2021届安徽省安庆市高考数学模拟试卷(理科)(二模)(解析版)

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷（理科）（二模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B． C． D．23．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．204．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，+∞） D．（2，+∞）5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．36．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C． D．7．设{an}是等比数列，前n项和为Sn，若＝，则＝（）A． B． C． D．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣π C．ω＝2，φ＝π﹣4 D．ω＝2，φ＝4﹣π9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．210．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A． B． C． D．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（共4小题）.13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}满足a1＝，n（n+1）anan﹣1+（n+1）an﹣nan﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）an2}的前n项和Sn.证明：≤Sn＜1．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，常数r＞0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15＝0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r＝1，过曲线C1上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式：f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x2+m在[0，3]上恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|﹣a＜x≤a+3}，若A∩B＝A，则a取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（2，+∞）解：由A∩B＝A知A⊆B，故，解得a≥1．故选：C．2．设复数z＝1+i（i是虚数单位），则|z2+|＝（）A．1 B． C． D．2解：因为，所以，故选：B．3．从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8 B．12 C．16 D．20解：由题设知不同的选法可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有种，根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种，故选：C．4．设函数f（x）＝2x﹣2﹣x+x3，则使得不等式f（2x﹣1）+f（3）＜0成立的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，+∞） D．（2，+∞）解：由函数解析式知函数f（x）是定义在R上的奇函数和单调递增函数，原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣3），∴2x﹣1＜﹣3，解得x＜﹣1，∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．5．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．3解：画出线性约束区域，所以当直线经过b（3.0）点时，目标函数z＝x﹣2y有最大值，最大值为3．故选：D．6．已知sin（）＝sinαtan﹣1，则tanα＝（）A．﹣2 B．2 C． D．解：因为，所以．因为，所以sinα+cosα＝﹣cosα，即sinα＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，故选：A．7．设{an}是等比数列，前n项和为Sn，若＝，则＝（）A． B． C． D．解：设等比数列{an}的公比为q，由可得：S4＝4S2，整理得：a3+a4＝3（a1+a2），即，解得：q2＝3，∴，故选：B．8．已知函数y＝cos（ωx+φ）的图象如图所示，其中ω为正整数，|φ|＜2，则（）A．ω＝1，φ＝π﹣2 B．ω＝1，φ＝2﹣π C．ω＝2，φ＝π﹣4 D．ω＝2，φ＝4﹣π解：由图象知＜2＜，∴＜2＜，∴＜ω＜，∵ω为正整数，∴ω＝2，∴y＝cos（2x+φ），把点（2，﹣1）代入y＝cos（2x+φ）得，cos（4+φ）＝﹣1，则4+φ＝2kπ+π，所以φ＝2kπ+π﹣4，k∈Z，∵|φ|＜2，∴φ＝π﹣4．故选：C．9．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，则＝（）A．9 B．4 C．3 D．2解：由题意可知，直线AB的方程为，代入y2＝2px，整理得．设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），因为点A位于x轴上方，所以，，所以，故选：C．10．《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝，台体的体公式为V＝（S++S′），其中S、S′分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A． B． C． D．解：设“方亭”的上底面边长为a，下底面边长为b，高为h，则，，，∴．故选：A．11．已知||＝||＝2，且，的夹角为60°，若向量||≤1，则的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣2] C．[0，2] D．[0，4]解：解法1：取，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量的夹角为θ，由图可知，θ取值范围为；，由于为向量在向量上的投影，且．故的取值范围是[0，4]．解法2：不妨设，，．因为，所以（x﹣2）2+y2≤1，设x＝2+rcosα，y＝rsinα，0≤r≤1，α∈R，所以，由于，故．故选：D．12．