建筑力学：静定结构内力

第十三章静定结构的内力分析几何特性：无多余联系的几何不变体系静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力求解原则：从几何组成入手，按组成的相反顺序进行逐步分析即可基本方法：取隔离体（结点或部分）考虑平衡，也即列静力平衡方程本章内容： 静定梁；静定刚架；三铰拱；静定桁架； 静定组合结构§13-1多跨静定梁受弯杆件称为梁。横截面有矩形，工字形，T形和圆形。在外力作用下梁的轴线变为一条平面曲线，称为梁的挠曲线。平面弯曲一、梁上的内力：剪力和弯矩l/2l/2PPRAVM平行于横截面的竖向内力V称为剪力。位于荷载作用平面内的内力偶矩M称为弯矩。二、截面上内力符号的规定：轴力：杆轴切线方向伸长为正剪力：杆轴法线方向顺时针方向为正弯矩:

应力对形心力矩之和弯矩图画在受拉一侧NNQQMM一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线()几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Plq

1、集中荷载

M图有夹角Q图有一突变2、集中力矩M图有一突变Q图没b变化

3、均布荷载M图为抛物线Q图为斜直线分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：OA段即为线弹性阶段

AB段为非线性弹性阶段M2注意叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。由杆端弯矩作图叠加q弯矩图叠加ql2弯矩图3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。[分析]该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值解：（1）先计算支座反力kNkN（2）求控制截面弯矩值取AC部分为隔离体，可计算得：取GB部分为隔离体，可计算得：kNkN1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17AC1713P=8kNADm=16kN.mGB4267GB782315308M图（kN.m）1797+_Q图（kN）一.多跨静定梁的组成

附属部分--不能独立承载的部分。基本部分--能独立承载的部分。基、附关系层叠图静定多跨梁二、分析多跨静定梁的一般步骤

对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座C的反力反向加在基本部分AC的C端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图。CA E（a）（b）EA CA CE（c）ABCDEFGHPqABFGHqECDPDEFqCABPCABDEFPq分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。

注意：多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC2025520502020k

N/mFGH1020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m构造关系图

205040401020405050205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M图（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540Q

图（kN）图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。解：

研究AE杆：

)(21xlqVE-=

研究EF杆：221)(21qxxxlqMMCB+-==

叠加弯矩值）(82qlMMCB=+Q

依题意：CBMM=

1621)(2122qlqxxxlqMB=+-=\

展开上式，得：llx125.08==

与简支梁相比，多跨静定梁的跨中弯矩值

较小，省材料，但构造复杂。

例题2：静定平面刚架的组成特点及类型

刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成，优点是将梁柱形成一个刚性整体，结构刚度较大，内力分布较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)

图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（c）是具有部分铰结点的刚架。一、平面刚架结构特点：§13-2静定平面刚架(d)(e)刚架结构专优点：（1）内部牧有效使缓用空间循大；（2）结构整邮体性好、奸刚度大；（3）内力鱼分布均伶匀，受辞力合理魄。1、悬臂辩刚架2、简支刚劳架3、三铰席刚架4、主从刚蜓架二、常徒见的静垫定刚架煤类型

下图所示两跨刚架可先建立投影方程计算，再对和的交点O取矩，建立力矩方程，计算RA，最后建立投影方程计算。

Y

=å

0RCR

CR

BM

O=å

0X=å0RBxy0ABCO.刚架分析糖一般步骤饥是先求支宵座反力，茄再求各杆属控制截面使内力，再夕绘制各杆扩弯矩图和腐内力图。静定刚架驼支座反力揉的计算计算支巡寿座反力健，尽可怜能建立哲独立方全程。如图（a）三铰属刚架，党具有四少个支座北反力，婶可以利今用三个音整体平油衡条件要和中间爹铰结点C处弯矩等肤于零的局弟部平衡条戴件，一共沾四个平衡扶方程就可优以求出这婶四个支座歉反力。XAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)YAYBXBXAqfl/2l/2ABC(b)YAYBXBfl/2C(c)YBXBBXCYC于是O对O点取矩载即得：l/2l/2qABCfOABDCOO’注意三铰刚架梨结构中，训支座反力北的计算是影内力计算蜘的关键所沸在。XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)如右图(a)是一个多傍跨刚架，钳具有四个殿支座反力皱，根据几片何组成分唤析：Ｃ以炎右是基本模部分、以淘左是附属秃部分，分阅析顺序应宣从附属部图分到基本类部分。①分段：根据荷理载不连续惰点、结点眼分段。②定形：根据哑每段内冻的荷载级情况，欢定出内限力图的屡形状。③求值：由截面肚法或内力柱算式，求设出各控制讨截面的内羞力值。④画图：画M图时，将驼两端弯矩界竖标画在排受拉侧，构连以直线坑，再叠加堡上横向荷桐载产生的悄简支梁的在弯矩图。Q，N图要标移＋，畜－号；夹竖标大位致成比钱例。刚架的阀内力分渐析及内须力图的名绘制例1.试计算灶图(a)所示简天支刚架鸡的支座戴反力，浇并绘制Ｍ、Q和N图。2m2m4mABCD40kN20kN/m(1)支座反力(a)20kN/mAB4m20kN/mAB4m160kN·m(b)(c)[解]。(2)求杆端盼力并画胀杆单元度弯矩图烈。40160AB(d)M图2m2m40kNBD602m2mBD40kN160kN·m16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m802060Q图（kN)M图(kN·扫m）M图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080802060Q图（kN)200B20N图（kN)40160AB160D40M图(kN·m）例2.试计算下惭图所示悬农臂刚架的知支座反力旷，并绘制Ｍ、Q和N图。2a2a4a4a3aq6qa

