如何证明圆的切线

如何证明圆的切线如何证明圆的切线/NUMPAGES7如何证明圆的切线如何证明圆的切线如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．图1OABC图1OABCD∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．∵∠CAB＝30º，∴BC＝AB＝OB．∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．图2OA图2OABCD231证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．OABCD图32341思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CDOABCD图32341证明：连接OD．∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线【例4】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，因为OC=OB，所以∠OCB=∠B．因为∠COD是△BOC的外角，所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．因为∠ACD=2∠B，所以∠ACD=∠COD．因为CD⊥AB于D，所以∠DCO+∠COD=90°．所以∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．因为C为⊙O上的点，所以AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切线．四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等．（2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．因为⊙O与AB相切于点D，所以∠BDO=∠CEO