2021年陕西省中考数学试卷(含解析)

2021年陕西省中考数学试卷一、选择题（共10个小题，共计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.（3分）如果零上5℃记作+5℃,那么零下7℃可记作（ ）A.-7℃ B.+7℃A.-7℃ B.+7℃C.+12℃ D.-12℃2.（32.（3分）如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体,该几何体的左视图是()D.3.（3分）计算（-5g）()D.3.（3分）计算（-5g）2的结果是（A.-WasB.10«6C.-25a5D.25。6（3分）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）8992959697评委（位）12211A.92分 B.93分 C94分 D.95分(3分)如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S.》：SA”=( )△EDC△ABCA.1：2 B.2：3 C.1：3 D.1：4（3分）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（(2,-(2,-3),(-4,6)(-2,3),(4,6)C.(C.(-2,-3),(4,-6)D.(2,3),(-4,6)（3分）如图，在菱形A8co中，对角线AC与6。交于点0,OELAB,垂足为E,若NA0C=13O°,则NAOE的大小为（OC.55°D.OC.55°D.50°（3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点则点M的坐标为（ ）A.(-1,4)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(2,1)9.A.(-1,4)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(2,1)9.（3分）如图，在半径为5的。。中,AB.。。是互相垂直的两条弦，垂足为B.4,则0P的长为（C.372D.4/210.（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移机个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则碗I的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.6二、填空题（共6小题，每小题3分共18分）(3A.1B.2C.3D.6二、填空题（共6小题，每小题3分共18分）(3分)计算：2cos450-3^3+(1-E)0—(3分)分解因式：x3y-2x2y2+xy3=（3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.人、在平面中，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°,则线段AB扫过的面积为B、用科学记算器计算：:「sin69°\（精确到0.01）.（3分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买瓶甲饮料.（3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）.（3分）如图，从点A（0,2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4,3）,则这束光从点A到点B所经过的路径的长为.\/:三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出过程）（5分）化简：（包±__上-亘①.“a-Fba-ba+b（6分）如图，在口ABCD中，NABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F.(1)求证：AB=AF；(2)当AB=3,BC=5时，求&L的值.AC（7分）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书.为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计.结果如图：一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图X在借出图书数量牛200r请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？20．（8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）.（参考数据sin25°\0.4226,cos25°\0.9063,tan25°-0.4663,sin65°-0.9063,cos65°\0.4226,tan65°-2.1445)北（8分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.（1）求出y与x的函数关系式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？(8分)小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次(若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷)，点数和大的获胜；点数和相同为平局.依据上述规则，解答下列问题：(1)随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；(2)小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为7,求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率.(骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和)(8分)如图，PA.尸8分别与。。相切于点A、点M在尸8上，且//AP,MN1AP,垂足为N.(1)求证：OM=AN；(2)若。。的半径尺=3,PA=9,求0M的长.(10分)如果一条抛物线y= (〃/0)与，轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.I “抛物线三角形”一定是三角形；)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；3如图，△OAB是抛物线y=-x2+b'x(b’>0)的"抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

(12分)如图，正三角形A8C的边长为3+＞旧.(1)如图①，正方形EF尸N的顶点石、尸在边上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形戌F'P1N',且使正方形E'rPNf的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E1FPN'的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、石尸在边上，点尸、N分别在边。从C4上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.图①图②2012年陕西省中考数学试卷解析一、选择题（共10个小题，共计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）（3分）如果零上5℃记作+5℃,那么零下7℃可记作（ ）A.-7℃ B.+7℃ C.+12℃ D.-12℃【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.【解答】解：：“正”和“负”相对，・•・零上5℃记作+5℃,则零下7℃可记作-7℃.故选：A.【点评】此题考查了正数与负数的定义.解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.（3分）如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（）【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形.故选：C.【点评】考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项.（3分）计算（-5g）2的结果是（ ）A.-10«5B.10«6A.-10«5B.10«6C.-25。5D.25a6【分析】利用积的乘方与事的乘方的性质求解即可求得答案.【解答】解（-5〃3）2=25ae.故选：D.【点评】此题考查了积的乘方与事的乘方的性质.注意嘉的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.（3分）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）分数（分）8992959697评委（位）12211A.92分 B.93分 C94分 D.95分【分析】先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可.【解答】解：由题意知，最高分和最低分为97,89,则余下的数的平均数=（92X2+95X2+96）+5=94.故选：C.【点评】本题考查了加权平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式.（3分）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S.》：SA”=（ ）△EDC△ABCA.1：2 B.2：3 C.1：3 D.1：4【分析】在^ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是^ABC的中位线，即可证得△EDC-△ABC,然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.【解答】解：•・•"BC中，AD、BE是两条中线，・•・DE是^ABC的中位线，

