34函数的单调性与曲线的凹凸性-习题

3.4函数的单一性与曲线的凹凸性-习题3.4函数的单一性与曲线的凹凸性-习题/3.4函数的单一性与曲线的凹凸性-习题第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解1f(x)xsinx在[0,2]上的单一性。．谈论函数【解法一】由于cosx1，得[0,2]上恒成立f'(x)1cosx0，而等号仅在x0和x2两个孤立点上成立，可知，函数f(x)xsinx在[0,2]上单一增加。【解法二】由于f'(x)1cosx0在(0,2)上恒成立，可知，函数f(x)xsinx在(0,2)上单一增加，亦即在[0,2]上单一增加。2．求以下函数的单一区间：⑴y2x39x212x3；【解】函数y2x39x212x3的定义域为(,)，由于y'6x218x126(x2)(x1)，得函数有两个驻点x2和x1，无不可导点，x2x1作图表解析：gg12y'yZ]Z可知，函数y2x39x212x3分别在(,1)和(2,)内单一增加，在(1,2)内单一减少。【课本答案漏了在(,1)内单一增加】⑵yx33x2；23【解】函数yx3x2的定义域为(,)，213x1x1和一个不可以导点x1，由于y'1，得函数有一个驻点3x3x1第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解3x3x1作图表解析：gg01y'yZ]Z可知，函数yx33x2分别在(,0)和(1,)内单一增加，在(0,1)内单一减少。2【课本答案漏了在(,0)内单一增加】⑶yx33x；【解】函数yx33x的定义域为(,)，由于y'3x233(x1)(x1)，得函数有两个驻点x1和x1，无不可以导点，x1x1作图表解析：gg-11y'yZ]Z可知，函数yx33x分别在(,1)和(1,)内单一增加，在(1,1)内单一减少。⑷yx2ln(x1)；【解】函数yx2ln(x1)的定义域为(1,)，12(x31)(x31)由于y'2x22，得函数在定义域(1,)上只有x1x1一个驻点x31，无不可以导点，22第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解x

