大一上学期微积分期末试卷

微积分期末试卷兀、.设/(x)=2cosx,g(x)=(—)sinx在区间(0,，)内()。2Af(x)是增函数，g(x)是减函数Bf(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数口二者都是减函数2、x.0时，e2x-cosx与sinx相比是()A高阶无穷小 B低阶无穷小C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)：的()A连续点 B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()1 n冗AX=(-1)n-— BX=sinn-n n n211CX二一(a>1)DX=cos—5、布"(x)在X0处取得最大值，则必有()Af，(X)=o Bf，(X)<oCf，(X0)=0>f,'(X0)<0 Df''(X0)不存在或f'(X0)=06、曲线y=xe(x2)( )A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1、( )=-^―dxx+12、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=1相切。这条直线方程为:x2x3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=3x的拐点为：5、若lim—:0a+b=2,则a,b的值分别为：x-ix2+2x-3X“一一1In|x+1|； 2y=x3-2x2；3y=l.og^^--,(0,1),R；4(0,0)(x-1)(x+m) x+m1+m.lim =lim = =25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+3 4m=7b=—7,a=6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、lims吧在区间(-如+8)是连续函数()xf0x3、f"(x0)=0一定为f(x)的拐点()4、若f(X)在x0处取得极值，则必有f(x)在x0处连续不可导()5、设函数f(x)在 [0,1] 上二阶可导且f'(x)<0令A=f'(0),B=f'(1),C=f(1)-f(0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题-11用洛必达法则求极限limx2ex2xf0TOC\o"1-5"\h\z-1 .1ex2 ex2(-2x-3) 1，一解：原式=lim--=lim =limex2=+8xf0xf0-2x-3 xf0x22若f(x)=(x3+10)4,求"(0)解：f'(x)=4(x3+10)3•3x2=12x2(x3+10)3f"(x)=24x•(x3+10)3+12x2・3•(x3+10)2•3x2=24x•(x3+10)3+108x4(x3+10)2・•.f"(x)=03求极限lim(cosx)x2xf0

一一, 4T 4,解：原式=limeW历cosx=ex—0x21ncosxx—04 Incosx♦・lim_Incosx=limx—0x21,•、(-sinx)二limcosx4 Incosx♦・lim_Incosx=limx—0x21,•、(-sinx)二limcosxx—0 x2=limx—0一tanx=lim」=-2x—0x2原式=e-24求y=(3x-1)；：史」的导数x-2解：In\y\=31n|3x-1|+—In3 211x-1—-Inx21x—2-2151x—1y=(3x-1)3x-213x-12(x-1)2(x-2)』tan3xdx5解：原式二Jtan2xtanxdx=J(sec2x-1)tanxdxJsec2xtanxdx-Jtanxdxsinxtanxdtanx-cosxJJ1tanxdtanx- cosxdxdcosx=2tan2x+In|cosx|+c求』xarctanxdx解：原式=2Jarctan%d(%2)=1(%2arctan%-J%2darctan%)22_1 %2+1-1,、=_(%2arctan%- d%)2 1+%2%2arctan%-J(1--1—)d%1+%21+%2 %=arctan%-_+c四、证明题。1、证明方程入3+%-1=0有且仅有一正实根。证明：设f(%)=%3+%-1・・・f(0)=-1<0,f(1)=1>0,且(%)在[0,1]上连续至少存在自£(0,1),使得@=0即f(%)在(0,1)内至少有一根，即f(%)=0在(0,+8)内至少有一实根假设f(%)=0在(0,+8)有两不同实根X],%2,%2f(%)在[%,%]上连续，在(%,%)内可导且f(%)=f(%)=0二.至少亚£(%,%)，S•tf化)=0而无)=312+1>1与假设相矛盾...方程%3+%-1=0有且只有一个正实根2、证明arcsin%+arccos%=上(-1<x<1)2证明：设/(%)=arcsin%+arccos%1f(%)二,J1-%2, =1f(%)二,J1-%2V：1-%2，f(%)=c=f(0)=arcsin0+arccos0^ 兀f(1)=arcsin1+arccos1=一2^ 兀%4-1,1]f(-1)=arcsin(-1)+%4-1,1]二.综上所述，f(%)=arcsin%+arccos%='，五、应用题1、描绘下列函数的图形01y=X2+—X解：1.Dy=(-8,0)u(0,+8)2.y'=2x--=X2y”=2+—X3令y"=0,得X=—13.X(-8尸1)-1(-1Q)0(0,汨)(恒网)Y不存在.+Y”+0++y、凹据点(-1,D)/凸'凹极小/凹-7 1 7…入94.补充点(-2,-).(--,--).(1,2).(2,-)5limf(x)=8,:.f(x)有铅直渐近线X=0x—02.讨论函数f(X)=x2-Inx2的单调区间并求极值解：Df(x)=R2 2(x—1)(x+1),f(x)=2x--=