：.DE//AB,DE=^AB,2，△EDCs^ABC,°aEDC°°aEDC°aabc（型）2=AB故选：D.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质.此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.(3分)在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( )A.(2, -3), (-4,6) B. (-2,3),(4, 6) C.(-2,-3),(4, -6) D. (2,3),(-4, 6)【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可.【解答】解：A、•・•二1=且，，两点在同一个正比例函数图象上；n一/I氏・・・工_/旦，，两点不在同一个正比例函数图象上；-24。、•・•二1/二・••两点不在同一个正比例函数图象上；-2 4。、•・•三/两点不在同一个正比例函数图象上；2T故选：A.【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键.(3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE±AB，垂足为E，若NADC=130°,则NAOE的大小为( )00A.75° B.65° C.55° D.50°【分析】先根据菱形的邻角互补求出NBAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出NBAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.【解答】解：在菱形中，ZADC=130°,A180°-130°=50°,AZBAO=^ZBAD=^X50°=25°,2 2•/OELAB,AZAOE=90°-ZBAO=90°-25°=65°.故选：B.【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键.（3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点则点M的坐标为（ ）A.（-1,4）B.（-1,2）C.（2,-1）D.（2,1）【分析】联立两直线解析式，解方程组即可.【解答】解：联立［产一班3,解得r二I所以，点M的坐标为（2,1）.故选：D.【点评】本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握.（3分）如图，在半径为5的。。中，AB,。。是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=C0=8,则。尸的长为（ ）A.3 B.4 C.372 D.472【分析】作。于M,ON1CD于N,连接08,OD,首先利用勾股定理求得的长，然后判定四边形尸N是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得0M的长.【解答】解：作于M,ONLCD于N,连接OB,0D,由垂径定理、勾股定理得：0M=0N=｛铲_产3,・•弦AB、互相垂直,AZDPB=90°,/0M1ABfM, 于N,，ZOMP=ZONP=90°•・四边形M0N尸是矩形，/OM=ON,・•・四边形MON尸是正方形,，0P=3血故选：C.【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线.(3分)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移机个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则碗I的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.6【分析】计算出函数与，轴、y轴的交点，将图象适当运动，即可判断出抛物线移动的距离及方向.【解答】解：当x=0时，y=-6,故函数图象与y轴交于点C(0,-6),当y=0时，X2-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得％=-2或x=3,即A(-2,0),B(3,0)；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点,故碗的最小值为2.

