浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试题

浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元测试题/相似三角形第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，下列说法错误的是()A．ad＝bcB.eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(a,b)C.eq\f(a－d,b)＝eq\f(a－b,d)D.eq\f(a2,b2)＝eq\f(c2,d2)2．△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1∶2B．1∶3C.1∶4D．1∶163．如图SG4－1，△ABC与图SG4－2中的哪一个三角形相似()图SG4－1图SG4－24.如图SG4－3，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm.当它的一端(B)着地时，另一端(A)离地面的高度AC为()图SG4－3A．25cmB．50cmC．75cmD．100cm5．如图SG4－4，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为()图SG4－4A．1.5B．2C．2.5D．36．如图SG4－5，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则CD的长为()图SG4－5A.eq\f(16,3)B．82C．10D．167．如图SG4－6，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()图SG4－6A.eq\r(7)B．4eq\r(3)C.eq\r(21)D．78.如图SG4－7，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为()图SG4－7A．21B．31C.eq\r(2)1D．419．如图SG4－8，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使A，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为()图SG4－8A．16B．14C．16或14D．16或910．如图SG4－9①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠ACD.如图③，将△ACD沿着AD所在的直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED，则BE的长是()图SG4－9A．4B.eq\f(17,4)C．3eq\r(2)D．2eq\r(5)请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．若x∶y＝1∶2，则eq\f(x－y,x＋y)＝________．12．如果两个相似多边形的面积比为1∶2，那么它们的周长比为________．13．如图SG4－10，∠CAE＝∠DAB，请补充一个条件：________，使△ABC∽△ADE.图SG4－1014．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图SG4－11，若舞台AB的长为20m，则主持人应走到离A点至少________m处(结果精确到0.1m)．图SG4－1115．如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝________．16．如图SG4－12，在矩形ABCD中，BC＝eq\r(2)AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连结CH并延长交边AB于点F，连结AE交CF于点O.给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2eq\r(2)EH；③HO＝eq\f(1,2)AE；④BC－BF＝eq\r(2)EH.其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)．图SG4－12三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(6分)如图SG4－13，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)．(1)将△ABC向上平移3个单位，然后再向右平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出一个格点三角形A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2∶1.图SG4－1318．(6分)如图SG4－14，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝1cm，AE＝4cm，BC＝5cm.求DE的长．图SG4－1419．(6分)如图SG4－15，△ABC在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(2，3)，点C的坐标为(6，2)，并写出点B的坐标；(2)以坐标原点O为位似中心，在第一象限内作出将△ABC放大2倍后的图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积．图SG4－1520．(8分)如图SG4－16，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点P从点B出发，沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA边向终点A以1cm/s的速度移动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．若点P，Q分别从点B，C同时出发，则经过多长时间△CPQ与△CBA相似？图SG4－1621．(8分)如图SG4－17，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.(1)求证：△ABD∽△AEB；(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的长．图SG4－1722．(10分)如图SG4－18，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面的CD和地面的BC处，已知CD和地面成30°角，CD＝4m，BC＝10m，且此时测得1m高的标杆在地面上的影长为2m．求电线杆AB的高度．图SG4－1823．(10分)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图SG4－19①)或线段AB的延长线(如图②)于点P，连结BQ.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．图SG4－1924．(12分)有这样一道作业题：图SG4－20如图SG4－20，有一块三角形余料ABC，它的边长BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于思考，她又提出了下面的问题：(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形所组成，如图SG4－21①，此时，这个矩形零件的两边长分别为多少毫米？(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图SG4－21②，这样，此矩形零件的两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．①②图SG4－21

