二次函数与特殊的三角形(含答案)

..二次函数与特殊的三角形第一组等腰三角形<2016XXXX,26,13分>〔5如图,在平面直角坐标系中,直线y=－2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点．点C的坐标是<8,4>,连接AC,BC．<1>求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状；<2>动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA？<3>在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．<2016新疆建设兵团,23,13分如图,抛物线的顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线与y轴交于点D．〔12〔1求抛物线的解析式；〔2在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC是等腰三角形？若存在,请直接写出符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由．<2016XXA,26,12分>如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A．B两点<点A在点B的左侧>,与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.<1>判断△ABC的形状,并说明理由；<2>经过B．C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；<3>如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′.将△AOC绕点O顺时针旋转至△的位置,点A．C的对应点分别为点,,且点恰好落在AC上,连接,.△是否能为等腰三角形？若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能,请说明理由.第二组直角三角形10.〔2016XX省枣庄市,25,10分如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的对称轴为直线x＝－1,且经过A<1,0>,C<0,3>两点,与x轴的另一个交点为B．⑴若直接y＝mx＋n经过B,C两点,求抛物线和直线BC的解析式；⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M,使点M到点A的距离与点C的距离之和最小,求点M的坐标；⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．xxyOCAB答案：1、<1>解：令y=0,则－2x+10=0,x=5,∴A<5,0>．把x=0代入y=－2x+10,得y=10,∴B<0,10>．设过O,A,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,可得解得∴抛物线的解析式为y=x2－x．……………3分△ABC是直角三角形,理由如下：∵B<0,10>,A<5,0>,∴OA=5,OB=10,∴AB2=125,AB=．∵C<8,4>,A<5,0>,∴AC2=25,AC=5．∵B<0,10>,C<8,4>,∴BC2=100,BC=10．∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°．…………………5分<2>∵PA=QA,又∵PA2=<2t>2+52,QA2=<10－t>2+52,∴<2t>2+52=<10－t>2+52,解得t=．故当运动时间为秒时,PA=QA．…………………8分<3>存在．抛物线y=x2－x过O,A两点,则对称轴是x=,设M的坐标为<,m>,①当AM=BM时,M是AB的垂直平分线与抛物线的交点,设抛物线的对称轴与x轴交于点P,与AB交于点Q,由题意可知PQ∥y轴,P是OA的中点,∴Q是AB的中点,∴AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q,此时不能形成三角形．②当AB=BM时,<>2+<10－m>2=AB2=125,解得m1=,m2=,∴M1<,>,M2<,>．…………………10分③当AB=AM时,<5－>2+m2=AB2=125,解得m3=,m4=－,∴M3<,>,M4<,－>．综上所述,存在点M,共有4个点,分别是M1<,>,M2<,>,M3<,>,M4<,－>．…………………12分解：〔1由抛物线,令x=0,得y=－3∴C〔0,－3,∴OC=3

∵BO=OC=3AO,∴OB=3,AO=1．∴A〔－1,0,B〔3,0代入,得：解得：∴抛物线的解析式为．〔2P1〔1,－1,P2〔1,,P3〔1,,P4〔1,,P5〔1,设点P的坐标为〔1,m分三种情况讨论：①若PC=PB,则PC2=PB2即解得：m=－1,∴P1〔1,－1．②若PC=BC,则PC2=BC2即解得：,∴P2〔1,,P3〔1,③若PB=BC,则PB2=BC2即解得：,∴P4〔1,,P5〔1,综上所述,可知满足条件的点P的坐标共有5个,分别是P1〔1,－1,P2〔1,,P3〔1,,P4〔1,,P5〔1,3、<1>△ABC为直角三角形,理由如下：当y=0时,即,解这个方程,得.∴点A<,0>,B<,0>.∴OA=,OB=3.当x=0时,y=3,∴点C<0,3>,∴OC=3.在Rt△AOC中,.在Rt△BOC中,.又∵,12+36=48,∴.∴△ABC为直角三角形.<2>如图1,∵点B<,0>,C<0,3>,∴直线BC的解析式为.过点P作PG//y轴交直线BC于点G.设点P<a,>,则点G<a,>,∴PG=<>－<>=.设点D的横坐标为,点C的横坐标为..∵,∴当时,△PCD的面积最大,此时点P<,>.如图1,将点P向左平移个单位至点P′,连接AP′交y轴于点N,过点N作NM⊥抛物线对称轴于点M,连接PM.点Q沿PMNA运动,所走的路程最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长.∵点P<,>,∴点P′<,>.又∵点A<－,0>,∴直线AP′的解析式为.当x=0时,y=,∴点N<0,>.过点P′作P′H⊥x轴于点H,则有HA=,P′H=,AP′=.∴点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+=.<3>如图2,在Rt△AOC中,∵tan∠OAC=,∴∠OAC=60°.∵OA=,∴△为等边三角形,∠=60°,∴∠=30°.又由,得点.∵点A<－,0>,E<,4>,∴AE=.∴.∵直