实数完备性基本定理等价性的证明

实数完备性基本定理等价性的证明摘要本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明.关键词实数完备性基本定理等价性循环证明§1引在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍.定义设闭区间列也,b]｝具有如下性质：⑴la,b〕ula,b],n=1,2,...；nnn+1n+1（ii）lim（b-a）=0,ntsnn则称｛la,b]｝为闭区间套，或简称区间套.确界原理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.区间套定理若｛la,b]｝是一"使得J（an，bnIn=1,2,...,即a<^<b,n=1,2,.推论若^ela,b1n=1,2,...,是区间套｛la,b]｝所确定的点，则对任给的£>0，存在N>0，使得当n>N时有la,b]uU虹£）.有限覆盖定理设H为闭区间[«,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].聚点定理实数轴上任一有限无界点集S至少有一个聚点.柯西收敛准则数列｛an｝收敛的充要条件是：对任给的E>0，存在正整数N，使得当n,m>N时有a-b|〈£-§2六大基本定理等价性的证明本节就是对六大基本定理等价性的证明.首先列出证明过程的基本框架：确界原理n单调有界定理n区间套定理nu柯西收敛准则U聚点定理U有限覆盖定理下面就是这个循环证明的过程.由确界原理证明单调有界定理证不妨设｛a｝为有上界的递增数列.由确界原理，数列｛a｝有上确界.记a=sup｛a｝.下面证明a就是｛a｝的极限.事实上，任给£〉0，按上确界的定义，存在数列｛a｝中某一项a"使得a-£〈a『又由｛a｝的递增性，当n>N时有a-£Va<a.另一方面，由于a是｛a｝的一个上界，故对一切a,都有a<ava+£.所以当n>N时有a-£vava+£,这就证得lima=a.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下nTs确界.由单调有界定理证明区间套定理证由区间套的定义，各闭区间的端点满足如下不等式：a<a<…<a<…<b<…<b<b,12nn21即｛a｝为递增有界数列，依单调有界定理，｛a｝有极限&，且有a<&,n=1,2,...,（1）

（2）（3）（4）同理，递减有界数列职｝也有极限，并按区间套的条件（ii）有limb=lima=&nts^nts"且（2）（3）（4）联合(1)及(3)即得.最后证明满足（4）的&是唯一的，设数&，也满足,a<&'<b,n=1,2,…，则由（4）式有&-&'|<bn-a，n=1,2,....由区间套的条件（ii）得&一&，|<lim（b一a）=0,ntsnn故有&=&.由区间套定理证明有限覆盖定理证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖［a,b］.将［a,b］等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为［a,b］，则［a,b］u［a,b］，且b-a=1（b-a）.1111112再将［a1,b1］等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为［a,b］，则［a,b］u［a,b］，且222211b-a=—（b_a）-重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列也,b〕｝，它满足[a,bLLa,b]n=1,2,...,,b-a=(b-a)t0(nts),即也,b]｝是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点^G[a,b],n=l,2,....由于H是[^,b]的一个开覆盖，故存在开区间(a,p)eH，使geG,p).于是，由区间套定理推论，当n充分大时有、bn]u(a,p).这表明[a,b]只须用H中的一个开区间(a,p)就能覆盖，与挑选[a,b]时的nnnn假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a,b].4由有限覆盖定理证明聚点定理证设A为有界无限点集.那么存在正数M>0，使得Au[-M,M].假设[—M,M]中任意点都不是A的聚点，则对任意一点Xe[_M,M],必存在相应的5(x)>0使得在u(x,5)中至多有A的有限个点.记H=｛u(x,5)；xe[—M,M]｝，则H为A的一个开覆盖.由有限覆盖定理，在H中可以找到有限个开区间覆盖[—m,M].记为H，=｛uG,5Vxe[-M,M]i=1,2,｝，从而更能覆盖A.因h，内至A中有限个点，从而A为有限点集，与假设“A是有界无限点集”矛盾.故区间[—M,M]中至少有一个集合A的聚点，即集合A至少有一个聚点.5由聚点定理证明柯西收敛准则证先证条件的必要性：设七-a，则对任意给定的8>0,有一正整数N，当k.>N时，有xk-a<-从而当m,n>N时，有

X—X

nm其次，证明条件的充分性：II££<x-a\+a-x|<—+—=s

nX—X

nm其次，证明条件的充分性：II££<x-a\+a-x|<—+—=s

nm22设数列E｝满足条件：对任给正数6n，总存在某一个自然数N,使得当从而12N、"1则对一切n=1,2,••-,有a\<M

n下证b｝有收敛子列.n若E="/〃=1,2，…｝是有限集，贝U"｝必有一常子列；若E为无限集，则由nn聚点定理，E有一个聚点A.由聚点定义可证，存在£｝，使limo=A.%Joo%总之，L｝有收敛子列.设limo=A，则对任给正数6，存在N,当k,m,ntnk—>ookn>N时，有Iea-a|<—，nm2s

a-A<—-所以当n>N（任取k>N,使〃>n）时，有kI££a-A|<a-a+a-A<—+—=£"nL22

6用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为原理非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数a，存在整数*,使得人Cta为S的上界，而入-a=(k-lh不是s的上界,

aa即存在a%S,使得a'>(k-1农.a分另U取a=~,n=1,2,

n6用数列的柯西收敛准则证明确界原理证设S为原理非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数a，存在整数*,使得人Cta为S的上界，而入-a=(k-lh不是s的上界,

aa即存在a%S,使得a'>(k-1农.a分另U取a=~,n=1,2,

ns的上界，而X_1不是nn,则对每一个正整数n,存在相应的X,使得人为nns的上界,故存在S，使得(5)又对正整数m,人是S的上界，故有理有X-Xmnm1<-m从而得nX>a,结合(5)式得入mn一入；同

mn(6)nn—>co现在证明入就是S的上确界.首先，对任何aeS和正整数n式得a<x,BPx是的S一个上界.其次，对任何5>0，由LtoGtoo)及(6)式,n对充分大的n同时有1".§TOC\o"1-5"\h\z-<—,X>X-一.n22又因入-1不是S的上界，故存在a'wS，使得a'>X-1.结合上式得nnnn66a'>X————=X—8.22这说明入为S的上确界.同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界.参考文献华东师范大学数学系编《数学分析》高等教育出版社2001年6月第3版pp复旦大学数学系陈传璋等编《数学分析》高等教育出版社1983年7月第2版杨熙鹏邵子逊刘颖植主编《数学分析习题解析》陕西师范大学出版社钱吉林等主编《数学分析题解精粹》崇文书局2003年8月第1版TheProofontheEquivalentRelationsintheFoundamentalTheoremsofCompletenessofRealNumbersAbstractInthispaper,weprovetotheequ