2022年河北省邯郸市九校高考数学三模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项:1答题时请按要求用笔。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。125601BC是单位圆O上不同的三点，线段OCAB交于圆内一点M，若OCmOAnOB,(m0,n0),mn2，则AOB的最小值为（ ）6

3

C． D．2 3已知函数f(x)memxlnx，当x0时，f(x)0恒成立，则m的取值范围为（ ）A．1,

B．1,e

) D．(,e)ee ee 201920161.220162019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.2016年相比，2019年不上线的人数有所增加2016年相比，2019年一本达线人数减少2016年相比，20190.3D．20162019年艺体达线人数相同2xx3,x0 14．已知函数f(x) ，则f(f())（ ）lnx,x0 e3A． B．1 C．-1 D．02函数fxsinx在上为增函数，则的值可以是( )A．0 B．2

C． D．2关于函数f(x)sinx在区间π,π的单调性，下列叙述正确的是（ ） 6 2 A．单调递增 B．单调递减 C．先递减后递增 D．先递增后递减已知函数fxax12x2ax1（aR）的最小值为0，则a（ ）A．1 B．1 C． D．12 2PABCAP1AB1ACABP与ABC的面积之比为3 41 1A． B．4 32 1C． D．3 6设函数fxsinx（00是Rfx的图象关于直线x4

对称，且fx

, 上是单调函数，则f （ ）2211

12A． 2

B． 2 C．12 2

D．12已知双曲线C:x2y20,b0)AxMa2 b2点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）A．51 B． 2 C．3 D．5 计算log2sin4

等于( )3A．3 B．32 2

C．2 D．23 3fxRfxf(x)e2xx0f(xf(x0，f(x)若eaf(2a1)f(a1)，则实数a的取值范围是( )A．0,2

B．2,0

C．[0,) D．(,0]33 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在△ABC中，∠BAC＝60，AD为∠BAC的角平分线，且AD1AC3AB，若AB＝2，则BC＝ .4 4

为数列的前nan n

Sn1S2

= .已知向量a(1,x1)，b(x,2)，若满足ab，且方向相同，则x．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进问卷调查已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知凸n边形AAA

A1AA

a(i1,2, ,n1)，AA

，其内部一点P到边123 n

ii1 i2a 2a

n1 nAA a(i

n1)的距离分别为ddd

,d.求证： 1 2

n(nnaa a)2.ii1 i

1 2 3 n

d d d1 2 n

12 n18（12分如图三棱柱ABCABC中侧面BBCC是菱形其对角线的交点为O且ABAC 6,ABBC．111 11 1 1AOBBCC；11设BBC60ABBBCC所成的角为45ABCB的正弦值．1 11 112

1 112 19（12分）已知矩阵M 的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向.2 20（12分）n(nN)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为1，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，2如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．当n3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？当n4XX21（12分）设kR，函数g(x)k(xe)，其中e.设函数f(x) x .1lnx①若k1，试判断函数f(x)与g(x)的图像在区间(1,e)上是否有交点；②求证：对任意的kR，直线yg(x)都不是yf(x)的切线；设函数h(x2xxlnxxg(xekx，试判断函数h(x)是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.22（10分）已知椭圆C:x2y21ab0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F,F

1，离心率为 ，P是椭圆上a2 b2

1 2 2的一个动点（不与左、右顶点重合，且△PFF的周长为，点P关于原点的对称点为Q，直线P,

交于点M.12 2求椭圆方程；PF2

N

△AFM2

4S

△AFN2

，求点P的坐标.参考答案125601．D【解析】由题意得1m2n22mncosAOB，再利用基本不等式即可求解．【详解】将OCmOAnOB平方得1m2n22mncosAOB，1m2n2 1(mn)22mn 3 3 1cosAOB 1 122mn 2mn 2mn2（当且仅当mn1时等号成立，0AOB，AOB的最小值为2，3