故选：B.故选：B.【点评】本题考查了二次函数与几何变换，画出函数图象是解题的关键.二、填空题（共6小题，每小题3分共18分）（3分）计算：2cos45°-3^8+（1-E）°—~5<2+1.【分析】先将二次根式化为最简，再计算零指数幂，然后代入cos45°的值即可得出答案.【解答】解：原式=2义四-3义2”反+1=-5e+1.故答案为：-5痛+1.【点评】此题考查了实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则，另外要注意熟记一些特殊角的三角函数值.（3分）分解因式：x3y-2x2y2+xy3=xy（x-y）2.【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解因式.【解答】解：x3y-2x2y2+xy3,=xy（x2-2xy+y2）,=xy（x-y）2.【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式.（3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.人在平面中，将长度为4的线段AB绕它的中点M,按逆时针方向旋转30°,则线段AB扫过的面积为2n.3B、B、用科学记算器计算：•.汗sin692.47 （精确到0.01）.【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可;B、用计算器计算即可.rXmb【解答】解：A、由题意可得，AM=MB=^AB=2,2线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAD的面积和，故线段扫过的面积=四二巴登式=".360 360 3B、^7sin69°\2.47.故答案为：竺、2.47.【点评】此题考查了扇形的面积计算及计算器的运用，解答A需要我们明确线段旋转后扫过的面积，解答B要求我们熟练操作计算器.（3分）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买豆瓶甲饮料.【分析】首先设小宏能买x瓶甲饮料，则可以买（10-x）瓶乙饮料，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费W50元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可.【解答】解：设小宏能买x瓶甲饮料，则可以买（10-x）瓶乙饮料，由题意得：7x+4（10-x）<50,解得：x<独，3•・・x为整数，・•・x=0,1,2,3,则小宏最多能买3瓶甲饮料.故答案为：3.【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式.15.（3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是尸殁(只写出符合条件的一个即可).【分析】两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足-2x2+6x-k=0"<0即可.【解答】解：设反比例函数的解析式为：y=k,y=-2z+6•・•一次函数y=-2x+6与反比例函数y=k图象无公共点，则］k,x y=—工・•・-2x2+6x-k=0,即4=62-8k<0解得k>1,则这个反比例函数的表达式可以是y=迪；X故答案可为：y=—.【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解题的关键是：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足-2x2-6x-k=0的4<0.(3分)如图，从点A(0,2)发出一束光，经x轴反射，过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过的路径的长为..5.【分析】首先过点B作BD±x轴于D,由A(0,2),B(4,3),即可得0A=2,BD=3,0D=4,由题意易证得△AOC-△BDC根据相似三角形的对应边成比例，即可得OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3,又由勾股定理即可求得这束光从点A到点B所经过的路径的长.【解答】解：如图，过点B作BD±x轴于D,VA(0,2),B(4,3),：.0A=2,BD=3,0D=4,根据题意得：ZACO=ZBCD,VZAOC=ZBDC=9Q°,，AAOC^ABDC,：.OAtBD=OC：DC=ACtBC=2：3,・・・oc=2oo=2x4=&，5 5 5-AC=VoA2+OC2’□5：.AC+BC=.：H.即这束光从点A到点B所经过的路径的长为:.■41-故答案为：v4L【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及点与坐标的性质.此题难度适中，解此题的关键是掌握辅助线的作法，掌握入射光线与反射光线的关系.三、解答题(共9小题，计72分，解答应写出过程)(5分)化简：【叁土一」—)一亘生.a-l-ba-ba+b【分析】根据分式混合运算的法则先计算括号里面的，再把除法变为乘法进行计算即可.【解答】解：原式=必&£生也上(a-Fb)(a-b)a-2b=五(a-b^(a-2b)=一白！2堡―(a-b1)-'.(a-2b)=2a(a-2bJ(a-b)(a-2b)_2a.a-b【点评】本题考查的是分式的混合运算，即分式的混合运算，要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.(6分)如图，在口ABCD中，ZABC的平分线B/分别与AC.AD交于点E、F.(1)求证：AB=AF；【分析】(1)由在口中，AD//BC,利用平行线的性质，可求得N2=N3,又由B厂是NABC的平分线，易证得N1=N3,利用等角对等边的知识，即可证得AB=AF；(2)易证得△入石尸出，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得脸的值.【解答】解(1)如图，在口ABCD中，AD//BC.・・.N2=N3,•二B/是NABC的平分线，・・.N1=N2,，N1=N3,：.AB=AF；VZAEF=ZCEB,N2=N3,，AAEF^ACEB,*：AF=AB=3,・AE=A?=3••'•一'—,ECBC5・』犯=3• ——【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定.此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意有平行线与角平分线易得等腰三角形.(7分)某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书.为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计.结果如图：一周内该校学生区图书馆借出各类图书数量情况统计图。科普々矗文学其它图书种类请你根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图和扇形统计图；(2)该校学生最喜欢借阅哪类图书？(3)该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？【分析】(1)根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数;根据百分比的求解方法列式计算即可求出科普类与漫画类所占的百分比；(2)根据扇形统计图可以一目了然进行的判断；(3)用总本数60)乘以各部分所占的百分比，进行计算即可得解.【解答】解(1)借出图书的总本数为：40・10%=400本，

其它类：400义15%=60本,漫画类：400-140-40-60=160本，科普类所占百分比：上4支X100%=35%,400漫画类所占百分比：支出X100%=40%,400补全图形如图所示；（2分）（2）该校学生最喜欢借阅漫画类图书.（3分）（3）漫画类：600X40%=240（本）,科普类：600X35%=210（本），文学类：600X10%=60（本）,其它类：600X15%=90（本）其它类：600X15%=90（本）.…（7分）一周内该校学生从图书馆借出各类图书数重情况统计图【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.（8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐。处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐。处位于北偏东45°方向（点A、B、。在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐。处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）.（参考数据sin25°^0.4226,cos25°\0.9063,tan25°-0.4663,sin65°-0.9063,cos65°\0.4226,tan65°-2.1445)