2q2qa2ABCDE解：（1）计算支惨座反力2a2a4a4a3aq6qa

2q2qa2ABCDE（2）计算各榆杆端截面菜力，绘制凶各杆M图1）杆CD2qa2CD6qaDB00D结点D2）杆DB2qa2M图M图2a2a4a4a3aq6qa

2q2qa2ABCDExy3aE4aqB3)杆BE2qaAB8qa10qa14qa2M图M图4）杆AB2qa22qa26qa2qa2q

2q2qa2CDDBBEBA1082BM图（3）绘制咐结构M图也可直假接从悬新臂端开猴始计算训杆件弯和矩图M图2qa22a2a4a4a3aq6qa

2q2qa2ABCDEQ图2.4qa10qaN图3.2qa6qa8qa（4）绘制结射构Q图和N图aaABCq受弯结讲构作内亩力图的楚顺序梁和刚狐架等受垄弯结构业作内力想图的顺饭序为：一般先求锈反力（不傲一定是全腊部反力）棚。利用截灵面法求来控制截扰面弯矩邀。以便世将结构造用控制抢截面拆猫成为杆想段（单摩元）。在结构图自上利用区蜻段叠加法旨作每一单透元的弯矩址图，从而粮得到结构发的弯矩图傻。4.帽以单元禁为对象辨，对杆晓端取矩若可以求哗得杆端毅剪力，逐在结构团图上利渐用微分榜关系作胖每单元蚊的剪力梁图，从箭而得到星结构剪检力图。毁需要指窜出的是颗，剪力屠图可画限在杆轴直的任意蕉一侧，妈但必须拢标注正视负号。筐以未或知数个忧数不超四过两个搅为原则归，取结担点由平宗衡求单稻元杆端救轴力，歌在结构坡图上利忆用微分论关系作厌每单元拌的轴力坊图，作佳法和剪侵力图一丑样，从溜而得到湿结构轴炉力图。5.综状上所述，披结构力学巩作内力图丘顺序为“搁先区段叠集加作M图，再由M图作FQ图，最后FQ作FN图”。需要掌指出的是拴，这种作服内力图的躬顺序对于柏超静定结乐构也是适间用的。1、悬臂哈刚架可以不求遍反力，由栋自由端开烂始直接求它作内力图哄。LLqL²½qL²↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqL²2q2m2m↓↓↓↓↓q2q6q二、弯湖矩图的扛绘制如静定刚助架仅绘制递其弯矩图贞，并不需蚂要求出全猜部反力，客只需求出狂与杆轴线驰垂直的反御力。2、简支型宵刚架弯矩愚图简支型极刚架画送弯矩图锋，先求名一个与搅杆件垂阵直的支告座反力qL2/2qaqa2/2qa2/2ql注意：BC杆和CD杆的剪力席等于零，规相应的弯仙矩图与轴剂线平行ql2/2qlqll/2l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓DqABCaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓qa2/81反力计忠算1）整俩体对左底激铰建立矩哈平衡方程MA=qa2+2q透a2-2aYB=0逮(守1)2）对中串间铰C建立矩平阿衡方程MB=0.5麦qa2+2aXB-aYB=0同(言2)解方程(1)和(2)可得XB=0.找5qaYB=1.改5qa3）再由峰整体平衡X=0解得XA=-0朴.5q址aY=0解得YA=0.5明qa2绘制弯矩红图qa2注意：三铰刚齿架绘制宾弯矩图胆往往只敞须求一闸水平反肺力,然后由支索座作起！节！1/2q纺a20qqaXAYAYBXBACBaaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qa/2qa/23、三铰刚语架弯矩图1/2qa2YBXBRAOM/2MM/2画三铰净刚架弯搅矩图注意：1、三铰爽刚架仅击半边有提荷载，觉另半边券为二力鸽体，其结反力沿言两铰连扣线，悼对O点取矩可杰求B点水平反欠力，由B支座开霜始做弯梯矩图。2、集中力代偶作用处纹，弯矩图严发生突变码，突变前再后弯矩两轮条线平行钻。3、三铰龟刚架绘娃制弯矩罢图，关通键求一侦水平反忘力！！Mo=m－2a×XB=0,得XB=M/伯2aA C BaaaMABCqL2/4qL2/43/4q韵LAO整体对O点建立氏平衡方宾程得∑MO=qL吼×1.酿5L－2LXA=0得XA=3q准L/4qLLLBC三铰刚架弯矩图！RBYAqaaaa2aaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.钥m）ABHCDEFG4、主从苦结构绘惧制弯矩尺图可以利用看弯矩图与划荷载、支得承及连结蹲之间的对烫应关系，影不求或只晴求部分约医束力。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的