mn2( )22故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．2．A【解析】分析可得m0,显然memxlnx0在0,1上恒成立,只需讨论x1时的情况即可,f(x)0memxlnxmxemxelnxlnx,然后构造函数g(x)xex(x0),结合g(x)的单调性,不等式等价于mxlnx,进而求得m的取值范围即可.【详解】由题意,若m0,显然f(x)不是恒大于零,故m0.m0,则memxlnx0在0,1上恒成立;当x1时,f(x)0等价于memxlnx,因为x1,所以mxemxelnxlnx.设g(x)xex(x0),由g(x)ex(1x),显然g(x)在(0,)上单调递增,因为mx0,lnx0,所以mxemxelnxlnx等价于g(mx)g(lnx),即mxlnx,则mlnx.xh(x)

lnx 1lnx(x 0),h(x)

(x0).x x2h(x)0,xe,h(x)在(0,e),在(e,上单调递减,h(x)

max

h(e)1，故m1.e e故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.3．A【解析】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为1.2x，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】20162019年高考人数为1.2x，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为1.2x0.280.336x0.3xA正确；2016年高考一本人数0.3x，2019年高考一本人数1.2x0.260.312x0.3x，故B错误；2019年二本达线人数1.2x0.40.48x，2016年二本达线人数0.34x，增加了0.48x0.34x0.41倍，故C错误；0.34x2016年艺体达线人数0.06x，2019年艺体达线人数1.2x0.060.072x，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.4．A【解析】2xx3,x0 1 1 1由函数f(x) ，求得f()ln 1，进而求得f(f())的值，得到答案.lnx,x

e e e【详解】

2xx3,x0由题意函数f(x) ，lnx,x01则f()ln1e【点睛】

1，所以f(f())f(1)21(1)3 ，故选A.1 1 e e 21 1 本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D【解析】依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当0时，fxsinx在0,上不单调，故A不正确；当时，fxcosx在0,上单调递减，故B不正确；2当fxsinx在C不正确；当fxcosx在D正确.2故选：D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.6．C【解析】

先用诱导公式得f(x)sinx6cosx3,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数f(x)sinxcosx的图象可由ycosx向左平移个单位得到,如图所示,f(x)在π,π上先 6

3 3

2 递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.7．C【解析】gxhxax1设gxhx2x2ax1，计算可得

2gx,gxhxfx2hx,gxhxfx【详解】gxhxax1

gxx2ax设gxhx2x2ax1，则hx1x2 ， 2hx,gxhx则fxgxhxgxhx2hx,gxhx则由于函数fx的最小值为0，作出函数gx,hx的大致图像，结合图像，1x20xa.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.8．A【解析】作PD//AC交AB于点D，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出S 与S 的比例，再由S 与S 的ADP ABC ADP APB比例，可得到结果.【详解】如图，作PD//AC交AB于点D，1 则APADDP，由题意，AD3AB，DP4AC，且ADPCAB1801 1 1 1 1 1

ADP

|AD||DP|sinADP |AB| |AC|sinCAB 2 2 3 4 12

ABC1 1 S 1又AD AB，所以，3所以本题答案为A.

APB

ADP

S4

APB ，4ABC【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.9．D【解析】根据函数fx为R上的奇函数可得，由函数fx的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数fx的解12析式，即可求得f12 【详解】fxsin（00）R上的奇函数，则fxsinx.又fx的图象关于直线x对称可得k，kZ，即24k，kZ，由函数的单调区间知，

4 4 212，11 4即5.5，综上2，则fxsin2x，f1.12 2 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.10．A【解析】M(abMF的中点坐标为acb，代入双曲线的方程可得abc的关系，再转化成关于ac的齐次方程，2 2求出c的值，即可得答案.a【详解】双曲线C:x2y21(a0,b0)的右顶点为A(a,0)，右焦点为F(c,0)，a2 b2MxaM(ab，acb

ac

b2∴MF的中点坐标为(

,).代入方程可得

2 2 ，2 2

1(ac)2 5

a2 b2∴ e22e40e 51（负值舍去）.4a2 4故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造a,c的齐次方程.11．A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】2原式log 2