31x作图表解析（注意定义域）

2312

oog3131122y'y]Z可知，函数yx2ln(x1)3131在(1,)内单一减少，在(,)内单一增22加。yx2e2x；【解】函数yx2e2x的定义域为(,)，由于y'2xe2xx22e2x2x(x1)e2x，得函数有两个驻点x0和x1，无不可导点，xx1作图表解析：gg-10y'yZ]Z可知，函数yx2e2x分别在(,1)和(0,)内单一增加，在(1,0)内单一减少。⑹y(x1)2(x1)3。【解】函数y(x1)2(x1)3的定义域为(,)，由于y'2(x1)(x1)3(x1)23(x1)25(x1)(x1)2(x1)，得函数有三个5驻点x1，无不可以导点，1，x53第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解x15(x1)2作图表解析：x1ggg1115y'yZZ]Z由于x1是函数y(x1)2(x1)3连续点，且是y'0的孤立点，可知，函数y(x1)2(x1)3分别在(,1)，(1,)内单一增加，在(1,1)内单55调减少。3．证明以下不等式：⑴当x0时，ln(1x)x1x2；21x2)，【解】令f(x)ln(1x)(x2由于f'(x)11xx20当x0时恒成立，1x1x知函数f(x)ln(1x)(x1x2)在[0,)上单一增加，12而f(0)ln(10)(002)0，211从而，当x0时f(x)ln(1x)(xx2)0，亦即ln(1x)xx2。22证毕。⑵当x1时，2x31；x【解】令f(x)2x(31)，x由于f'(x)11xx10当x1时恒成立，xx2x2知函数f(x)2x(31)在[1,)上单一增加，x而f(1)21(31)0，11)1从而，当x1时f(x)2x(30，亦即2x3。xx证毕。4第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解⑶当0x时，tanxx1x3；213【解】令f(x)tanx(xx3)，3由于f'(x)sec2x(1x2)，f''(x)2xtanx2x2secf'''(x)2(2secxsecxtanxtanxsec2xsec2x)22(2sec4xsin2xsec4x)24sec4x(2sin2x1)24(2sin2x1)2sec4x18sin2x2，显见f'''(x)8sin2x20恒成立，知函数f''(x)2sec2xtanx2x在(0,)上单一增加，有f''(x)f"(0)，2而f''(0)2sec20tan0200，可知f''(x)0当0x时恒成立，2由此知函数f'(x)sec2x(1x2)在(0,)上单一增加，有f'(x)f'(0)，2再因f'(0)sec20(102)110，再知f'(x)sec2x(1x2)0当0x时恒成立，有f(x)f(0)，12这说明函数f(x)tanx(xx3)在(0,)上单一增加，132又再因f(0)tan0(003)0，31x3)最后确定f(x)tanx(x0当0x时恒成立，31x3，证毕。2亦即，当0x2时，tanxx3⑷当x0时，1xln(x1x2)1x2。【解】令f(x)1xln(x1x2)1x2，5第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解由于f'(x)ln(x1x2)x1(1x)xx1x21x21x2ln(x1x2)x1x21x2xxx11x21x2ln(x1x2)而因f"(x)1(1x)10x21x2x11x2知函数f'(x)是增函数，即当x0时，有f'(x)f'(0)，再因f'(0)ln(0102)0，可知当x0时f'(x)0恒成立，从而知函数f(x)1xln(x1x2)1x2在[0,)上单一增加，即当x0时，有f(x)f(0)，而f(0)101020，从而，当x0时f(x)1xln(x1x2)1x20，亦即1xln(x1x2)1x2。证毕。4．证明方程x5x10在区间(1,0)内有且只有一个实根。【证明】令f(x)x5x1，则由于f'(x)5x410恒成立，知函数f(x)x5x1是增函数，由于f(1)(1)51110，f(0)050110，可知曲线f(x)x5x1在区间(1,0)内，从1单一增加到+1，亦即曲线在区间(1,0)内仅穿过x轴一次，亦即，方程x5x10在区间(1,0)内有且只有一个实根。6第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解5．求以下函数的凹凸区间以及拐点：y3x44x31；【解】函数y3x44x31的定义域为(,)，由y'12x312x2，得y''36x224x36x(x2)，知函数有两个二阶导数的零点x0和x2，33无二阶不可以导点，x2x3gg作图表解析：023y''y可知，曲线y3x44x31分别在(,0)和(2,)内是凹的，在(0,2)内是凸的，1，y(2)3(2)4(2)3133由于y(0)411，33327又知曲线y3x44x31有两个拐点(0,1)和(2,11)。327⑵可知，曲线y3x44x31分别在(,0)和(2,)内是凹的，在(0,2)内是凸33的，1【解】函数y43x94(x9)3的定义域为(,)，1225由y'(x9)3，得y''9)3，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶3(x9不可以导点x9，易见，当x9时，y''0，当x9时，y''0，可知，曲线y43x9在(,9)上是凸的，在(9,)上是凹的，由于y(9)43994，又知曲线y43x9有一个拐点(9,4)。⑶yxex；7第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解【解】函数yxex的定义域为(,)，由y'(x1)x，得y''(xxx2，无二阶e2)e，知函数有一个二阶导数的零点不可以导点，易见，当x2时，y''0，当x2时，y''0，可知，曲线yxex在(,2)上是凸的，在(2,)上是凹的，由于y(2)2e2，又知曲线yxex有一个拐点(2,2e2)。⑷yxln(1x)；【解】函数yxln(1x)的定义域为(1,)，由y'11x10恒成立，知曲线yxln(1x)是凹1x，得y"(1x)21x的，无拐点。⑸y2x；1x22x【解】函数y的定义域为(,)，1x2由y'2(1x2)x2x21x2，(1x2)2(1x2)2得y"22x(1x2)2(1x2)2(1x2)2x4x(x3)(x3)，(1x2)4(1x2)3知函数有三个二阶导数的零点x0，x3，无二阶不可以导点，xx3作图表解析：x3ggg303y''y可知，曲线y2x2分别在(,3)和(0,3)上是凸的，分别在(3,0)和1x(3,)上是凹的，8第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解由于y(0)200，y(3)233，102132又知曲线y2x有三个拐点(3,3)，(0,0)和(3,3)。1x222⑹yearctanx。【解】函数yearctanx的定义域为(,)，由y'earctanx1，1x2得y''arctanx1arctanx2xearctanx2(12x)，e(12)2e(1x2)2(12)xx知函数有一个二阶导数的零点1，无二阶不可以导点，x121时，y''0，当x时，y''0，易见，当x22可知，曲线yearctanx在(,1)上是凹的，在(1,)上是凸的，22由于y(1)arctan1arctan1e2，知曲线的拐点是(1,e2)。226．利用函数图形的凹凸性，证明以下不等式：⑴1(xnyn)(xy)n（x0，y0，xy，n1）22【证明】研究函数f(x)xn（n1），由于f'(x)nxn1，f''(x)n(n1)xn2，当x0时，f''(x)0恒成立，可知曲线f(x)xn（n1）在(0,)上是凹的，即由曲线凹凸定义，凹曲线f(x)xn在(0,)上的任意相异两点x，y，恒有f(xy)f(x)2f(y)，2亦即(xy)nxnyn，22即为1(xnyn)(xy)n（x0，y0，xy，n1）成立，229第3章中值定理与导数的应用3．4函数的单一性与曲线的凹凸性习题解证毕。⑵cosxycosxcosy（x,y(,2)）。222【证明】研究函数f(x)cosx（2x），2由于f'(x)sinx，f''(x)cosx，当x时，f''(x)0恒成立，22可知曲线f(x)cosx在(,)内是凸的，22即由曲线凹凸定义，凸曲线f(x)cosx在(2,)上的任意相异两点x，y，xyf(x)f(y)2恒有)f(2，2亦即cosxycosxcosy，22即为cosxycosxcosy（x,y(,)）成立，2222证毕。7.问a及b为何值时，点(1,1)为曲线yax3blnx的拐点？【解】函数y3)，axblnx的定义域为(0,由于y'3ax2b，y''6axb6ax3b，xx2x2得函数有一个二阶导数零点x3b，无二阶不可以导点，6a于是，要使点(1,1)为曲线yax3blnx的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线3b1a16a上的点的要求，应使，亦即b。1a13bln168．试确定曲线yax3bx2cxd中的a，b，c，d，使得在x2处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上．【解】函数yax3bx2cxd的定义域为(,)，由于y'3a