2021届天津市滨海新区七校(塘沽一中等)高三上学期模拟考试数学试卷(解析版)

天津市滨海新区七校（塘沽一中等）2021届高三上学期模拟考试数学试卷一､选择题(本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合，，则（）A. B. C. D.『答案』C『解析』，，.故选：C.2.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（）A. B. C. D.『答案』D『解析』产品数量在内的工人有人，在内的工人有人，从这6人中随机地选取2位工人进行培训共有种，其中这2位工人不在同一组的有种，所以这2位工人不在同一组的概率是.故选：D.3.已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件『答案』C『解析』⇔⇔∴“，对，恒成立”等价于“”对于，恒成立，显然“”对于，恒成立，等价于“”,∴“，对，恒成立”是“”的充分必要条件故选：C.4.函数在的图像大致为（）A. B.C. D.『答案』D『解析』因为，，所以为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，故排除A，又因为，，，，故排除B，C.故选：D.5.已知函数，记，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』是偶函数，并且当时，是增函数，，因为，，即又因为在是增函数，所以.故选：A.6.直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，可将直三棱柱补成长方体，其中，，长方体对角线，即为球的直径，则球的半径为.球的表面积为.故选:A.7.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段被双曲线顶点三等分，且两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.『答案』D『解析』抛物线的焦点为，准线方程为，，，因为线段被双曲线顶点三等分，所以，即，因为两曲线，的交点连线过曲线的焦点F，所以两个交点为、，将代入双曲线得，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：D.8.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.『答案』A『解析』将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，假设函数在上有零点，令，得，，得，，则，得，，又，所以或，又函数在上有零点，且，所以或.故选：A.9.已知函数、均是周期为的函数，，，若函数在区间有10个零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.『答案』B『解析』当时，由可得，即，的图象是以为圆心，为半径的圆的四分之一，作出函数在上的图象，作出在和上的图象，在和上，的图象与的图象共有两个交点，因为的图象与的图象在上共有10个交点，所以的图象与的图象在、、上共有8个交点，又与的周期都是2，所以的图象与的图象在上有2个交点，在上有一个交点，①在上有2个实根，即在上有2个实根，所以，解得，因为，所以；②在上有1个实根，即在上有1个实根，所以或，或，解得或，综上所述：.故选：B.二､填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分)10.是虚数单位，若，则___________.『答案』『解析』设复数，则，所以，所以根据复数相等得：，解得，所以，故答案为：.11.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是___________.『答案』『解析』由条件可知，所以，所以的通项公式是，令，解得：，所以函数的系数是.故答案为：-4.12.已知圆，直线l过点，且与圆C交于A，B两点，，则直线l的方程为__________.『答案』或『解析』圆的圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，当直线的斜率不存在时，直线：，满足；当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以，综上所述：直线l的方程为或.故答案为：或.13.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________.『答案』(1).0.38(2).0.9『解析』第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：，，.故随机变量的可能取值为，故；；；.故.故答案为：0.38；0.9.14.在中，已知，，，P为线段上的点，且，则的最小值为________．『答案』『解析』依题意得：解得，，，，，所以为，所以．以C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立直角坐标系，则由题目条件得点，且满足．，点到直线即的距离为，则最小值为．故答案为：．15.已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.『答案』(1)..(2)..『解析』因为在R上单调递增，则，所以，所以，又因为，所以，则，又因为，，令函数，在恒成立，在上单调递减，所以，所以的最小值为，取等号时，所以，又因为，取等号时，且函数，，在上递增，所以，所以的最小值为，取等号时；故答案为：；.三､解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，三角形的面积为.（1）求边上的高：（2）求.解：（1），得，因为为锐角，所以.所以，设边上高为，则，得.（2）,,所以.17.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，四边形EDCF为矩形，DE＝2，平面EDCF⊥平面ABCD．(1)求证：DF∥平面ABE；(2)求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值；(3)若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，求线段AP的长．(1)证明：∵四边形EDCF为矩形，∴DE⊥CD，又平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD＝CD，∴ED⊥平面ABCD．取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(﹣2，4，0)，E(0，0，2)，F(﹣2，4，2)，设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，由，取z＝1，得＝(1，0，1)，又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，则⊥，又∵DF⊄平面ABE，∴DF∥平面ABE．(2)解：设平面BEF的法向量＝(a，b，c)，∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)由，取b＝1，可得＝(2，1，4)，∴cos＜＞＝，∴sin＜＞＝，即平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值为．(3)解：∵平面BEF的法向量＝(2，1，4)，点P在线段EF上，设P(m，n，t)，，则(m，n，t﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，解得P(﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，∵直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，∴＝，解得λ＝1，∴线段AP的长为|．18.已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和；（3）若对恒成立，求的最小值.解：（1）设数列的公差为，，因为数列是等比数列，所以，所以，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，数列的公比，所以.（2）由（1）知，，所以，当时，，当时，，所以.（3），，令，当为奇数时，，且递减，可得的最大值为，当为偶数时，，且递增，可得的最小值为，所以的最小值为，最大值为，因为对恒成立，所以，所以，所以的最小值为.19.已知椭圆过点，、分别为椭圆C的左、右焦点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：.解：（1）设，，则，，，，又在椭圆上，故，又，解得，，故所求椭圆的方程为.（2）（i）由于，设的方程为，，，由，消去整理得，由韦达定理可得：，则，又点到的距离，所以.当且仅当，即时，等号成立.又介于、两点之间，故.故直线的方程为：.（ii）要证结论成立，只须证明，由角平分线性质即证：直线为的平分线，转化成证明：.由于因此结论成立.20.已知函数.（1）当时，求函数在的单调性；（2）当且时，，求函数在上的最小值；（3）当时，设.记为函数在上的唯一零点，证明：.其中为自然对数的底数.解：（