中考数学第一轮总复习矩形、菱形、正方形

第二节矩形、菱形、正方形性质面积公式判定矩形性质面积公式判定菱形中点四边形正方形性质判定面积公式平行四边形、菱形矩形、正方形之间的关系包含关系转化关系矩形、菱形、正方形考点精讲【对接教材】人教：八下第十八章P52-P69；

北师：九上第一章P1-P29.矩形性质1.具有平行四边形的所有性质2.四个角都是_________3.对角线互相平分且_________4.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有2条对称轴判定1.有一个角是_________的平行四边形是矩形2.有三个角是__________的四边形是矩形3.对角线_____________的平行四边形是矩形面积公式S＝ab（a，b分别表示矩形的长和宽）直角(90°)相等直角(90°)直角(90°)相等菱形性质1.具有平行四边形的所有性质2.四条边都__________3.对角线互相_________且平分，每一条对角线________一组对角4.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有2条对称轴判定1.有一组邻边________的平行四边形是菱形2.四条边相等的四边形是菱形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形面积公式S=________(a,b分别表示菱形两条对角线的长)相等垂直平分相等正方形性质1.既有矩形的性质，又有菱形的性质2.四条边都相等3.四个角都是直角4.对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角5.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴判定1.有一组邻边相等的矩形是正方形（北师特有）2.有一组邻边相等，并且有一个角是___________的平行四边形是正方形3.有一个角是直角的菱形是正方形（北师特有）4.对角线________的菱形是正方形（北师特有）5.对角线互相__________的矩形是正方形（北师特有）6.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（北师特有)面积公式S＝a2(a表示正方形边长)正方形直角(90°)相等垂直平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系转化关系包含关系直角(90°)相等直角(90°)相等中点四边形2.常见结论：1.定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形重难点突破一、矩形的性质与判定例1已知，如图①，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.例1题图图①（1）①请添加一个条件____________________________（写出一个即可），使四边形ABCD为矩形【判定依据】__________________________________________________；②若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件____________________________（写出一个即可），使平行四边形ABCD为矩形，【判定依据】_________________________________________；∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°AC＝BD或AO＝BO或CO＝DO有三个角是直角的四边形是矩形；(答案不唯一)对角线相等的平行四边形为矩形；（2）如图②，四边形ABCD是矩形.①若AB＝3，BC＝4，则∠ABC＝_______，BD＝_______；②连接AC,BD相交于点O，若AB=2,∠AOD=120°，则AC的长为______，矩形的面积为________；③BC=2AB，在AD上取一点P，使BP=BC，则∠PCD的度数为_______；④（核心考法）点Q是直线AD上一点，若∠ACB=∠ACQ，BC=4,DQ=1，则CD的长为__________；⑤（核心考法）点E,F分别是AD,BC的中点，G是对角线AC上的点，若AB=3,BC=4,∠EGF=90°，则AG的长为________.590°415°1或4例1题图图②练习1（2020贺州）如图，已知△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,E、G分别是AC、DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.（1）求证：AD∥CF;练习1题图练习1证明：(1)∵∠FCA＝∠CEG，∴CF∥EG.(1分)∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD.∴AD∥CF；(3分)（2）求证：四边形ADCF是矩形.(2)在△CDF中，∵G是CD的中点，且CF∥EG.∴E是DF的中点．(4分)∵E是AC的中点，∴AC与DF互相平分；(5分)∴四边形ADCF是平行四边形．(6分)∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，(7分)∴四边形ADCF是矩形．(8分)1.矩形判定的一般思路：首先判定为平行四边形，然后找角或者对角线的关系，若角度容易求，则可找其中一角为90°，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等即可得到其为矩形；2.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，可用勾股定理或三角函数求线段的长，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，注意用这个结论建立线段或角度的等量关系．满分技法二、菱形的性质与判定例2已知，如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.例2题图（1）①请添加一个条件_____________________（写出一个即可），使四边形ABCDABCD为矩形，【判定依据】_____________________________________________；②若四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件__________________（写出一个即可）使平行四边形ABCD为菱形，【判定依据】____________________________________________；AB＝BC＝CD＝AD四条边都相等的四边形是菱形；(答案不唯一)AC⊥BD角线互相垂直的平行四边形为菱形（2）如图，四边形ABCD是菱形.①若∠ABC=110°，则∠ACD=________；②若菱形ABCD的周长为4，∠BCD=60°，那么菱形的对角线BD的长为_________；③若AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为__________；④若AB=3,BD=2,则菱形ABCD的面积为____________；⑤若

