平行四边形的单元测试卷

平行四边形的单元测试卷平行四边形的单元测试卷/NUMPAGES39第39页（共39页）平行四边形的单元测试卷平行四边形的单元测试卷平行四边形的单元测试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．55° B．65° C．75° D．85°2．（3分）若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）A．22 B．26 C．22或26 D．283．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（）A． B． C． D．4．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2 B．3 C． D．5．（3分）如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1+∠3=（）A．90° B．100° C．130° D．180°6．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直7．（3分）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，点P在菱形内，若PB=PD=4，则∠PDC的度数为．10．（3分）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．14．（3分）如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为．15．（3分）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=．16．（3分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．18．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．19．（8分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF．（1）求证：DE=AF；（2）求∠AOE的度数．20．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：BD=AF；（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．22．（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．23．（8分）已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．

平行四边形的单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2017•钦州一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．55° B．65° C．75° D．85°【分析】如图，连接BF，想办法求出∠CBF=75°，再证明△BCF≌△DCF（SAS），即可解决问题．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×70°=35°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=35°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=110°﹣35°=75°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=75°，故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（3分）（2017•临沂模拟）若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（）A．22 B．26 C．22或26 D．28【分析】根据AD∥BC，理解平行线的性质，以及角平分线的定义，即可证得∠ABE=∠AEB，利用等边对等角可以证得AB=AE，然后分AE=3cm，DE=5cm和AE=5cm，DE=3cm两种情况即可求得矩形的边长，从而求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC又∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．当AE=3cm，DE=5cm时，AD=BC=8cm，AB=CD=AE=3cm．∴矩形ABCD的周长是：2×8+2×3=22cm；当AE=3cm，DE=2cm时，AD=BC=8cm，AB=CD=AE=5cm，∴矩形ABCD的周长是：2×8+2×5=26cm．故矩形的周长是：22cm或26cm．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．3．（3分）（2017•平南县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为（）A． B． C． D．【分析】连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=，再由△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，即可得出结果．【解答】解：连接EF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，∵点E为AD中点，∴AE=DE=1，∴BE===，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴BE=CE=，∵△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，∴BC×AB=BE×FG+CE×FH，即BE（FG+FH）=BC×AB，即（FG+FH）=2×3，解得：FG+FH=；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．4．（3分）（2017•和县一模）如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2 B．3 C． D．【分析】连接AC，易得△ACF是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AC，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°．∵EF⊥AE，EF=AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF=45°，∴∠CAF=90°．∵AB=BC=2，∴AC==2．∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，∴AF==3，∴CF===．∵M为CF的中点，∴AM=CF=．故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（3分）（2017春•句容市月考）如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1+∠3=（）A．90° B．100° C．130° D．180°【分析】根据三角形的外角和为360°列出方程即可解决问题．【解答】解：∵正方形的内角为90°，等边三角形的内角为60°，又∵△ABC的外角和为360°，∴（∠1+90°）+（∠2+60°）+（60°+∠3）=360°，∵∠2=50°，∴∠1+∠3=100°，故选B．【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角和定理等知识，解题的关键是利用三角形外角和等于360°列出方程解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）（2016•无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．故选：C．【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．7．（3分）（2016•河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°【分析】首先根据平移的性质得出ACED，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ACED，∴四边形ACDE为平行四边形，当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出ABCD是解题关键．8．（3分）（2016•遵义）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选C．【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．（3分）（2017春•南岗区校级月考）在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，点P在菱形内，若PB=PD=4，则∠PDC的度数为90°或30°．【分析】分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形可得BD=AB=4，OB=OD=BD=2，∠ADO=60°，再利用三角函数值可得∠PDO=30°，进而可得答案．【解答】解：设AC和BE相交于点O．当P在OA上时，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=4，OB=OD=BD=2，∠ADO=60°，∴cos∠PDO==，∴∠PDO=30°，∴∠ADP=60°﹣30°=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠ADC=180°﹣60°=120°，∴∠PDC=120°﹣30°=90°，当P在OC上时，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC，∴△DBC是等边三角形，∴∠BDC=60°，∵∠PDO=30°，∴∠PDC=30°，故答案为：90°或30°．【点评】本题考查了菱形的性质，注意到P在AC上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．10．（3分）（2016•杭州）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为45°或105°．【分析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°，∵ED=EB，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′=30°，∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或45°，故答案为105°或45°．【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．11．（3分）（2016•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．12．（3分）（2016•成都）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．13．（3分）（2016•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．【解答】解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，易知P2是AD的中点，BC=BP1=BP2=CP2=CP3∴BP2==，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．14．（3分）（2016•泰安）如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为．【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴BD==10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴△BOF∽△BCD，∴=，即=，解得，BF=，则OF==，则△BOF的面积=×OF×OB=，故答案为：．【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．15．（3分）（2016•茂名）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=2．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵对角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．16．（3分）（2016•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2016•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．【分析】（1）先连接对角线AC和BD，相交于点O，再连接EO并延长交CD于F；（2）先连接AC和ED相交于点O，再连接BO并延长交AD于点G．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【点评】本题考查的是作图的应用，掌握菱形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．18．（6分）（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．19．（8分）（2017•永仁县一模）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF．（1）求证：DE=AF；（2）求∠AOE的度数．【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再证明△ADF≌△DCE即可解决问题．（2）根据平角的定义即可解决．【解答】（1）证明：在△ABE和△BCF中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC=CD，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（HL），∴BE=CF，∵BC=CD，∴EC=DF，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴DE=AF．（2）∵∠AOE是平角，∴∠AOE=180°．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（8分）（2017•长安区一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD．（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由．【分析】（1）首先证明OE是△ABC的中位线，推出OE∥BC，由EF∥OB，推荐可提出四边形OBFE是平行四边形．（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．只要证明∠EOB=90°即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又∵点E是边AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC，又∵点F在CB的延长线上，∴OE∥BF．∵EF∥BD，即EF∥OB，∴四边形OBFE是平行四边形．（2）当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．理由：由（1）可知四边形OBFE是平行四边形，又∵AD⊥BD，AD∥BC，且点F在BC的延长线上，∴FC⊥BD，∴∠OBF=90°，∴四边形OBFE是矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．21．（8分）（2017•蓝田县一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：BD=AF；（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，即可得出结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴BD=AF；（2）解：四边形ADCF是菱形；理由如下：由（1）知