一轮复习北师大版第一章第3节　简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲展示.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义..理解全称量词与存在量词的意义..能正确地对含有一个量词的命题进行否定..二:侬*必备知识一知识梳理.简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”.(2)命题pAq,pVq,的真假判断.全称量词与存在量词PqpAqpVq—'P真真真真假真假假真假真假真真假假假假(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词，用符号表示.⑵存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词,用符号ar表示.⑵全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义,利用函数的最值解决.[对点训练4](1)已知命题“任意xeR,x2-5x+^a>0"的否定为假命题,则实数a的取值范围是;?⑵已知a£R,命题p:任意x£[1,2],x2-a^0,命题q:存在x()£R,Xq+2axo+2_a=O.若命题P且q为真命题,则实数a的取值范围是?解析：(1)由命题“任意xeR,x2-5x+Ta>0”的否定为假命题,得“任意xeR,x2-5x+竺a>0”为真命题.故△<0,即(-5)-4X-a<0,解得a>-.所以aS&+8).2 2 6 6(2)若命题p是真命题,则有aWx?对xe[1,2]恒成立,所以aWl;若命题q是真命题,则关于x的方程x，2ax+2-a=0有实根，△=(2a)?-4(2-a)20,解得aW-2或a^l.因为命题p且q为真命题,所以p,q都是真命题.所以aW-2或a=l.答案：⑴(+8)⑵(-8,—2]U{l}6・二备选例题1・.[例1]己知命题p:存在noWR,使得f(x)=n()x诟+2几。是幕函数,且在(0,+8)上单调递增；命题q：“存在x°£R,诏+2>3x。”的否定是“任意x£R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是()A.p且qB.—ip且qC.p且一>qD.—«p且一《q解析：当n=l时,f(x)=x：3为基函数,且在(0,+8)上单调递增,所以p为真命题，「p为假命题；“存在x°£R，诏+2〉3x。”的否定是“任意x£R,x2+2W3x”,所以q为假命题，->q为真命题.所以P且q,—'P且q,-ip且「q均为假命题,P且「q为真命题.故选C.[例2]命题“任意xCR,存在n°£N：使得no2x2”的否定形式是( )A.任意x£R,存在no£N：使得n0<x2B.任意x£R,任意n£N*,使得n<x2C.存在xoeR,存在n°£N*,使得水盼D.存在x0£R，任意n£N*,使得n〈就解析：“任意”改为“存在”，“存在”改为“任意”，“n2x2”的否定为“n〈x2”，所以原命题的否定形式为“存在Xo《R,任意n£N*,使得水田”.故选D.[例3](2021•安徽第三次模拟)已知函数f(x)=["十0'"一/'若命题”？x。Uogax,%>2,6R,f(Xo)〈l”为假命题,则实数a的取值范围是()A.[|,2]B.(1,2]C.(1,V2]D.[V2,|]解析：由题意知a>0,且aWl,命题"?x£R,f(x)Nl”为真命题.当xW2时,f(x)=—x+a,易知f(x)在(一,2]上单调递减,其最小值为弓+a,则由4 2f(X)21恒成立得-3ael,即a若;当x>2时，f(x)=logax21恒成立,则a>l,此时函数f(x)=logaX为增函数,故loga2^l=log8a,得l<aW2.综上,|WaW2,即实数a的取值范围是[|,2].故选A.[例4]已知f(x)=ln(x2+l),g(x)=( -m,若任意x£[0,3],存在[1,2],使得f(x.)Ng(x“，则实数m的取值范围是.?解析：当x.e[0,3]时，f区)£[0,In10],当X2W[1,2]时,g(x2)e[i-m,.因为任意x£[0,3],存在x2G[1,2],使得f(x)2g(X。，所以只需02；m,解得m2；.4 4答案：［g+8)4夕重要结论结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个Xo,使p(Xo)成立简记?x£M,p(x)?x0£M,p(x(>)否定?XoM,—ip(x0)?xWM,—ip(x)(1)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.