人教版高中数学必修4三角函数

任意角一、知识概述1、角的分类：正角、负角、零角.2、象限角：〔1〕象限角.〔2〕非象限角〔也称象限间角、轴线角〕.3、终边一样的角的集合：所有与角终边一样的角，连同α角自身在，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边一样．4、准确区分几种角锐角：0°<α<90°；0°～90°：0°≤α<90°；第一象限角：．5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角〔1rad〕.1rad=，1°=rad.6、弧长公式：l=αR.7、扇形面积公式：.二、例题讲解例1、写出以下终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：〔1〕60°；〔2〕－21°；〔3〕363°14′．解：〔1〕，S中满足的元素是〔2〕，S中满足的元素是〔3〕，S中满足的元素是例2、写出终边在y轴上的角的集合.解析：∴.注：终边在*轴非负半轴：.终边在*轴上：.终边在y=*上：.终边在坐标轴上：.变式：角α与β的终边关于*轴对称，则β=_______.答案：.角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.答案：任意角的三角函数一、知识概述1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P〔*，y〕，则sinα=y，cosα=*，tanα=.注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，则.②α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边一样的角所在的位置.2、公式一：，，，其中.3、三角函数线角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥*轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM〔余弦线〕.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT〔正切线〕.注：假设，则.二、例题讲解例1、角α的终边上一点，且，求的值．解：，∴，.当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴．例2、化简以下各式〔1〕；〔2〕．解：〔1〕〔2〕同角三角函数的根本关系一、知识概述1、平方关系：．2、商数关系：．二、例题讲解例1、tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．解：∵，，∴.∴，即有，又∵为非零实数，∴为象限角．当在第一、四象限时，即有，从而，；当在第二、三象限时，即有，从而，．例2、，试确定使等式成立的角α的集合．例3、，求sin*，cos*的值．解：由等式两边平方：．∴，即，∴为一元二次方程的两个根，解得．又∵，∴．因此．例4、化简：.解法一：原式=.解法二：原式=.解法三：原式=.例5、，则〔1〕____________________．(2)____________________．(3)____________________．解：〔1〕；〔2〕；三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一：.诱导公式二：.诱导公式三：，，．诱导公式四：，，.诱导公式五：，．诱导公式六：，．引申：诱导公式七：，．诱导公式八：，．记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限〞．二、例题讲解例1、化简：〔1〕；〔2〕〔3〕．〔4〕〔5〕．解：〔1〕原式．〔2〕原式=.〔5〕例2、求的值．解：由得，所以例3、则________．解：．正弦函数、余弦函数的图象与性质〔一〕

一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质：①定义域：*∈R②值域：[－1，1]③周期性：都是周期函数，且最小正周期为.二、例题讲解例1、作函数的简图．〔2〕描点连线〔图象见视频〕.例2、求以下函数的周期〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．解：〔1〕令，则.∵f(*＋T)=f(*)恒成立，.∴周期为4.注：.〔2〕.注：.〔3〕T=π．〔4〕T=．假设，使令*=0，得，，与时矛盾．∴T=.例3、求以下函数的定义域：〔1〕；(2)y=lg(2sin*＋1)＋．解：〔1〕，∴，∴．(2)，∴.∴其定义域为.正弦函数与余弦函数的图象与性质〔二〕一、知识概述1、图象〔见视频〕2、性质：〔1〕定义域：都为R.〔2〕值域：都为[－1，1].〔3〕周期性：都是周期函数，且T=2π.〔4〕奇偶性：y=sin*是奇函数，y=cos*是偶函数.〔5〕对称性：y=sin*的对称中心为(kπ，0)〔k∈Z〕，对称轴为.y=cos*的对称中心为，对称轴为.〔6〕单调性：y=sin*在上单调递增；在上单调递减.y=cos*在上单调递减；在上单调递增.二、例题讲解例1、在中，，假设函数y=f(*)在[0，1]上为单调递减函数，则以下命题正确的选项是〔〕A．B．C．D．解：∵，∴，.所以．答案：C例2、求以下函数的单调递增区间：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕y=－|sin〔*＋〕|解：〔1〕法一：图象法〔图象见视频〕.法二：令，∴.所以，函数单调递增区间为．〔2〕令，∴，所以，函数单调递增区间是．〔3〕令.所以，函数单调递增区间是.法二：∵，令，，所以，函数的递增区间是．〔4〕函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］〔k∈Z〕．