弯矩图ABCDEF20kN80k禁N20kN120901206018062.5M图kM.料m仅绘M图,并不需要求出全部炉反力.然后先由A.B支座开始作弯矩屑图.先由AD∑Y=酱0得YA=8参0kN再由整俩体平衡镜方程∑X=婚0得XB=2塑0kNMEA=80颈×6-榴½×2共0×6澡²=1女2012060180Aaaaaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qBYB=0YA=0XB=1.5qa4.5碌qa2

5qa2M图haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整体：∑MA＝03qa×岗a/2－XB×a＝0XB=1.5悼qaXA=4.5qa5、对称高性的利斜用h↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓l/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8例4试绘制衫下图所屿示刚架毕的弯矩护图。30kN20kN·m2m2m4m10kN10kNABCDE10kN40k羊N·mADBE10kN40kN代·mD2040E40DCE20kN练·m40kN杨·m402040M图（kN·m）qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXMqaBFD例5.求绘图垮示结构壤的弯矩葵图。静定刚架的

M

图正误判别利用上述锻内力图与叛荷载、支匀承和联结梨之间的对遮应关系，此可在绘内愧力图时减猜少错误。遵另外，鞠根据这些喜关系，可凉直接观察M图的对烘错①

M图与荷载情况不符。②

M

图与结点性质、约束情况不符。③作用在结撞点上的各淋杆端弯矩夏及结点集葛中力偶不和满足平衡嫩条件④在自由端浙、铰支座醒、铰结点曲处，无集誉中力偶作币用，截面品弯矩等于哗零，有集惹中力偶作件用，截面斥弯矩等于捷集中力偶何的值。⑤刚结点上夸各杆端弯禁矩及集中妻力偶应满枣足结点的浆力矩平衡吨。两杆相亡交刚结点球无集中力序偶作用时嘴，两杆端炒弯矩等值敲，同侧受三拉。内力图驳形状特腊征1.无何载区多段2.均布荷载柔区段3.集中力作绵用处平行轴拘线斜直线Q=0区段M图平行于轴苏线Q图M图备注↓↓↓↓逃↓↓二次抛蕉物线凸向即q指向Q=0处，M达到极郑值发生突变P＋－出现尖点尖点指串向即P的指向集中力作稻用截面剪银力无定义4.集中力偶象作用处无变化发生突变两直线平厦行m集中力宿偶作用胶点弯矩施无定义＋－↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPABCDE（a）↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPABCDE（b）ABC↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓（e）ABC（f）××××××ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm××↓↓↓↓↓↓（3）（）↓↓↓↓↓↓↓↓（5）（）（4）（）（1）（）（6）（）×××××√√↓（9）（）题2-1图（10）（）↓（11）（）↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑（12）（）↓（7）（）（8）（）

m

m√√速绘弯矩竟图Pa↑↑↑↑↑alPa2m/称3m/3m/32m/粥3aaammqa2/2mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/湿2Pa/2000m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20002P2P2PPPPPa2PaPaPaaaaaaPPmaaaaPPPh0000PPPPPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh13-3岛静定平虽面桁架桁架的延特点和丈组成分冤类桁架是由峡链杆组成摔的格构体狱系，当荷露载仅作用箩在结点上火时，杆件庭仅承受轴统向力，截冠面上只有甩均匀分布湿的正应力仅。理想桁劳架：（1）结点助是光滑伪无摩擦谣的铰结勿点；（2）各杆掩轴线都推是直线塘，通过月铰中心焦；（3）荷载和湾支座反力畅都作用在副结点上上弦杆腹杆下弦杆主应力会、次应液力桁架的分炒类（按几巾何构造）1、简单桁架2、联合桁敞架3、复杂桁架结点法分析时品的注意替事项：1、尽量建匆立独立方花程：2、避免宜使用三敌角函数llxlyNNNXYNl=Xlx=Yly3、假设尖拉力为蝇正+123456784×3蔽m=1罩2m4m40k镜N60kN80k纺NH=0V1=80kNV8=100kN一、平面片汇交力系N13N121X13Y13345结点18024060N23N24结点23406080N35X34Y34N34结点3-10马0604060-9050123456784×3m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kN80_606040604030+-900-902015+75758075_100二、结爽点单杆煤概念P结点单杆虎内力可直盏接根据静中力平衡条感件求。1234567891011ABCDABC一、平斩面一般力确系截面单步杆：任意隔离扯体中，除贺某一杆件赶外，其它坝所有待求案内力的杆砌件均相交分于一点时搂，则此杆等件称为该蚁截面的截巨面单杆。截面单拢杆的内蛮力可直耗接根据穗隔离体舒平衡条酷件求出高。截面法OyAB123451‘2‘3‘4‘6ddPPPabcde(1)2‘1‘12P例1、求图示榴平面桁架蝴结构中指席定杆件的响内力。AB123451‘2‘3‘4‘6ddPPPabcde(2)B454‘PdeAB123451‘2‘3‘4‘6ddPP