对任意x∈[，e2]，使得不等式（lnx﹣k）x＞3lnx成立的最大整数k为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1解：由题意知（lnx﹣k）x＞3lnx，有k＜，，令，则，令ϕ（x）＝3lnx+x﹣3，易知其单调递增，因为φ（2）＝3ln2﹣1＞0，φ（）＝3ln﹣＝3ln＜0，所以存在，使得ϕ（x0）＝3lnx0+x0﹣3＝0，因此在单调递减，在单调递增，＝，所以最大整数k为﹣1，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．解：∵，∴，则f'（0）＝＝1，∴曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．14．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为0.35n．解：由题意，μ＝40，则X～N（40，σ2），由P（30≤X≤50）＝0.3，可得P（X＞50）＝＝0.35，故累计时长超过50小时的人数大约有0.35n人．故答案为：0.35n．15．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为G．连接F1G，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝，则双曲线C的离心率为．解：已知焦点F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0），其中．根据对称性，不妨设点G在渐近线上，则直线F2G的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得c2＝2a2，故．故答案为：．16．钝角△ABC的面积是，AC＝2，BC＝3，角A的平分线交BC于点D，则AD＝．解：由，得，若角C为锐角，则，此时AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BCcosC＝10，即，由于AB＞BC＞AC，则△ABC为锐角三角形，不符合题意．故C为钝角，此时，AB2＝AC2+BC2﹣2AC⋅BCcosC＝16，故AB＝4．在△ACD中，由正弦定理得，同理，在△ABD中，，而在△ABC中，，由于∠CAD＝∠BAD，故，由于BC＝3，故CD＝1，所以AD2＝AC2+CD2﹣2AC⋅CDcosC＝6，所以．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}满足a1＝，n（n+1）anan﹣1+（n+1）an﹣nan﹣1＝0，n≥2，n∈N．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）设数列{（2n+1）an2}的前n项和Sn.证明：≤Sn＜1．【解答】证明：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列；……………（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，，∴．所以．……………18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，O1是其中心，侧面BCC1B1是正方形，O2是其中心．（Ⅰ）判断直线O1O2与直线AA1的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体A1ABC是正四面体，求平面BCC1B1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接AD，A1D1，DD1，根据棱柱的性质可得，，，所以，所以四边形ADD1A1是平行四边形，所以O1O2⊂平面ADD1A1．因为O1O2与DD1相交，所以O1O2与AA1相交．……………（Ⅱ）解：因为四面体A1ABC是正四面体，O1是△ABC的中心，所以A1O1⊥平面ABC，AO1⊥BC．所以以O1为坐标原点，，方向分别为x轴，z轴正方向，|AB|为单位长度，建立空间直角坐标系O1﹣xyz．易得，B，C，A1，B1，C1，O2．所以，，，所以，，故是平面BCC1B1的法向量．又是平面ABC的法向量，，设平面BCC1B1与平面ABC所成的锐二面角为θ，则．……………19．某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的A、B、C、D四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题A、B、C、D顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；（Ⅱ）用X表示小强同学答题结束时的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．解：（Ⅰ）小强同学前三道题都答对的概率．（Ⅱ）X可能取6，7，9，10，11，14，16，17，18，19．答题得分情况如下：初始分ABCD累计得分能否通过比赛对错得分（1分）对错得分对错得分对错得分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否∴随机变量X的分布列为：X67910111416171819P（Ⅲ）小强同学能通过比赛的概率为：．20．设F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知△PF1F2的面积为，cos∠F1PF2＝﹣．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与PF2平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设|F1F2|＝2c，则△PF1F2的面积等于，所以．①由cos2∠OPF2＝，即，得．因为在直角△OPF2中，|OP|＝b，|OF2|＝c，，所以，所以．②由①②及a2＝b2+c2，得，b＝1，，所以椭圆C的标准方程为．……………（Ⅱ）因为直线PF2的斜率为，所以可设直线l的方程为，代入，整理得．由△＝，得m2．设，，则，．若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则，即，得，所以，得．因为＜，所以．所以存在满足条件的直线l，方程为或．…………21．已知函数f（x）＝x2+x﹣ln（ax+b），a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a＝1，b＝0时，求证：f（x）＞；（Ⅱ）若f（x）≥x2恒成立，求ab的最大值．解：（Ⅰ）证明：当a＝1，b＝0时，f（x）＝x2+x﹣lnx，所以，x＞0，所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，所以当且仅当时，f（x）有最小值，因为，f（）﹣＝﹣+ln2＝（ln4﹣1）＞0，所以f（x）＞；（Ⅱ）f（x）≥x2恒成立，即x﹣ln（ax+b）≥0，且要求ax+b＞0，所以ex﹣ax≥b，①若a＜0，对任意的实数b，当x＜0且时，由于0＜ex＜1，ax+b＞1，故不等式ex﹣ax≥b不成立．②若a＞0，设g（x）＝ex﹣ax，则g'（x）＝ex﹣a．当x∈（﹣∞，lna），g′（x）＜0，当x∈（lna，+∞），g′（x）＞0，从而g（x）＝ex﹣ax在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故g（x）＝ex﹣ax有最小值g（lna）＝a﹣aln