(2)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:pVq一见真即真,p/\q一见假即假,p与「pf真假相反.(3)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.⑷“pVq”的否定是“|丽Hq”；"p/W’的否定是"|小|卡口一基础门测i.判断下列结论的正误.(正确的打“J”，错误的打“义”)⑴命题“5>6或5>2”是真命题.( )⑵命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(3)若命题p,Q至少有一个是真命题,则p或q是真命题.()(4)已知命题p:存在n°£N,2no>1000,则一ip:存在外金凡？71。或1000.( )答案：⑴J⑵义(3)V⑷义2.命题"?x£R,x2+x20”的否定是(B)A.?Xo《R,Xq+xo^OB.?x0^R,%o+xo<0C.?xER,x2+x^0D.?x£R,x2+x<0解析：由全称命题的否定是特称命题知命题B正确..命题p:若sinx>siny,则x>y;命题q:x?+y222xy,下列命题为假命题的是(B)A.pVqB.pB.pAqC.q D.—ip解析：取尸警时,可知命题p是假命题；由(x-y)220恒成立,可知命题q是真3 6命题.故「P为真命题,PVq是真命题,pAq是假命题.故选B..下列四个命题：「1：对任意*£兄都有2x>0;P2：存在x0£R,使得瞪+xo+l<O;p：$:对任意xWR,都有sinx<2\Pi：存在XoWR,使得COSXo>Xo+Xo+l.其中的真命题是(D)A.pi,p2B.p2,p3C.p3,PiD.pi,p，!解析：由指数函数的性质易知命题Pi是真命题；由x2+x+l=(x+i)2+^2,知命题P2是假命题；当时，sinx=l,2<2=，此时sinx>2;所以命题p?是假命题；当x=」时，cosx>cos,x2+x+l=(--)2+(--)+1=-,—所以cosx>x"+x+l,所2 62 2 2 424以命题P4是真命题.故选D..若"?xe[4 x+2”为真命题,则实数m的最大值为 .?43解析:由xe[-屋]，43所以IWtanx+2^2+V3.因为“?x£[TymWtanx+2”为真命题，43则所以实数m的最大值为1.答案：1关键能力考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断[例1](1)已知命题P：存在实数x。,使sinx产”;命题q:任意实数x,都有x2+x+l>0.给出下列结论：①命题“P且q”是真命题;②命题“P且「q”是假命题;③命题“-^或4”是真命题;④命题“一^或「4”是假命题，其中正确的是( )A.①②③B.②③C.②④D.③④(2021•江西联考)已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0,且aWl)的图像恒过点(1,2);命题q:若函数f(x-l)为偶函数,则f(x)的图像关于直线x=-l对称.则下列命题是真命题的是()A.p且qB.p且一C.―'P且q D.―>p且一>q解析：(1)命题P为假命题，命题q为真命题，所以“P且q”是假命题,①错；"P且「q"是假命题,②正确;命题「P或q是真命题,③正确;④错误.所以正确命题有②③.故选B.(2)函数y=2-ax+1(a>0,且aW1)的图像可以由函数尸-翦的图像先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,而函数y=-a"的图像与函数尸a*的图像关于x轴对称,所以函数的图像恒过点(0,-1),则尸2-a'”的图像恒过点(-1,1),所以命题p为假命题，「P为真命题；因为函数f(x-1)为偶函数,所以y=f(x-l)的图像关于y轴对称,将函数y=f(x-1)的图像向左平移1个单位长度后,可得到函数y二f(x)的图像，因此函数y二f(x)的图像关于直线x=-l对称,所以命题q为真命题，「q为假命题.所以P且q为假命题,P且「q为假命题，「P且q为真命题，-P且「q为假命题.故选C.g反思归纳判断含逻辑联结词的命题真假的步骤(1)确定命题的形式.(2)判断构成该命题的两个命题的真假.⑶根据“P或q”“P且q””|「卜’的真假性与命题P,q的真假性的关系作出而[对点训练1](1)已知命题p:函数y=2*川的图像关于直线x=l对称,q:函数y=x+工x在(0,+8)上单调递增.