高中数学易错点与应试技巧总结：函数3

PAGEPAGE1高中数学易错点与应试技巧总结：函数3高中数学易错点与应试技巧总结：函数3高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函数十二．函数的对称性。1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x已知二次函数f(x)ax等根，则f(x)＝_____(答：12xx)22ab2对称。如bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有2．点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；3．点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；4．点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；5．点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x))关于直线yx的对称点为(y,x)；0；点(x,y曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0。如己知函数f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：yx22x1）6．曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______版权所有@高考资源网-1-高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家（答：x7x6）7．形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd(由分cxdc2母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。如ccc已知函数图象C与C:y(xa1)axa1关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）8．|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称（答：y轴）提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如（1）已知函数f(x)心对称图形；（2）设曲线C的方程是yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程（答：y(xt)(xt)s）；②证明曲线C与C1关于点A十三．函数的周期性版权所有@高考资源网-2-32x1aax(aR)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,1)成中3ts对称。22,高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家1．类比“三角函数图像”得：①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）2．由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；③若f(xa)(a0)恒成立，则T2a.如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____(答：0.5)(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为_________(答：f(sin)f(cos))（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(201*)的值(答：993)（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家f222，则f201*=222(答：十四．指数式、对数式：amn)nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，logablogcblogca，nmlogab。如（1）log225log34log59的值为________(答：8)（2）()21log28的值为________(答：164)十五．指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题——认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模——通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模——求解所得的数学问题；④回归——将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立yaxbx型。十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家①正比例函数型：f(x)kx(k0)f(xy)f(x)f(y)；xf(x)f(y)②幂函数型：f(x)xf(xy)f(x)f(y)，f()y2；③指数函数型：f(x)af(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；④对数函数型：f(x)logaxf(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；yx⑤三角函数型：f(x)tanxf(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(T2)____（答：0）2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数f(x)(xN)表示x除以3的余数，则对任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)（答：A）；（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)（答：1）；（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，证明：直线x1是函数f(x)图象的一条对称轴；（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且当x2时，f(x)单调递增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值的符号是____（答：负数）版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.）您身边的高考专家3．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时，y1f(x)0，又f()1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.2（答：0,14,5）版权所有@高考资源网扩展阅读：201*届高考数学易错点与应试技巧总结3—函数概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函数十二．函数的对称性。1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线xab2对称。如已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，则f(x)＝_____(答：12xx)22．点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；3．点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；4．点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；5．点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0；点(x,y曲线f(x,y)0关于直线yx的对)关于直线yx的对称点为(y,x)；称曲线的方程为f(y,x)0。如己知函数f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：yx22x1）6．曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：x27x6）7．形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd(由分cxdc母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。如ccc已知函数图象C与C:y(xa1)axa21关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）8．|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称（答：y轴）提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如（1）已知函数f(x)心对称图形；（2）设曲线C的方程是yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程（答：y(xt)(xt)s）；②证明曲线C与C1关于点A十三．函数的周期性3x1aax(aR)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,1)成中3ts对称。22,1．类比“三角函数图像”得：①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）2．由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；③若f(xa)(a0)恒成立，则T2a.如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____(答：0.5)(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为_________(答：f(sin)f(cos))（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(201*)的值(答：993)（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又f222，则f201*=222(答：十四．指数式、对数式：amn)nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，anaNlogaNb(a0,a1,N0)logambnb，alogaNN，logablogcblogca，nmlogab。如（1）log225log34log59的值为________(答：8)（2）()21log28的值为________(答：164)十五．指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题——认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模——通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模——求解所得的数学问题；④回归——将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立yaxbx型。十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：①正比例函数型：f(x)kx(k0)f(xy)f(x)f(y)；xf(x)②幂函数型：f(x)x2f(xy)f(x)f(y)，f()；yf(y)③指数函数型：f(x)axf(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)；x④对数函数型：f(x)logaxf(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；yf(x)f(y)1f(x)f(y)⑤三角函数型：f(x)tanxf(xy)。如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(T2)____（答：0）2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数f(x)(xN