2log2

coslog

1

233.2 cos2 22故选：A

22

3

22

3

22 2 2 2【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.12．B【解析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令g(x)exf(x)，则当x0时，g(x)ex[f(x)f(x)]0，又g(x)exf(x)exf(x)g(x)，所以g(x)为偶函数，从而eaf2a1fa1等价于e2a1f(2a1)ea1f(a1),g(2a1)g(a1)，2g(|2a1|)g(|a1|),|2a1||a1|,3a22a0【点睛】

a0.选B.3本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。713．27【解析】由AD1AC3AB，求出BD,CD长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出AC边，再由余弦定理，即可求解.4 4【详解】ADAD1AC3AB,1(ADAC)3(ABAD),CD3DB,CD3DB，S

ACADsin

AC ACSADB

2BD 1ABADsinBAD2

AB2，AC6,BC2AB2AC22ABACcosBAC402628，7BC2 .77故答案为:2 .7【点睛】14．-254【解析】利用aSS (n2)代入即可得到S22(S 2)(n2)，即{S2}是等比数列，再利用等比数列的通项n n n1 n n1 n公式计算即可.【详解】an

S n1，得a

S n1S2

Sn1

Sn1S2

22(S

n1

2)(n2)S又a11 2

1，即S1

2，S1

24，所以{Sn

2}是以-4为首项，2为公比的等比数列，所以S242n1，即S22n1，所以S228254。n n 7故答案为：254【点睛】本题考查已知S与a的关系求S，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.n n n15．1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【详解】∵ab，∴x(x1)20，解得x1或x2，x1时，a(1,2),b(1,2)满足题意，x2时，a(1,1),b(2,2)，方向相反，不合题意，舍去．∴x1．故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．16．24【解析】由分层抽样的知识可得 2400 9036，即n1600，所以高三被抽取的人数为24002000n1600 902424．2400200016007017．证明见解析【解析】由已知，易得ad

a

ad

2，所以2a 2a

11 2a

2 nna a

a

a a a1 2 n212n

adad

a

12

n利用柯西不等式和基本不等式即d d d d d1 2 n 1 2

d 11 22n

nn d d d1 2 n可证明.【详解】因为凸n边形的面积为1，所以adadad

2，11 22 nn2a 2a 2a a a ad1d2dn2d2dn1 2 n 1 2 n

adadaadaannd1 2da12dnn(ad

a1ad

a2 a

an)2（由柯西不等式得）11d1

22d2

nn dnaaa22 n(nnaa a)2（由均值不等式得）12 n【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.18（）（）25.5【解析】（1）根据菱形的特征和题中条件得到BC平面ABC，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；1 1(2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形BBCC是菱形，11∴BCBC，1 1ABC,ABBCAB1 1BCABC1 1AO平面ABC，1BCAO1又 ABAC,O是BC的中点，1 1AOBC，1BBC BCO1 1AO平面BBCC11AB/AB//AB11∴直线AB与平面BBCC所成的角等于直线AB与平面BBCC所成的角．11 11 11AO平面BBCC，11ABBBCC所成的角为ABO，即．11因为ABAC 6，则在等腰直角三角形ABC中

23，1 1 1所以BO 3,COBOBOtan301．1在RtABO中，由得AOBO 3，以O为原点，分别以OB,OB,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz．1则A(0,0,3),B(3,0,0),B(0,1,0),C(3,0,0)1 1ABAB(3,0,3),BC(3,11 11ABC的一个法向量为

(x,y,z)，111 1nAB 3x3z0则 11

，可得n

(1,3,1)，nB

3xy0 111取平面BBCC的一个法向量为n(0,0,1)，11 2nn 1 5则cosn,n 1 2 ，1 2 |n1

||n| 5 52ABCB25．1 11 5（注：问题可以转化为求二面角ABCB的正弦值，求出AOBO 3后，在RtOBC中，过点O作BC1HAH，则AHO就是所求二面角平面角的补角，先求出OH最后在RtAOH中求出sinAHO2 5）5

