2021届四川省遂宁市高三上学期第一次诊断性数学(理)试题(解析版)

2021届四川省遂宁市高三上学期第一次诊断性数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．或【答案】C【分析】分别求解指数不等式和二次不等式得集合，再求补集和交集即可.【详解】因为，，所以．故选：C.2．若，则复数在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用复数乘除运算及复数相等的条件求出a，b值即得.【详解】因为，所以，即：，根据复数相等的条件得，解得，所以所对应的点(-2，-1)在复平面内位于第三象限．故选：C3．若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用诱导公式求，再结合消去，即求得结果.【详解】因为，所以，所以，代入，解得．故选:A.4．已知直线是圆在点处的切线，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出切线方程，对斜率k是否存在进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线l：，此时，圆心到直线的距离为3<5,不合题意；当直线的斜率存在时，可设直线l：，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：，所以直线l：，即.故选：D【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种:（1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径；（2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0．5．如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则()A． B． C． D．【答案】B【分析】选定基向量，利用复数线性运算计算出，再由平面向量基本定理而得.【详解】中，不共线，点D在BC上，则，存在唯一实数t使，因为为的中点，，而，所以，所以.故选：B6．居民消费价格指数，简称)是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标.根据下面给出的我国2019年9月-2020年9月的居民消费价格指数的同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)增长和环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)增长情况的折线图，以下结论正确的是（）

A．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势【答案】D【分析】根据环比增长折线图可判断选项A、B，根据同比折线图可判断选项C、D即可得正确选项.【详解】对于选项A：由环比增长折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项A不正确；对于选项B：由环比增长折线图可知2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先上升再下降再上升，故选项B不正确；对于选项C：由同比折线图可知2020年1月到9月的居民消费价格指数均高于2019年同期水平，故选项C不正确；对于选项D：由同比折线图可知2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势故选项D项正确．故选：D.7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有（）A．120 B．96 C．48 D．24【答案】B【分析】首先求出甲的派遣方法，再考虑其余4人的安排方法，再根据分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：根据题意，甲有4种派法，其余4人共有种派法，于是共有种派遣方法．故选：B8．函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】从各项图象的区别，确定先判断函数奇偶性(对称性)，再求导研究的符号,判断单调性即可.【详解】，是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项AB.当时，，则，由，，故存在使得，即函数在区间上不单调，排除D.故选：C.【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据双曲线离心率的公式，结合双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由离心率，解出；由，所以渐近线方程为，焦点坐标为．所以焦点到渐近线的距离为．故选：B10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为（）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用平移变换得出，再由对称轴的性质得出，，结合得出的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象对应的函数为因为函数的图象的一条对称轴是直线所以，解得，，又所以当时，取最小值，为故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合得出的最小值.11．定义在上的偶函数满足，则（）A．-3或4 B．-4或3 C．3 D．4【答案】D【分析】由题知，进而得的图象关于直线对称，再结合偶函数性质得是以4为周期的周期函数，由于时，，故，进而.【详解】由，得，则的图象关于直线对称，于是，故的一个周期为4，由，令得，，解得或（负值舍去），所以．故选：D.【点睛】本小题主要考查函数性质等基本知识；考查抽象概括、逻辑推理、运算求解能力及应用意识；考查化归与转化等数学思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得的图象关于直线对称，进而得函数的周期.12．如图，已知四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为上一点，且平面，则三棱锥体积最大值为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得三棱锥体积的表达式，然后利用基本不等式求得体积的最大值.【详解】由题意，平面平面，得；由平面，有；因为,从而平面，所以，所以．令，，则．所以，其中“”当且仅当时取得．故选：A二、填空题13．若，满足约束条件，则的最大值为________.【答案】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】约束条件表示的可行域如图所示，表示的可行域是以，，三点为顶点的三角形及其内部，目标函数表示斜率为纵截距为的直线系，当目标函数过点时，直线的纵截距最大，函数取得最大值，且最大值为．故答案为：【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系为参数)；（6）观察图形，找到直线为参数)在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．2021年第届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________．【答案】【分析】由于甲队获胜与乙队不输为对立事件，从而可求出答案；或乙队不输包括乙队获胜和甲、乙两队打平，分别求出这两个事件的概率，再求和即可【详解】方法一设事件为“这次比赛乙队不输”，则事件为“这次比赛甲队获胜”，因为甲队获胜的概率，所以这次比赛乙队不输的概率．方法二设事件为“这次比赛乙队不输”，事件为“这次比赛乙队获胜”，事件为“这次比赛甲、乙两队打平”，所以，，所以这次比赛乙队不输的概率．故答案为：15．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行﹔②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；③设为平面，若，则；④设为平面，若，则．其中所有正确命题的序号为_______________________．【答案】①②④【分析】由线面垂直的性质可判断①；由线面平行的性质和线面垂直的性质可判断②；举出反例可判断③；由面面平行的性质可判断④.【详解】根据线面垂直的性质知命题①正确；由线面平行的性质和线面垂直的性质知命题②正确；由下图知命题③不正确；由面面平行的性质知命题④正确．故答案为：①②④.16．设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．【答案】【分析】令，，利用导数求得函数单调性与最大值，画出两个函数的图象，结合图象，即可求解.【详解】当，函数在上单调递增，且时，，时，，所以不可能存在唯一的整数，使得，所以不符合题意，当时，由于，所以，令，，其定义域为，则，令，即，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值，又由、，当时，画出函数的大致图像，又由函数的图像是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），过点的直线介于、之间时满足条件，直线过点时，的值为2；该直线过点时，的值为，由图知的取值范围是．故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.三、解答题17．在数列中，，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）利用定义法证明等比数列，直接求出通项公式；（2）用错位相减法求和.【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，①，②由①-②得，即，所以.【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．18．在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分100分）.体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图.（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.良优合计男40女40合计（2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为和的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡.若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为的顾客获得纪念品数为随机变量，求的分布列和数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，能；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据题意，评分为“良”的有人，进而完成列联表，计算，进而得答案；（2）由题知随机抽取的6人中评分为有2人，评分为有4人，进而根据超几何分布求解即可；【详解】(1).根据题意，评分低于80分的有人，即评分为“良”的有人，所以列联表如下：良优合计男202040女204060合计4060100由题得，所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关.（2）由已知得体验度评分为和的顾客分别有10人，20人，则在随机抽取的6人中评分为有2人，评分为有4人.则可能的取值有0,1,2.，，，则的分布列为012所以，.【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样，超几何分布，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意进行数据处理，分析频率分布直方图中的数据特征，完成列联表，进而根据分层抽样，超几何分布求解.19．如图，在平面五边形中，，，．