1．[答案]C2．[答案]C3．[答案]D4．[答案]D5．[答案]D6．[答案]C7．[解析]C∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠D.又∵∠BAD＝∠EAB,∴△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝3×7＝21，∴AB＝eq\r(21).故选C.8．[答案]C9．[答案]D10．[解析]B∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC.又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CD,CA)，∴eq\f(4,7)＝eq\f(CD,4)，∴CD＝eq\f(16,7)，∴BD＝BC－CD＝eq\f(33,7).在题图③中，设AE与BD交于点F.∵∠ABF＝∠ACF＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，∴△ABF∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AF,DF)＝eq\f(BF,EF)＝eq\f(7,4).设AF＝x，则EF＝4－x，BF＝7－eq\f(7x,4)，DF＝eq\f(4x,7).∵BF＋DF＝BD＝eq\f(33,7)，∴7－eq\f(7x,4)＋eq\f(4x,7)＝eq\f(33,7)，∴x＝eq\f(64,33)，∴DF＝eq\f(256,231)，∴eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,BD).又∠EDF＝∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴eq\f(EF,BE)＝eq\f(DF,DE)，∴BE＝eq\f(17,4)，故选B.11．[答案]－eq\f(1,3)12．[答案]1∶eq\r(2)13．[答案]答案不唯一，如∠B＝∠D(或∠C＝∠AED或AB∶AD＝AC∶AE或AC·AD＝AE·AB)14．[答案]7.615．[答案]316．[答案]①③17．解：(1)作出△A1B1C1如图所示．(2)本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可(如图所示)．18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).又∵AD＝EC，∴eq\f(AD,1＋AD)＝eq\f(4,4＋AD)，∴AD＝2(cm)，∴AB＝3cm.又∵eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)，∴DE＝eq\f(10,3)cm.19．解：(1)如图，画出原点O，x轴，y轴．点B的坐标为(2，1)．(2)△A′B′C′如图所示．(3)△A′B′C′的面积为eq\f(1,2)×4×8＝16.20．解：设经过ts时，△CPQ与△CBA相似，此时，BP＝2tcm，CQ＝tcm，则CP＝(8－2t)cm，0<t<4.①当PQ∥AB时，△CPQ∽△CBA，则eq\f(CP,CB)＝eq\f(CQ,CA)，即eq\f(8－2t,8)＝eq\f(t,6)，∴t＝eq\f(12,5)；②当eq\f(CP,CA)＝eq\f(CQ,CB)时，△CPQ∽△CAB，则eq\f(8－2t,6)＝eq\f(t,8)，解得t＝eq\f(32,11).答：经过eq\f(12,5)s或eq\f(32,11)s时，△CPQ与△CBA相似．21．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴∠ABC＝∠ADB.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.(2)∵△ABD∽△AEB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AB).∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4，∴AB＝2.∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝eq\r(5).22.解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.∵DC＝4m，∠DCF＝30°，∴DF＝2m，∴BE＝DF＝2m，CF＝eq\r(CD2－DF2)＝2eq\r(3)m，∴ED＝BF＝BC＋CF＝(10＋2eq\r(3))m.∵同一时刻的光线是平行的，水平线是平行的，∴光线与水平线的夹角相等．又∵标杆与影子构成的角为直角，AE与ED构成的角为直角，∴AE与影长DE构成的三角形和标杆与影子构成的三角形相似，∴eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，解得AE＝(5＋eq\r(3))m，∴AB＝AE＋BE＝(7＋eq\r(3))m.答：电线杆AB的高度为(7＋eq\r(3))m.23．解：(1)证明：∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠ABC＝90°.在△AQP与△ABC中，∵∠AQP＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC.(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5.(I)当点P在线段AB上时，如题图①所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ.由(1)可知△AQP∽△ABC，∴eq\f(AP,AC)＝eq\f(QP,BC)，即eq\f(3－PB,5)＝eq\f(PB,4)，解得PB＝eq\f(4,3)，∴AP＝AB－PB＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3).(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图②所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ，∴∠BQP＝∠P.∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，∴B为线段AP的中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6.综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为eq\f(5,3)或6.24．解：(1)设PQ＝xmm，则PN＝2xmm.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC)，即eq\f(80－x,80)＝eq\f(2x,120)，∴x＝eq\f(240,7)，则2x＝eq\f(480,7).