《数学分析》第二章-极限数列

第二章数列极限§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3

数列极限存在的条件§2.1数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法一、概念的引入引例

1如何用渐近的方法求圆的面积S？

用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1

A2

A3

A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,

,

.

显然n越大,An越接近于S.

因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念

例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限（c11(k)）其长度组成的数列为

,024681000.20.40.60.81随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。

数列极限的演示数列极限的演示●●数列极限的演示数列极限的演示●●●●●●●●●●●●●●●●目标不惟一！！！！！！！！！！！！例如

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:当n无限增大时,

xn无限接近于a

.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析

因此,如果

n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,

xn无限接近于常数a.

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则数列{xn}收敛a.

下页>>>数列极限的精确定义

设{xn}为一数列

如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N

时

不等式|xna|<e

总成立

则称常数a是数列{xn}的极限

或者称数列{xn}收敛于a

记为

如果不存在这样的常数a

就说数列{xn}没有极限

0,NN

当nN时

有|xna|.极限定义的简记形式如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn

与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn

逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。

③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn

以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n

＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn

＞

N④定义中的不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：分析:

例1

证明

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0,NN

当nN时

有|xna|.利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：

①放大后的式子较简单

②放大后的式子以0为极限例

2证明证明则当n

＞N时，有例3.证明分析，要使（为简化，限定n只要证.当n>N时有由定义

适当予先限定n＞n。是允许的！但最后取N时要保证n＞n。.

例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有例5证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定

寻找N,但不必要求最小的N.例6证例7证由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：2适当放大

，通常放大成

的形式，求出需要的

1

化简

3解

总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。四收敛的否定:

＞数列发散

＞＞＞五数列极限的记註:1满足条件“”的数列:。2

改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.

重排不改变数列敛散性:3数列极限的等价定义:

对

对任正整数六无穷小数列:

定义极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）

命题1.的极限为n<=>是无穷小量.

变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。命题2无穷小量加绝对值仍为无穷小量。

命题3无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。命题4小结

(1),数列极限的定义;

(2),数列极限的几何意义;

(3),应用数列极限的定义证明数列极限的方法.作业

P27:1,2,3,5.§2.2收敛数列的性质1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性7、子数列的收敛性1、唯一性定理2.2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2、有界性例如,有界无界定理2.3收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3保序性从而

定理2.6(收敛数列的保号性)

如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)

那么存在正整数N

当nN时有xn0(或xn0)推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)

且数列{xn}收敛于a

那么a0(或a0)4保号性

这说明若数列收敛且极限不为零，则当n充分大时，与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到.证5迫敛性(双逼原理)上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹逼定理得6绝对值收敛性:

(注意反之不成立

).

推论

设数列{}和{}收敛,则

7数列极限的四则运算法则定理2.8

设有数列{xn}和{yn}

如果那么例4求例4求解：分a=1，

|a|<1，|a|>1

三种情况

解：（分子有理化）例3求8、子数列的收敛性注意：例如，定理7收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．例4对于数列xn

证此时有此时有总之：恒有Th(数列收敛充要条件){}收敛

{Th(数列收敛充要条件){}收敛

子列{}和{收敛于同一极限.}的任何子列收敛于同一极限.}Th(数列收敛充要条件){}收敛

子列{}、{}都收敛.和{思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为小结

(1),唯一性;

(2),有界性;

(3),保号性;

作业

P33:1,2,3,4,6.

(4),四则运算法则;

(5),不等式性;

(6),收敛数列与其子列的关系.§2.3数列极限存在的条件

一数列收敛的一个充分条件——单调有界原理

二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则三关于极限

四数列单调有界证法欣赏

一单调有界原理定义称为单调上升的，若称为单调下降的，若

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

提问:

收敛的数列是否一定有界？

有界的数列是否一定收敛？M定理1(单调有界定理)

单调有界数列必有极限

定理1的几何解释x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以单调增加数列为例

数列的点只可能向右一个方向移动

或者无限向右移动

或者无限趋近于某一定点A

而对有界数列只可能后者情况发生

数列极限存在的条件数列极限存在的条件定理1(单调有界定理)

单调有界数列必有极限

证明

例1设证明数列{}收敛.例2

例3

(n重根号),···证明数列单调有界,并求极限.求(计算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘···,例4

1）证明序列的极限存在；2）求极限解

1）因时有所以即有这表明序列有下界。又故序列下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是或2）因所以又即得例2证(舍去)二数列收敛的充要条件——Cauchy收敛准则1