第三章静磁场

第三章静磁场1试用表一个沿方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证明二者之差是无旋场。解：令则令则而即二者之差是无旋场。（本题是列举的不同表示式，因此下面的两种也可以很容易的证明其满足两者旋度之差的结果为0，如显然）2均匀无穷长直圆柱螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。解：设螺线管截面的半径为，z轴为其中心轴，在柱坐标系中，螺线管表面电流密度为，记螺线管内部磁场为，外部磁场为，故这个问题的全部定解条件为由于螺线管无穷长，外部磁场应为。因此由处磁场的切向边值关系，有此解显然满足上述方程和边界条件，根据唯一性定理，它是本问题唯一正确的解。由此得3设有无穷长的线电流I沿z轴流动。以Z<0空间充满磁导率为的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。解：电流I的磁场使介质磁化，记Z<0区磁场为，z>0区磁场为。在柱坐标系中全部定解条件为根据上述定解条件和显然与r有关。而且只有分量，为此提尝试解因而此解满足全部方程和边值关系，因此是唯一正确的解。由,得介质的磁化强度上半空间，因此介质表面即磁场电流面密度为（Z=0）这个电流是从处流出并沿介质表面径向流动，根据电流的连续性，可判断下半空间的介质中，即，电流线表面存在“线磁化电流”：。4设x<0半空间充满磁导率为u的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿Z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：由麦克斯韦方程组x=0处因为只与r有关，所以有所以解得=因为所以5．某空间区域有轴对称磁场，在柱坐标原点附近已知其中为常量，求该处。解：因为磁场为轴对称所以有所以令=由因为=0所以可以验证，，即该处，若常量，则6两个半径为a的同轴圆形，位于Z=L面上，每个线圈上载有同方向的电流I（1）求轴线上的磁感应强度，（2）求在中心区域产生最接近均匀的磁场时L和a的关系。解：设两线圈中的电流I均沿方向，用毕萨定律，可分别求出两个电流圈在z轴上任一点的磁感应强度。由得=因为=将两线圈产生的磁场叠加在中心区域存在最接近于均匀磁场的条件为令=0得2L=a7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。解：设导体的磁导率为导体外的磁导率为因为关于小x.y方向的方程和边界条件均为齐次.所以解为零.有(1)得(因为只与r有关.所以只取r项)(7)由(2)得(8)由(4)得由(3)得(9)由(6)得(10)由(10)得(11)由(9)(11)得只有代入解得:8.假设存在磁单极子其磁荷为,它的磁场强度为，给出它的矢势的一个可能的表示式,并讨论它的奇异性。解:以磁荷所在点为坐标原点，由，(真空中)有和由球坐标系有今利用球坐标系有(4)因为r方向对无贡献.选取.由(3)得所以所以常数因为有限.所以(5)将(5)式代入(2)式..验证(2)式成立.所以..9.将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内。求总磁感应强度和诱导磁矩?解:以方向选为轴.用球坐标.选用磁标势(8)所以由(8)及，可得到(9)又由于，所以可得的通解形式(10)由(6)(7)式得当n=0时有当n=1时有当n=n时有所以所以10有一个内外半径为和的空心球.位于均匀外磁场内.球的磁导率为求空腔内的场讨论的磁屏蔽作用。解有限解得由得:当n=1时有由(9)(11)得:(12)由(8)(10)得:（13）由(8)(12)得:(13)代入(14)得:(15)对(15)式整理得:又代入上式得:11.设理想铁磁体的磁化规律为，是与无关的恒定的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球(为常数)侵入磁导率为的无限介质中。求磁感应强度和磁化电流分布?解:有限由(3)(4)式得:由(5)(6)式得当n=0时当n=1时因为所以12.将上题的永磁球放入均匀外磁场中。结果如何?解:由(3)(4)式得:由(5)(6)式得当n=0时当n=1时所以定义:13.有一个均匀带电的薄导体壳..其半径为总电荷为Q.今使球壳饶自身某一直径以速度转动.求球内外的磁场解:设球壳绕z轴转动.由由(1)(2)(3)(4)解得:由(5)(6)(7)得:n=0时.当n=1时:解得设14电荷按体均匀分布的刚性小球．其总电荷为Ｑ．半径为它以角速度饶自身某一直径转动．求：（１）