=

,则sin∠DAB的值为___________；⑥(核心考法)若∠BCD=60°，AB=6,点E在AC上，OE=

，则CE的长为_________.135°52例2题图练习2题图练习2（2020连云港）如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N.(1)求证:四边形BNDM是菱形;(1)证明：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB.∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MB＝MD.在△BON和△DOM中，∴△BON≌△DOM(ASA)，∴MD＝NB，∵MD∥NB，∴四边形BNDM是平行四边形．又∵MB＝MD，∴四边形BNDM是菱形；(5分)∠NBO＝∠MDOOB=OD∠BON＝∠DOM(2)若BD＝24，MN=10，求菱形BNDM的周长.(2)解：∵四边形BNDM为菱形，BD＝24，MN＝10.∴OB＝BD＝12，OM＝MN＝5.在Rt△BOM中，BM＝＝＝13.∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52.(10分)1.菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等，来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分；2.与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个内角为60°，则菱形被较短的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算．满分技法三、正方形的性质与判定例3如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.例3题图图①（1）①若四边形ABCD为菱形，请添加一个条件________(写出一个即可)，使菱形ABCD为正方形，【判定依据】_________________________________；②若四边形ABCD是矩形，请添加一个条件____________(写出一个即可)，使矩形ABCD为正方形，【判定依据】_________________________________；AC＝BD对角线相等的菱形是正方形AB＝BC一组邻边相等的矩形是正方形（2）如图②，若ABCD是正方形，①AB=1，则AC=_________；②已知AC=，正方形ABCD的面积为_________；③(核心考法)点E在直线BC上，AB=6，tan∠AEB=_________，则CE的长为；④(核心考法)以AD为一边作等边△ADP，连接PC，则∠APC的度数为____________.254或845°或135°例3题图图②与正方形有关的计算应注意灵活运用其性质，还有常见的结论，如：边长与对角线的长度比为1∶2.另外在几何题中求线段长，一般会用列方程的思想，列方程的主要依据是：(1)勾股定理(需要有直角的条件或构造出直角三角形)；(2)相似三角形对应边成比例(适用于等角较多易证相似的题目).满分技法玩转云南8年中考真题矩形的相关证明及计算（省卷4考,昆明卷3考）命题点11.第1题图(2016昆明卷5题3分)如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是_________.第1题图242.（2020省卷6题3分）已如四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCDEA=EC.若AB=6，AC=.则DE的长是_________.3.(2019省卷20题8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD.(1)求证:四边形ABCD是矩形;第3题图(1)证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．(1分)又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.(2分)∴AO＝OD.(3分)又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形；(4分)(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3，求∠ADO的度数.(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x，则∠OCD＝∠ODC＝3x.(5分)在△ODC中，∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°.(6分)∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°.(7分)∴∠ODC＝3×18°＝54°.∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.(8分)4.(2020昆明23题12分改编)如图①,在矩形ABCD中，AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是矩形；第4题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝AB，DF＝CD，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEFD是矩形．(2)如图②，点P是边AD上一点，BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时，则有OB=OM.请说明理由；第4题图(2)解：如解图①，连接OA，AM.∵点A关于BP的对称点为点M，∴BP垂直平分AM，∴OA＝OM.∵四边形AEFD是矩形，∴EF⊥AB，∵点E是AB的中点，∴EF垂直平分AB，∴OA＝OB，∴OB＝OM.第4题解图①(3)如图③,若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM.①当△AMD是以AD为底的等腰三角形时，求AP的长.②当△AMD是以AD为腰的等腰三角形时，求AP的长.第4题图第4题解图②(3)①当MA＝MD，且点P在边AD上时，如解图②，过点M作直线MH⊥AD于点H，交BC于点G，连接PM，BM.∵AD＝BC＝8，∴AH＝AD＝4，∵∠BAH＝∠ABG＝∠AHG＝90°，∴四边形ABGH是矩形，∴BG＝AH＝4，HG＝AB＝5，∵BP垂直平分AM，∴BM＝BA＝5，AP＝PM.HG在Rt△BGM中，由勾股定理可得：MG＝＝＝3.∴HM＝2.设AP＝PM＝a，则PH＝4－a，在Rt△PHM中，由勾股定理可得：PH2＋HM2＝PM2，即(4－a)2＋22＝a2，解得a＝，∴AP＝.∴EH∥FG，EF∥HG，∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD.∴△ABQ∽△PBA.(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算．∴AD是BC边上的中线，即D是BC的中点．(1分)∴四边形ABCD是平行四边形．(1分)（2019日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G,H在对角线AC上，AG=CH,直线GH绕点O逆时针旋转α角度，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）.∵四边形ABCD是菱形，且两条对角线的和等于7，∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD.设AB＝BC＝x，则BE＝8－x.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系①若AB＝3，BC＝4，则∠ABC＝_______，BD＝_______；在△BON和△DOM中，第4题解图③(ii)当AM＝MD，且点P在边AD的延长线上时，如解图③，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点G，连接PM，BM.∵AD＝BC＝8，∴AH＝AD＝4，∵∠BAH＝∠ABG＝∠AHG＝90°，∴四边形ABGH是矩形，∴BG＝AH＝4，HG＝AB＝5.在Rt△BGM中，∠BGM＝90°，BM＝BA＝5，由勾股定理可得：MG＝＝＝3，∴HM＝8.设AP＝PM＝a，则PH＝a－4，在Rt△PHM中，由勾股定理可得：PH2＋HM2＝PM2，即(a－4)2＋82＝a2，解得a＝10.∴AP＝10.∴四边形ABEF为平行四边形，(3)①当MA＝MD，且点P在边AD上时，在Rt△PHM中，由勾股定理可得：(1)解：∵四边形ABCD是菱形，(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x，则∠OCD＝∠ODC＝3x.