2021届安徽省皖江名校联盟高三下学期开年考(2月)理科数学试题

姓名__________ 座位号______________________________2021届安徽省皖江名校联盟高三下学期开年考（2月）数学（理科） 本试卷共4页,23题（含选考题）。全卷满分150分,考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合,,则A. B. C. D.2.若复数满足（,是虚数单位）,且,则A. B. C. D.3.函数（,是自然对数的底数）且,则A. B. C. D.4.若数列各项均为正数,满足,且,,则A. B. C. D.5.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照,,…,分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图。则估计全市居民月均用水量的中位数是A.2.25吨 B.2.24吨 C.2.06吨 D.2.04吨6.执行如图所示的程序框图,则输出的值为A. B. C. D.7.已知圆锥的顶点为,过母线、的截面面积是。若、的夹角是,且与圆锥底面所成的角是,则该圆锥的表面积是A. B. C. D.8.设,将函数的图象向左平移个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到函数的图象。若在区间上单调递增,在区间上单调递减,则A., B., C. D.39.有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名。现将他们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有A.288种 B.144种 C.72种 D.36种10.若关于的不等式对任意恒成立,则正实数的最大值是A.1 B.2 C.3 D.411.设,为自然对数的底数,函数在内有且仅有一个零点,则A. B. C. D.12.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,斜率为的直线与的两个交点为,。若,则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13.命题“,”的否定是__________。14.设点是外接圆的圆心,,且。则的值是__________。15.如图1,在一个正方形内,有一个小正方形和四个全等的等边三角形。将四个等边三角形折起来,使,,,重合于点,且折叠后的四棱锥的外接球的表面积是（如图2）,则四棱锥的体积是16.已知是各项均不为零的等差数列的前项和,且,使不等式成立,则实数的最大值是__________。三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在中,角,,的对边分别是,,,向量,向量,且满足。（1）求角的大小；（2）若外接圆的半径是1,求当函数取最大值时的周长。18.（12分）如图3,在中,,于。现将沿折叠,使为直二面角（如图4）,是棱的中点,连接、、。（1）证明：平面平面；（2）若棱上有一点满足,求二面角的余弦值。19.（12分）已知椭圆中,以为中点的弦所在直线的方程是。（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于,两点,证明：为定值。20.（12分）已知函数,其中。（1）讨论的单调性；（2）若函数,证明：当时,。21.（12分）新冠肺炎,全民防控。冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播,可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染。冠状肺炎感染人群年龄大多是40岁以上的人群。该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期）,潜伏期越长,感染到他人的可能性越高。现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查,统计发现潜伏期的中位数为5,平均数为7.1,方差为506。一般认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”,按照年龄统计样本,得到下面的列联表：长潜伏期非长潜伏期40岁以上3011040岁以上及40岁以下2040（1）能否有的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？（2）假设潜伏期服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差。（i）很多省份对入境人员一律要求隔离14天,请用概率和统计的知识解释其合理性；（ⅱ）将样本频率近似当作概率,设另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是,的概率记作,试求的数学期望以及当取最大值时的值。附：。0.1000.0500.0102.7063.8416.635若随机变量服从正态分布,则,,,。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同。曲线的极坐标方程为。（1）当时,是什么曲线？（2）当时,求与的公共点的直角坐标。23.（10分）选修4-5：不等式选讲设,。（1）当时,解不等式；（2）若对于任意实数,不等式恒成立,求的取值范围。理科数学参考答案题号123456789101112答案BCACDCDCBDDA13.【答案】,14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【解析】（1）由已知,得再根据正弦定理有,,即。由余弦定理得,,因为,所以。（2）由（1）知。因为,所以。因此当时,有最大值此时,。故的周长是。18.【解析】（1）在图4中,,是的中点,。又为直二面角,,底面。而平面,,且,因此平面。又平面,平面平面。（2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,因为,所以,那么。设平面的法向量,由得,。由得,。所以。同理可以求得平面的一个法向量。于是。又二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19.【解析】（1）设,,则,相减得,,所以,即。所以,。故椭圆的方程是。（2）设直线交椭圆于,,由消去得,。因此,。于是。故为定值,且为15。20.【解析】（1）,。若,,在内单增,在内单减。若,由知,。当,即时,,此时在内单增。当,即时,。此时在,内单增,在内单减。（2）因为,所以就是,即。令,,则,,,。由得,,是的最小值。于是,在时单增,所以,在时单增。故当时,,即。21.【解析】（1）,由于,故没有的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；（2）（i）若潜伏期服从,由,得潜伏期超过14天的概率很低,因此隔离14天是合理的。（ii）由于200个病例中有50个属于“长潜伏期”,将样本频率视作概率,一个患者属于“长潜伏期”的概率是,又另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是,则,则,且。由,得,又,所以。故的数学期望是,取最大值时的值为6。22.【解析】（1）当时,就是,即。因为,所以。故曲线以坐标原点为中心,焦点在轴上,长轴长为6,短轴长为4的椭圆