平面向量基本定理及坐标表示22832

平面向量基本定理及坐标表示22832平面向量基本定理及坐标表示22832/NUMPAGES30平面向量基本定理及坐标表示22832平面向量基本定理及坐标表示22832平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. (×)(2)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为∠ABC. (×)(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ((4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示. (√)(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2). (×)(6)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(eq\f(1,2)，1＋sinθ)，若a∥b，则θ等于45°. (×)2.已知点A(6,2)，B(1,14)，则与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为________.答案(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13))或(eq\f(5,13)，－eq\f(12,13))解析因为点A(6,2)，B(1,14)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－5,12)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为±eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝±eq\f(1,13)(－5,12)＝±(－eq\f(5,13)，eq\f(12,13)).3.已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4)，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，则λ的值为________.答案eq\f(2,3)解析过C作CE⊥x轴于点E(图略).由∠AOC＝eq\f(π,4)，知OE＝CE＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝eq\f(2,3).4.在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标为__________.答案(－3，－5)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5).5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝________.答案eq\f(1,3)解析∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).题型一平面向量基本定理的应用例1在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，试求t的值.思维启迪根据题意可选择eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))为一组基底，将eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))线性表示出来，通过eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))键立关于t的方程组，从而求出t的值.解∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，∴2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示.∵A，M，Q三点共线，∴设eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(x,2)－1)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，由已知eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))可得，eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(x,2)－1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝t(eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3),\f(x,2)－1＝－t))，解得t＝eq\f(3,4).思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解.

如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________.答案eq\f(3,11)解析设|eq\o(BP,\s\up6(→))|＝y，|eq\o(PN,\s\up6(→))|＝x，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(x,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))， ①eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,x＋y)eq\o(BN,\s\up6(→))， ②①×y＋②×x得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(x,x＋y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(y,4x＋y)eq\o(AC,\s\up6(→))，令eq\f(y,4x＋y)＝eq\f(2,11)，得y＝eq\f(8,3)x，代入得m＝eq\f(3,11).题型二平面向量的坐标运算例2已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，(1)求eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)设eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，求eq\o(MN,\s\up6(→))及M、N点的坐标.思维启迪(1)直接计算eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标.解(1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3－2,2－1)＝(1,1)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1)＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6).(2)∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))－3eq\o(CA,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，由A、B、C、D点坐标可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10).设M(xM，yM)，N(xN，yN).又eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴(xM，yM)－(3,2)＝3[(1，－2)－(3,2)]＝(－6，－12).∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10).又eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(xN，yN)－(3,2)＝－2(1,1)，∴xN＝1，yN＝0，∴N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴M(0,20).又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18).题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________.(2)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2,2－y＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))，故点D的坐标为(2,4).(2)依题意得a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)，又∵(a－c)∥b，故eq\f(3－k,1)＝eq\f(－6,3)，∴k＝5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝_______.(2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.答案(1)eq\f(1,2)(2)m≠eq\f(1,2)解析(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝eq\f(1,2).(2)因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－m－1，－m).由于点A、B、C能构成三角形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，而当eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线时，有eq\f(3,－m－1)＝eq\f(1,－m)，解得m＝eq\f(1,2)，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠eq\f(1,2).

方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.一、填空题1.(2012·广东改编)若向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－2，－4)解析由于eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(4,7)，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4).2.在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－6,21)解析eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up6(→))－3eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21).3.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________.答案eq\f(1,2)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).4.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.答案eq\f(2,3)eq\f(1,3)解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).5.已知A(－3,0)，B(0，eq\r(3))，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，则实数λ的值为________.答案1解析由题意知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,eq\r(3))，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq\r(3))，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，∴tan150°＝eq\f(\r(3),－3λ)，即－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3λ)，∴λ＝1.6.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________答案eq\f(1,2)解析因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).7.(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.答案eq\f(1,2)解析如图，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，λ1＋λ2＝eq\f(1,2).8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.答案60°解析因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，结合余弦定理知，cosC＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.二、解答题9.已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b).(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标.解(1)由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1).∵A、B、C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝4,b－1＝－4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝－3))，∴点C的坐标为(5，－3).10.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(1)设eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，将eq\o(OG,\s\up6(→))用λ，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))表示；(2)设eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))，证明：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)是定值.(1)解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→)).(2)证明一方面，由(1)，得eq\o(OG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－λ)xeq\o(OA,\s\up6(→))＋λyeq\o(OB,\s\up6(→))；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)).②而eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，∴由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝3(定值).备用题1.设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________.答案(－4，－2)解析∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ).由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2，故a＝(－4，－2).2.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________.答案8解析据已知得eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋b,a)＋eq\f(4a＋2b,b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是8.3.已知△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，则r＋s的值是________.答案0解析∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，∴r＝eq\f(2,3)，s＝－eq\f(2,3)，∴r＋s＝0.4.已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，则实数a＝________.答案2解析设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x,y－1＝24－y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝3)).∴C(3,3).又∵C在直线y＝eq\f(1,2)ax上，∴3＝eq\f(1,2)a·3，∴a＝2.5.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是________.(填序号)①C可能是线段AB的中点；②D可能是线段AB的中点；③C，D可能同时在线段AB上；④C，D不可能同时在线段AB的延长线上.答案④解析依题意，若C，D调和分割点A，B，则有eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.若C是线段AB的中点，则有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,