2021学年新教材高中数学1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学案含解析人教A版必修一

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？1．空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系2.空间向量的坐标表示空间直角坐标系中A点坐标在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up8(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up8(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.()(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0. ()(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反． ()[提示](1)×(2)×(3)√2．已知i，j，k是空间直角坐标系O­xyz的坐标向量，并且eq\o(AB,\s\up8(→))＝－i＋j－k，则B点的坐标为()A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定D[向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}为基底，则eq\o(AC1,\s\up8(→))＝________，eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐标是________．eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))(1,1,1)[若以{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}为基底，∵eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))∴eq\o(AC1,\s\up8(→))的坐标为(1,1,1)．]求空间点的坐标【例1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．[思路探究]将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标．[解](1)显然D(0,0,0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，则C1C的中点N为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点x轴上(x,0,0)xOy平面上(x，y,0)y轴上(0，y,0)yOz平面上(0，y，z)z轴上(0,0，z)xOz平面上(x,0，z)坐标原点(0,0,0)[跟进训练]1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．[答案]Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))求对称点的坐标【例2】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，－b，－c)y轴(－a，b，－c)z轴(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐标原点(－a，－b，－c)2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).[跟进训练]2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．(－3，－2，－1)(3，－2，－1)(5,2,3)[点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－3,2)＝1,\f(y＋2,2)＝2,\f(z－1,2)＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝2,z＝3.))故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]空间向量的坐标表示[探究问题]1．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？[提示]分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a，b，c)，则eq\o(BA,\s\up8(→))的坐标是多少？[提示]eq\o(BA,\s\up8(→))＝(－a，－b，－c)．【例3】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标．[思路探究]以点C为原点，分别以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分别用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐标为(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐标为(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．[变条件]本例中，若把条件“AA1＝2”改为“AA1＝1”，结果怎样？[解]建系方式与例题相同，建系，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，因为{eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))}为单位正交基底，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2))).又eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,1)．所以eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(－1,1，－1)．用坐标表示空间向量的步骤[跟进训练]3.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(B1F,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))的坐标．[解](1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up8(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝(0,2，－1)．1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．1．设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是()A．(1,1，－1) B．(－1，－1，－1)C．(－1，－1,1) D．(1，－1,1)B[由条件知，P1(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点为(－1，－1，－1)．]2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up8(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝5k，则向量eq\o(AC1,\s\up8(→))在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(1,1,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(1,5)))C．(3,2,5) D．(3,2，－5)C[eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))＝3i＋2j＋5k，∴向量eq\o(AC1,\s\up8(→))在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．]3．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，则AB的中点M的坐标为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(3,2)))[AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋1,2)，\f(2－3,2)，\f(2＋1,2)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－