos29+2sin9)=2tR2=-2tR2Qsin9-33)('3sin9+1)sin29+sin9因为9e，所以sin92，即最大值为2令f'(9)=0，解得sin9二、3.因为9e2，即最大值为29(0三)-3序-2Jf'(9)+of(9):极大值U列表如下:所以，当9=g时，总造价f(°)取得极大值.(本小题满分16分)1已知函数f(x)=lnx--,g(x)=ax+b.x(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+s)上单调递增，求实数a的取值范围；1(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=Inx--图象的切线，求a+b的最小值;x， . ,、 ， …F1(3)当b=-3时，若直线g(x)=ax+b与函数f(x)=Inx-图象有两个交点，求实数a的取值范x围.1111h'(x)=+ -a,xx2因为h(x)在(0,+8)上单调递增11即Vxe(0,+8),a<+.xx2且H(t)能取到(0,11h'(x)=+ -a,xx2因为h(x)在(0,+8)上单调递增11即Vxe(0,+8),a<+.xx2且H(t)能取到(0,+8)上一切实数11所以，Vxe(0,+8),h(x)=+ -a>0,xx21令—=t,H(t)=t+12,t>0,H(t)=t+12在(0,+8)上单调递增,x所以a<0,故实数a的取值范围为(-8,0].((2)设切点为((2)设切点为x,lnx( 11则切线方程为y-lnx—I0xJ01 +x0(x-x),

01因为直线g(x)1因为直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx--图象的切线，1所以a=一+0xax+b=Inx--=-ln—--0x0xx0012

，所以b——ln--一-1,xx

00令―u(u>0)x02u2-u-1(2u令―u(u>0)x02u2-u-1(2u+1)(u-1)8)时，p'(u)>0,3(u)在(1,+8)—ax2+x+1当u式0,1)时，6(u)<0,P(u)在(0,18)时，p'(u)>0,3(u)在(1,+8)—ax2+x+1所以a+b的最小值为-1.， . -F1 - ，,、(3)当b=-3时，令F(x)=lnx-――ax+3，则F(x)=x当a<0时，F'(x)>0,F(x)在(0,+8)上单调递增，F(x)在(0,+8)上至多一个零点,故a>0.令方程-ax2+x+1=0的大根为x，则-ax2+x+1=0.当xe(0,x°)时，F'(x)>0,F(x)在(0,x0)上单调递增；当xe(x,+8)时，F'(x)<0,F(x)在(x,+8)上单调递减.因为F(x)在(因为F(x)在(0,+8)上有两个零点，所以F(x)=lnxax+3=lnx-0x0

0一 〜、、 2c解得x>1(构造函数G(x)=Inx--+2，根据单调性求解)，01

所以a——+0取x―e-x0e1—e(0,2).x2(0,x)，贝UF(e―x0)——x—ex00—ae-x0+3—^-x—ex00+3)—ae-x0<0,0 0 0根据零点存在性定理，F(x)在(0,x)上至少有一个零点，又F(x)在(0,x)上单调递增，所以F(x)在(0,x)上只有一个零点°.F(x)在(x,F(x)在(x,+8)上只有一个零点.同理，已知矩阵A=0一2_2一2_综上，实数a的取值范围为(0,2).数学口(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A.［选修4-2：矩阵与变换］(本小题满分10分)(1)求B2；(2)求A-1B2.解：(1)因为B解：(1)因为B=2一2，所以B2―2一2(2)因为A=|A|=2中0,所以A-1=所以A-iB2B(2)因为A=|A|=2中0,所以A-1=所以A-iB2B.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的圆心坐标为C2,-，半径为2.以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相V37同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为《x=1+丑t2二(t为参数).y=丑t2（1）求圆C的极坐标方程；⑵设l与圆C的交点为A,B,l与x轴的交点为P，求|PA\+|PB|.解：（1）设P（P，。）为圆C上任意一点，则 一,（K—） ,,, 圆C的圆心坐标为C2,-，半径为2,得圆C过极点，V37（八—\所以，OP-OAcos0--V37 v （八—）所以圆C的极坐标方程为p=4cos0--V37((八—,即p=4cos0——3,((2)由(1)得P=4cos0-—=2cos0+25/3sin0,即p2=2pcos0+2不psin03根据Pcose=x,Psin0=y,px2+y2=2x+2J3y,即x2+2=x2+y2，得y2-2x-2；3尸0.()2 <2 2 <2设A(1+口,=t),B(1+一t,一t)将直线l的参数方程代入()，整理得2121 222212-屈t-1=0t+1—66,11-—11 2 12 所以，1PAi+|pB|=匕-tj"tJ-<(t1+12)2-4tt=<6+4=<10.12【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字••••••••••说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）已知f/xX.(兀、exsinx+—、4,，记f(x)=f'(x)(neN*).n-1(1)f(x),f(x),f(x)；1 2 3(2)求S=f(x)+f(x)+^^ex^^ex(2cosx)2R^ex(-4sinx)2TOC\o"1-5"\h\z“/、 .(兀、 …、一、解：由f(x)=e2xsinx+-得f(x)=f(x)=V4同理，f(x)=口ex(2cosx-2sinx),f(x)=2 2 3(2)由(1)得，当n=4k(keN)时，f(x)=(-4)kx—ex(sinx+cosx),4k 2当当n=4k+2(keN)时，f(x)=4k+2当n=4k+1(keN)时，f(x)=4k+1

(-4)kX匹ex(2cosx)；(-4)kx豆ex(2cosx-2sinx),2当n=4k+3(keN)时，f(x)=(-4)kex(-4sinx)4k+3所以，f(x)+f(x)+f (x)f(x)+f(x)+f (x)+f4k+14k+3(x)=(-4)kX—ex[5cosx-5sinx]=(-4)k2L(兀、x5