（1）求的值；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）在中，由正弦定理求出，进而可以解；（2）先用余弦定理求出，再用面积公式即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得所以因为所以为锐角，所以.所以，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，所以.所以.20．如图，在四棱锥中，，平面，.（1）证明：是正三角形；（2）若平面，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由已知得，，，可得答案；（2）以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量由向量数量积公式可得答案.【详解】（1）由已知，平面，平面，平面，所以，，，又，，所以，，，则，所以是正三角形.（2）因为，平面，于是，可以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由平面，易知，又，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的一个法向量为，所以，，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的性质、向量法求二面角的平面角的余弦值问题，关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象能力和计算能力.21．已知函数.（1）当时，若的一条切线垂直于轴，证明：该切线为轴.（2）若，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题知，进而得，故设切点为，则，即：，此时，进而得切线方程.（2）由题得对于恒成立，令，进而研究函数的单调性得当，为减函数；，为增函数，且，即，进而得，故的取值范围是.【详解】（1）证明：由题可知，则，设切点为，则由得，则，即，则有，所以所求切线为，即为轴.（2）因为，其中，则对于恒成立，令，则，即，令，则，其中，则为的增函数，又因为，，所以存在，使得，即，而，又由于为的增函数，故，即，又，，为减函数；，，为增函数，所以，故的取值范围是.【点睛】本题考查导数的几何意义，独立参数解