函数与数列的极限的强化练习题答案

专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印PAGE33函数与数列的极限的强化练习题答案第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与为同一函数的是（）解：，且定义域，∴选D2．已知是的反函数，则的反函数是（） 解:令反解出：互换，位置得反函数，选A3．设在有定义，则下列函数为奇函数的是（）解：的定义域且∴选C4．下列函数在内无界的是（）解:排除法：A有界，B有界，C故选D5．数列有界是存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解：收敛时，数列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收敛，选A6．当时，与为等价无穷小，则=（）AB1C2D-2解：，选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设，则的定义域为解：∵∴定义域为8．设则解：（1）令（2）9．函数的反函数是解：（1），反解出：（2）互换位置，得反函数10．解：原式11．若则解：左式=故12．=解：当时，～∴原式==三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数的定义域解：∴函数的定义域为14．设求解：故15．设，的反函数，求解:（1）求∴反解出：互换位置得(2)16．判别的奇偶性。解法（1）：的定义域，关于原点对称为奇函数解法（2）：故为奇函数17．已知为偶函数，为奇函数，且，求及解：已知即有得故得故18．设，求的值。解：故19．求解：（1）拆项，（2）原式=20．设求解：原式=四、综合题（每小题10分，共20分）21．设=，求=并讨论的奇偶性与有界性。解：（1）求（2）讨论的奇偶性为奇函数（3）讨论的有界性有界22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为，底半径为，依题意：漏斗容积V=故（2）函数的定义域故五、证明题（每小题9分，共18分）23．设为定义在的任意函数，证明可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1)(2)令为偶函数(3)令为奇函数（4）综上所述：偶函数+奇函数24设满足函数方程2+=，证明为奇函数。证：（1）令函数与自变量的记号无关（2）消去，求出（3）的定义域又为奇函数＊选做题1已知，求解:且∴由夹逼定理知，原式2若对于任意的，函数满足：，证明为奇函数。解(1)求：令(2)令为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．下列极限正确的（）A．B．不存在C．D．解：选C注：2．下列极限正确的是（）A．B．C．D．解：选A注：3．若，，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选D4．若，则（）A．3B．C．2D．解：选B5．设且存在，则=（）A．-1B．0C．1D．2解：选C6．当时，是比高阶无穷小，则（）A．B．C．为任意实数D．解：故选A二、填空题（每小题4分，共24分）7．解：原式8．解：原式9．解：原式10．已知存在，则=解：11．解：又故原式=112．若且,则正整数=解：故三、计算题（每小题8分，共64分）13．求解：原式=原式14．求解：原式15．求解：令，当时，原式16．求解：原式注:原式17．求解：原式18．设且存在，求的值。解：19．解：原式20．求解：原式四、证明题（共18分）21．当时且,证明证：证毕22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）（2）（3）（4）证：当时，当时，当时，当时，五、综合题（每小题10分，共20分）23．求解：原式24．已知，求常数的值。解：（1）∵原极限存在且（2）答选做题求解：原式令原式第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若为是连续函数，且，则()A．-1B．0C．1D．不存在解：原式，选B2．要使在点处连续，应给补充定义的数值是()A．B．C．D．解：选A3．若，则下列正确的是（）A．B．C．D．解：选B4．设且在处可导，,则是的()A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．连续点解：，故是的第一类可去间断点。选A5．在处()A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导但不连续解：，且在连续，又不存在，在不可导选C6．设在可导，则为（）A．B．C．D．解：（1）在连续，故（2），代入得，选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设为连续奇函数，则=解：（1）为奇函数，（2）又在连续故8．若为可导的偶函数，则解：（1）为偶函数，(2)可导，故即9．设是曲线的一条切线，则解：（1）（2）故10．若满足：，且则=解：11．设在连续，且=4，则解：原式=12．的间断点个数为解：令为间断点，故有三个间断点三、计算题（每小题8分，共64分）13．已知在上连续，求的值解：在连续且故14．讨论在连续性解：（1）在处，且在处连续（2）在处，在不连续15．设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。解：且，答16．设在可导，求的值。解：（1）在连续，故有（2）在可导，答17．设在可导，求与解：（1）在连续，且，故有（2）在可导答：18．讨论在是否可导，其中在连续。解：（1）（2）答：当时，在连续，当时，在不连续19．求的间断点，并指出间断点类型解：（1）间断点：（2）在处：是的第一类间断点。（3）在处：为的第二类无穷间断点。20．设指出的间断点，并判断间断点的类型。解：（1）为间断点，可能是间断点。（2）在处：是的第二类无穷间断点（3）在处：是的第一类跳跃间断点四、综合题（每小题10分，共20分）21．求的间断点，并判别间断点的类型。解：（1）间断点：（2）在处：是的第一类可去间断点（3）在处：是的第一类可去间断点（4）在处：是的第二类无穷间断点22．已知，在可导，求之值解：（1）在连续，故（2）在可导故有（3）在连续，即（4）在可导：故有由（3）（4）解得答：五、证明题（每小题9分，共18分）23．证明在区间内至少有两个实根。证：（1）在连续，且由零点定理知，=0在上至少有一个实根。（2）在连续,且由零点定理知，=0在上至少有一个实根（3）综上所述，=0在上至少有两个实根24．设，证明（1）当时在连续，当时，在可导解：（1）当时，在连续(2)当时，在可导总之，当时，在连续当时，在可导选做题设对于任意的，函数满足且证明证：（1）令，，即(2)证毕第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设则()A．1B．3C．-1D．-3解：（1）(2)选C2．设,则（）A．B．C．D．解：令选B注：本题用导数定义计算更方便！3．设，则=()A．B．C．D．解：选A4．设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率=()A．2B．-2C．D．-解：选B5．设为可导偶函数，且，则（）A．0B．1C．-1D．2解：（1）（2）得（3）选A6．设在有连续导数，且,则()A．1B．-1C．2D．-2解：(2)原式选B二、填空题（每小题4分，共24分）7．若，则解：（1）(2)8．设，则=解：(1)（2）9．直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是解：故有切点坐标10．由方程确定，则解：当时，得，11．设，则解：12．设，则=解：三、计算题（每小题8分，共64分）13．设，求。解：(1)（3）14．设，求及。解：(1)15．方程确定，求解：(1)=0（2）当时，（3），16．设，求解：（1）(2)17．设，确定，求。解：（1）(2)18．设，求解：（1）变形，（2）19．设由方程所确定，其中F可导，且，求解：（1）（2）当时，（3）20．已知，求解：（1）四、证明题（本题8分）21．证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。证：（1）求切线方程：