∴四边形CEHF是菱形；∴∠CBD＝∠ADB.OB＝OD＝BD＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，设AB＝BC＝x，则BE＝8－x.∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，(7分)使平行四边形ABCD为矩形，③BC=2AB，在AD上取一点P，使BP=BC，则∠PCD的度数为_______；（2）若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．②当以AD为腰时，分两种情况．i．当DA＝DM时，如解图④，连接BM，∵BA＝BM.∴BD为AM的垂直平分线，即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点，∵点A关于BP的对称点为点M，∴点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点，∴点D与点P重合，∴AP＝AD＝8.第4题解图④(ii)当AM＝AD＝8时，如解图⑤，设BP交AM于点Q，连接PM，BM.∵BP垂直平分AM，∴BA＝BM＝5，AQ＝AM＝AD＝4，在Rt△ABQ中，由勾股定理可得：BQ＝＝＝3，∵∠ABQ＝∠PBA，∠BQA＝∠BAP＝90°，∴△ABQ∽△PBA.∴＝，即＝，∴AP＝.综上所述，AP的长为或10或8或.第4题解图⑤第二十三章旋转：本章主要是探索和理解旋转的性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。本章的重点是中心对称的概念、性质与作图。本章的难点是辨认中心对称图形，按要求作出简单平面图形旋转后的图形。教学中，首先要重视改革教学方法，摒弃“满堂灌”，以避免学生“消化不良”，其次要善于结合数学实际，教给学生相应的方法，如通过对知识之间的类比，使学生学会联想记忆，通过在知识编成顺口溜，使学生学会用口诀记忆，通过绘制直观图，使学生在以形助学中学会数形结合记忆;通过发掘知识的本质属性，使学生在形成概念的同时，学会理解记忆;通过归纳概括所学知识，使学生学会接受知识结构系统记忆;通过揭示获取知识的思维过程，使学生学会循序渐近。此外，我们还应该让学生明确各科记忆方法。(4)强化技能的形成。技能包括：计算、推理、画图、语言表达，这些必须做得非常规范，非常熟练，做的时候要再现数学思想，也就是要明白每一步为什么要这么做。1.复习资料要精，使用过程中，始终注重其系统性。千万不要贪多，资料多了，不但使自己身陷题海，不能自拔，而且会因为你的顾此失彼，而使知识体系得不到延续。第二十七章相似：是在前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广与发展。全章共分三小节内容。第一小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索相似多边形的性质;第二小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长和面积;第三小节“位似”研究了一种特殊的相似——位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换。○2让数学课学与练结合.在数学课上，光听是没用的.当老师让同学去黑板上演算时，自己也要在草稿纸上练.如果遇到不懂的难题，一定要提出来，不能不求甚解.否则考试遇到类似的题目就可能不会做.听老师讲课时一定要全神贯注，要注意细节问题，否则“千里之堤，毁于蚁穴”.(1)深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。24等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)1全等三角形的对应边、对应角相等○4单元测验是为了检测近期的学习情况.其实分数代表的是你的过去，关键的是对于每次考试的总结和吸取教训，是为了让你在期中、期末考得更好.老师经常会在没通知的情况下进行考试，所以要及时做到“课后复习”.5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O.AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A.4B.C.5D.第5题图玩转真题拓展训练B6.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE.若∠BAC＝40°，则∠E的度数是()A.65°B.60°C.50°D.40°第6题图A菱形的相关证明及计算（省卷3考,昆明卷2考）命题点2类型一菱形的性质及计算（省卷，昆明卷）第7题图7.第7题图(2015昆明卷7题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是()A.①②B.③④C.②③D.①③D8.(2016省卷18题6分·源于人教八下P67第5题)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD=1∶2，BE∥AC，CE∥BD.（1）求tan∠DBC的值；第8题图(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝×180°＝60°.(2分)∴∠DBC＝∠ABC＝30°.∴tan∠DBC＝tan30°＝；(4分)（2）求证：四边形OBEC是矩形.(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.(5分)∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB.∴四边形OBEC是平行四边形．又∵∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形．(6分)(3)若菱形ABCD的周长是16,求四边形OBEC的面积.玩转真题补充设问(3)解：∵四边形ABCD是菱形，周长是16，∴BC＝×16＝4，OC＝OA，OB＝OD，AC⊥BD.在Rt△BOC中，设OC＝x，∵tan∠OBC＝＝，∴OB＝x.由OC2＋OB2＝BC2，得x2＋(x)2＝42，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，则OC＝OA＝2，OB＝OD＝2.∴S四边形OBEC＝OB·OC＝2×2＝4.类型二菱形的判定（省卷2考，昆明卷2018.23（2））第9题图9.(2014曲靖卷7题3分)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF、BE、CE、DF分别交于点M、N，四边形EMFN是()A.正方形B.菱形C.矩形D.无法确定B第10题图10.(2013曲靖卷7题3分)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是()A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形C若AC=BD，且AB=4，AD=8，求AF的长.玩转真题补充设问解：∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABE＝90°.设AF＝x，∵四边形AECF为菱形，∴AE＝AF＝EC＝x，∵AD＝BC＝8，∴BE＝8－x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，∴AF＝5.第11题图11.(2017省卷20题8分·源于北师九上P27第8题)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是AB、AC的中点,连接DE，DF．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(1)证明：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴AD是BC边上的中线，即D是BC的中点．(1分)∵点E、F分别是AB、AC的中点，∴DE∥AF，DF∥AE.∴四边形AEDF是平行四边形．(2分)∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF.∴四边形AEDF是菱形；(4分)(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.第11题解图(2)解：如解图，连接EF.由(1)知：四边形AEDF是菱形．∵四边形AEDF的周长为12，∴菱形AEDF的边长为3，对角线AD与EF互相垂直平分．∴()2＋()2＝＝9，即AD2＋EF2＝36.(6分)∵S菱形AEDF＝＝，且两条对角线的和等于7，∴S＝.(8分)12.（2020咸宁）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E,在AD上截取AF=BE,连接EF.（1）求证：四边形ABEF是菱形；全国视野创新考法