由它们组成的新命题“pAq”“pVq”“「p”中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个⑵给出下列两个命题，命题p:“x>3”是“x>5”的充分不必要条件，命题q:函数f(x)=log2(V^T-x)是奇函数.则下列命题是真命题的是()A.pAq B.pV-iqC.pVq D.pA—'q解析：(1)因为尸2”为偶函数,其图像关于y轴对称，函数y=2,的图像由函数y二2x的图像向右平移1个单位长度得到,所以函数y二2g的图像关于直线x=l对称，命题P是真命题；函数y=x+^在(0,1)上单调递减,所以命题q是假命题；X所以“pAq”是假命题，“pVq”是真命题，“「p”是假命题，真命题有1个.故选B.(2)“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，所以命题p是假命题;f(x)的定义域为R,由f(x)=log2(V%24-1-X),得f(-x)=log2(V%2+1+x)=1°g2(^+i-x)=-log2(V%2+l-x)=-f(x).所以函数f(x)是奇函数,所以命题q是真命题,所以pVq是真命题.故选C.考点二含有一个量词的命题角度一含有一个量词的命题的否定[例2]⑴若命题p:存在xoeR,瑞>1-贿，则命题p的否定为()A.任意x£R,x3<l-x2B.任意x£R,xWl-x?C.存在x()WR,%o<l-%oD.存在XoWR,Xq^I-Xq(2)命题”?n£N*,f(n)WN*且f(n)Wn”的否定形式是( )?neN*,f(n)?N*且f(n)>n?nEN*,f(n)?N*或f(n)>n?n0^N\f(n0)?N*且f(n0)>n0?n0^N\f(n0)?N*或f(n0)>n0解析：(D命题p的否定为“任意xWR.(Wl-x?”,故选B.(2)“？n£N*”变为“？no£N*”，“f(n)£N\&f(n)Wn”的否定是“f(n°)?N*或f(no)>no”.因此原命题的否定是匕n°£N*,f(n°)?N,f(n°)>n。”.故选D.目反思归纳全称命题、特称命题进行否定的步骤(1)改写量词:找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词.(2)否定结论:对原命题的结论进存蒜7[对点训练2](2021•四川成都诊断)命题"?x>0,x2+x+l>0"的否定为()?XoWO,%o+xo+lWO?xW0,x2+x+1^0?x0>0,Xq+xq+I^O?x>0,x2+x+1^0解析："?x>0,x2+x+l>0”的否定为“?x°>0,/+x°+l〈0”.故选C.角度二全称(特称)命题的真假判断[例3]⑴下列命题中，真命题是()?x0^R,sin2—+cos2—=-3 33?xE(0, ,sinx>cosx?Xo£R,Xq+x0=-2?x£(0,+8),e'>x+l(2)命题p:存在实数Xo,使得对任意实数x,sin(x+x())=-sinx恒成立;q:?a〉O,f(x)=ln"为奇函数.则下列命题是真命题的是()a-xA.pAqB.—>pV—>qC.pA-'qD.―>pAq解析：⑴？x£R,si樗+cos『l,故A是假命题;O O当x£(0,3时，sinxWcosx,故B是假命题;4?x£R,x2+x^-i故C是假命题；4令f(x)=ex-x-l,则f'(x)=ex-l.当xG(0,+8)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,即ex-x-l>0,也即e、>x+l,即D是真命题.故选D.(2)依题意，对于p,取Xo二冗，对任意实数x,都有sin(x+ji)=-sinx成立，因此p真，「P假；对于q,函数f(x)的定义域为(-a,a),且f(-x)+f(x)=ln—+ln竺三Ina+xa-x(—•—)=0,即f(-x)--f(x),函数f(x)=ln比为奇函数，因此q真，假.a+xa-x a-x所以pAq为真命题，-pV「q为假命题,pA「q为假命题，-pAq为假命题.故选A..反思归纳⑴判定全称命题”?x£M,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判定全称命题为假命题,只需举一反例.(2)要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x=x。,使p(x。)成立即可.[对点训练3](2021