3 15，再求出AH ，2 2【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．19．另一个特征值为1，对应的一个特征向量

【解析】23a1fλ0即可解出另一个特征值为1，最后利用求.2【详解】矩阵M的特征多项式为：f

2a

1a4，3fλ0的一个根，1a40a1

22M2 fλ0即1402230，2

1，设1对应的一个特征向量为：xy2y则由M2

2x2y0，得2x2y0

xy，x1y1，所以矩阵M另一个特征值为1，1对应的一个特征向量 1 【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.520（）当n5或n6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为16；（）见解析.【解析】（1）3nnn3个坑要补播种的概（）1时，X的所有可能的取值为，，，，．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．【详解】

13

13 1（1）对一个坑而言，要补播种的概率PC0 C1 ，1n有3个坑要补播种的概率为C3 .n2

32

32 2 1n

1n1C3 C3 1n

n2

n12欲使C3 最大，只需 ，n2 1

1n1C3

C3 n2

n12解得5n6，因为nN*，所以n5,6,15 5当n5时，C3 ；52 16nn当 时，C3

5；62 16n5或n635.16（2）由已知，X的可能取值为0，1，2，3，1.XB4,1， 2 2X012X01231P113111648416X的数学期望EX412.2【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．21（）①函数f(x)与g(x)的图象在区间(1,e)（）k0且k1；2e【解析】F(xf(xg(xx，求出切线方程，得到0x2eelnx0

，根据函数的单调性判断即可；求出h(x的解析式，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，确定k的范围即可．【详解】（）①当k1时，函数g(x)xe，令F(x)f(x)g(x) x xe，x(1,e)，1lnxF2e0F(e3ee0，FFe0，又函数F(x)在区间(1,e)上的图象是不间断曲线，故函数F(x)在区间(1,e)上有零点，故函数f(x)与g(x)的图象在区间(1,e)上有交点；②证明：假设存在kR，使得直线yk(xe)是曲线yf(x)的切线，x

0,ee,，0 0yfxxxyf(x)(xxf(x，0 0 0 02lnx 2xxlnx xy

0x 0 0 0 0 ，(lnx(lnx1lnx0 0 02lnx 2xxlnx xk

0，且 0 0 0 0 ke，(lnx0

(lnx1lnx0 0kx0

2eelnx0

，故x0

e满足等式，s(x)

2e

，所以s(x)1e，0 0 0 0 x0故函数s(x)在(0,e)和(e,)上单调递增，0s(x

e时se0，0 0故方程x0

2eelnx0

有唯一解x0

e，又x0,ee,，0故x不存在，即证；0（2）由h(x)2xxlnxxg(x)ekx2xxlnxkx22kex得，x0h(x1lnx2k(xe，m(x1lnx2k(xe，1 2kx1则m(x)2k ，x xmehe0，当k0h(x递减，x(0,eh(x0h(x递增，x(eh(x0h(x递减，h(xxek0m(x在(0,1递减，在(1

，)递增，①当0k

1时，12e 2k

2k 2ke，故m(x)在(0,1)递减，2k可得当x(0,e)时，h(x)0，当x(e,1)时，h(x)0，2k1 1km(ek)(12ke)2e1lnek，kk ke1e易证k

1ke1，令m(k2e1lnkke

k(e,1)，2ek 2k k令t12e，k故n(t)2etlntt，则n(t)2e110，tn(t在(2e递增，nn2en0，即0k1m0，2e(12k

e1kxmkxm(x0h(x在(1x上递减，在(x

，)递增，2k 0 0故h(x)在xx处取得极小值．0②由（1）k1，1e，2e 2k故h(x)在(0,e)递减，在(e,)递增，故x(0,)时，h(x)0，f(x)递增，不合题意；③当k

102e

1e，2kx(1eh(x0f(x递减，2kx(eh(x0f(x递增