第12题图解：(1)根据作图过程可知：AB＝BE，AF＝BE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∵AF＝BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF为菱形；（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°.（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）(2)如解图，点P即为所作图形，∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，∴∠APB＝90°.第12题解图P13.（2020省卷22题9分）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F.(1)若∠BAD=60°，求证：四边形CEHF是菱形；第13题图(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝30°.∵CE⊥AB，垂足为E，H为对角线AC的中点，∴CE＝AC＝CH，∠ECH＝90°－∠EAC＝60°.∴△CEH是等边三角形．∴CE＝CH＝EH.同理可证CF＝CH＝FH.∴CE＝EH＝FH＝CF.∴四边形CEHF是菱形；(2)若CE=4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积.(2)解：∵CE＝4，S△ACE＝16，CE⊥AB，垂足为E，∴AE·CE＝16，解得AE＝8.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.设AB＝BC＝x，则BE＝8－x.由BC2＝CE2＋BE2，即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5，即AB＝5.∴S菱形ABCD＝AB·CE＝20.正方形的相关证明及计算（省卷2017.5涉及，昆明卷3考）命题点3类型一菱形的性质及计算（省卷，昆明卷）第14题图14.（2016昆明卷14题4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F、H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若

=,则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个D15.（2013昆明卷8题3分改编）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N,连接OP.下列结论：①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时,点P是AB的中点．其中正确的结论有__________.第15题图①②③⑤1.(人教八下P61习题第11题)如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H.求DH的长.第1题图教材改编题教材母题1解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，∴AB＝＝＝5，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·DH，∴DH＝＝＝.改变条件：①“知长度”变为“知面积”；②增加条件连接OH第2题图母题变式2.(2020龙东地区)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为()A.4B.8C.D.6A强化条件：多一个顶点到对边的垂线第3题图3.（2019百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.（1）求证：AE=BF;(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的值.(2)解：∵E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2.添加条件：连接OH第4题图对接中考4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H,连接OH.（1）求证：∠OHD=∠ODH;(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC.∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴OH＝BD＝OD，∴∠OHD＝∠ODH；（2）若OC=4,BD=6,求菱形ABCD的周长和面积.(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB＝BD＝3，OC＝OA＝4，BD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝＝＝5，∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，菱形ABCD的面积＝×6×8＝24.5.(人教八下P68复习题18第12题)如图，过▱ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点,连接EF,FG,GH,HE.试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.第5题图教材母题2解：四边形EFGH是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠HAO＝∠FCO.∵O为AC的中点，∴AO＝CO.又∵∠HOA＝∠FOC，∴△HAO≌△FCO(ASA)．∴HO＝FO.同理可证△EAO≌△GCO，∴EO＝GO.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵HF⊥GE，∴四边形EFGH是菱