北4>北4>【分析】如图作CDLAB交AB的延长线于点D,在RtAACD和RtABCD中分别表示出AC的长就可以求得AC的长.【解答】解：如图作交的延长线于点D,则NBCD=45°,ZACD=65°,在 和RtAB。。中，设AC=x,则AO=xsin65°,BD=CD=xcos65°,.e.100+xcos65°=xsin65°100••X - sin65-cos65・••湖心岛上迎宾槐。处与凉亭A处之间的距离约为207米.北北【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的求解.（8分）科学研究发现，空气含氧量y（克/立方米）与海拔高度x（米）之间近似地满足一次函数关系.经测量，在海拔高度为。米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米.（1）求出y与，的函数关系式；（2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？

【分析】（1）利用在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米，代入解析式求出即可;（2）根据某山的海拔高度为1200米，代入（1）中解析式，求出即可.【解答】解(1)设y=kx+b(k=0),则有:b=299 ,2000k+b=235?解之得」125,解之得」125,b=29^：4y=-/了+2泠J-JJ（2）当x=1200时，y=--^X1200+299=260.6（克/立方125米）.答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米.【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键.（8分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局.依据上述规则，解答下列问题：（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和为7,求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率.（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的小立方块，点数和：两枚骰子朝上的点数之和）【分析】（1）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数和为2的情况，利用概率公式即可求得答案；（2）根据（1）求得点数和大于7的情况，利用概率公式即可求得答案.【解答】解（1）随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：骰子1/骰子2123456123456723456783456789456789105678910116789101112•・•表中共有36种可能结果，其中点数和为2的结果只有一种.…..（3分）・•・P（点数和为2）=」-.…（5分）36（2）由表可以看出，点数和大于7的结果有15种.・•・P（小轩胜小峰）=匹=且.-・（8分）12【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.（8分）如图，PA、PB分别与。O相切于点A、B，点M在PB上，且OM〃AP,MN±AP,垂足为N.（1）求证：OM=AN；（2）若。O的半径R=3,PA=9,求OM的长.【分析】（1）连接OA,由切线的性质可知OA±AP,再由MN±AP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论；（2）连接OB，则OB±BP由OA=MN,OA=OB,OM〃AP.可知OB=MN,NOMB=NNPM.故可得出Rt△OBM^^MNP,OM=MP.设OM=x，则NP=9-x，在Rt△MNP利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论.【解答】(1)证明：如图，连接。4,则0A1AP,\*MN±AP,：.MN//OA,/OM//AP,•・四边形ANMO是矩形，，OM=AN；(2)解：连接0B,则OB_LBP：OA=MN,OA=OB,OM//AP.：.OB=MN,ZOMB=ZNPM.，RtAOBM^RtAMNP,：.OM=MP.设OM=x,则NP=9~x,在Rt^MN尸中，有％2=32+(9-x)2.•・x=5,即0M=5.【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，在解答此类题目时往往连接圆心与切点，构造出直角三角形，再根据直角三角形的性质解答.24.(10分)如果一条抛物线y=〃X2+"+C(〃/0)与X轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.I “抛物线三角形”一定是^腰三角形;)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；3如图，△OAB是抛物线y=-，2+b'x(b’>0)的"抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．【分析】(1)抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．(2)观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0,那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．(3)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD,那么必须满足OA=OB,结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b'表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b'的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．【解答】解：(1)如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形.故填：等腰．(2)当抛物线y=-x2+及(。>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，2 2该抛物线的顶点(口，刍二)，满足口=①(。>0).2 4 2 4则b=2.

（3）存在.如图，作△OCD与△。46关于原点。中心对称，则四边形ABCD为平行四边形.当。4=06时，平行四边形A8CD是矩形,^：AO=AB,：.AOAB为等边三角形.AZAOB=6Q°,作AELOB,垂足为E,：,AE=OEtanZAOB=43^Vs>——（〃>o）.4 - 2：.b'=243.：.A（如，3）,B（2^3，0）.AC（-正//），D（-2解,0）.故所求抛物线的表达式为y=x2+2^c.nFl止设过点0、C、D故所求抛物线的表达式为y=x2+2^c.nFl止解得【点评】