〔图象见视频〕法二：令.解得.∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］〔k∈Z〕.正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象：2、性质：〔1〕定义域：；〔2〕值域：R；〔3〕周期性：；〔4〕奇偶性：奇函数；〔5〕对称性：y=tan*的对称中心为.〔6〕单调性：在单调递增．二、例题讲解例1、求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕由，得，∴．∴的定义域为．〔2〕令，∵sin*∈[－1，1]且，∴定义域为R.〔3〕由，得，∴，∴原函数的定义域为〔备注：视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间〕．例2、求函数的定义域，周期和单调区间．函数y=Asin〔ω*＋φ〕的图象一、知识概述的图象可由y=sin*的图象经过以下的变换得到：①将y=sin*的图象向左〔右〕平移个单位得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长〔缩短〕到原来的倍，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长〔缩短〕到原来的A倍，得到的图象.A表示振幅，为周期，为频率，为初相，为相位.二、例题讲解例1、函数的图象是由y=sin*的图象经过怎样的变换得到．解：①将的图象向左平移个单位，得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图象．变式1：y=sin*的图象由的图象经过怎样的变换得到.解：横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2*的图象；再将y=sin2*的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin*的图象.变式2：函数y=f(*)的图象先向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象，求f(*)的解析式.答案：.例2、函数〔，〕一个周期的函数图象，如以下图所示，求函数的一个解析式．解：由图知：函数最大值为，最小值为，又∵，∴，由图知，∴，∴，法一：∴，∴，∴.，代入上面两式检验，得满足条件.∴．法二：..法三：令，.三角函数模型的简单应用例1、电流在一个周期的图象如图：〔1〕根据图中数据求的解析式．〔2〕如果t在任意一段秒的时间，电流都能取得最大值和最小值，则ω的最小正整数值是多少？例2、*港口水的深度y〔米〕是时间，单位：时〕的函数，记作，下面是*日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象．〔1〕试根据以上数据，求出函数的近似表达式；〔2〕一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是平安的〔船舶停靠时，船底只需不碰海底即可〕．*船吃水深度〔船底离水面的距离〕为6.5米，如果该船希望在同一天平安进出港，请问，它至多能在港停留多长时间〔忽略进出港所需时间〕？解：〔1〕由数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10，〔视频板书中应为f(t)〕．〔2〕由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米，，解得:，在同一天，取.∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口最多停留16个小时．例3、如下图，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上*人经过点P处〔点P与摩天轮中心O高度一样〕时开场计时：〔1〕求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；〔2〕在摩天轮转动的一圈，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．解：〔1〕以O为坐标原点，以OP所在直线为*轴建立直角坐标系，在t秒摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为〔米〕．〔2〕令，则，，，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．例4、*商品一年出厂价格在6元的根底上按月份随正弦曲线波动，3月份到达最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店的销售价格在8元根底上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．〔1〕试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；〔2〕假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．三角函数的综合应用例1、求以下函数的值域：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕．解：〔1〕∵，∴，∴，所以，值域为．〔2〕..另解：，∴，∴，解得，．〔3〕，，.〔4〕由题意，∴，∵，∴时，，但，∴，∴原函数的值域为．〔5〕∵，又∵，∴，∴，∴函数的值域为．例2、是否存在α、β，α∈〔－，〕，β∈〔0，π〕，使等式sin〔3π－α〕=cos〔－β〕，cos〔－α〕=－cos〔π＋β〕同时成立"假设存在，求出α、β的值；假设不存在，