2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

2021届安徽省皖南八校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意得，，直接求交集即可.【详解】依题意得，，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题.2．已知复数z满足，则z的虚部是（）A． B．1 C． D．i【答案】B【解析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是1.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.3．已知实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由不等式，求得，结合充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，实数，，不等式，解得，所以实数，，则“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果【详解】.故选：D【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题5．定积分的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据定积分的性质和运算法则可得答案.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题.6．设向量，，则（）A． B．C．与的夹角为 D．【答案】D【解析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，故A错误；因为，，所以，所以与不平行，故B错误；又，所以与的夹角为，故C错误；又，故选：D正确.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.7．已知，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指数函数的单调性判断的范围，再由对数函数的单调性判断的范围，再由三角函数的性质判断的范围，从而可得结果【详解】，，，，，且，，∵..【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题8．某特种冰箱的食物保鲜时间y（单位：小时）与设置储存温度x（单位：）近似满足函数关系（k，b为常数），若设置储存温度的保鲜时间是288小时，设置储存温度的保鲜时间是144小时，则设置储存温度的保鲜时间近似是（）A．36小时 B．48小时 C．60小时 D．72小时【答案】A【解析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得、从而得到y，再把储存温度为15°代入即可.【详解】由题意得，，所以时，.故选：A.【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用.9．将函数的图象横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后向左平移个单位，所得函数记为.若，，，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先利用函数的图像变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得的值，可得的值.【详解】将函数的图象横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位，所得函数，若，，，则，，，，，则.故选：D.

【点睛】本题考查函数的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.10．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得求得AC、BC长，再由余弦定理得AB长可得答案.【详解】由题意可得，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.11．已知函数，则（）A．函数的极大值点为 B．函数在上单调递减C．函数在R上有3个零点 D．函数在原点处的切线方程为【答案】D【解析】求出函数的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案.【详解】令得或.当时，，函数的增区间为，；当时，，函数的减区间为，故B错误.所以当时，函数有极大值，故A错误.当时，恒成立，所以函数在没有零点；当时，函数在上单调递减，且，存在唯一零点；当时，函数在上单调递增，且，存在唯一零点.故函数在R上有两个零点，故C错误.函数，得，则；又，从而曲线在原点处的切线方程为，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题.12．已知函数以下结论正确的个数有（）①；②方程有四个实根；③当时，；④若函数在上有8个零点，则的取值范围为.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，.故①错误.对②，画出图像知，有四个根.故②正确.对③，当时，.故③正确.对④，画出图像，有8个零点，即与有8个交点.此时，.又.若函数在上有8个零点，则的取值范围为，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.二、填空题13．设函数是R内的可导函数，且，则________.【答案】【解析】先利用换元法求出的解析式，再对函数求导，从而可求出的值【详解】令，，所以，，.故答案：，【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题14．已知函数，则不等式的解集是________.【答案】【解析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为可得解.【详解】由于，所以函数为偶函数，当时，，，所以在上为减函数，在是增函数，要，则需，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题.15．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，则实数的最大值为________.【答案】【解析】求出的平移后的解析式，再利用函数在区间上是单调递减函数，从而得到的范围，进而得到其最小值.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上是单调递减函数，，，.，....，解得，所以实数的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．已知为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则的最小值为________.【答案】【解析】建立平面直角坐标系，设点，，代换化简求得最小值得解.【详解】以圆心O为坐标原点，分别以所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则圆O方程为设点，，则由条件得，得，故，，当，即时,最小值为故答案为【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题.三、解答题17．已知函数，其中，，，，其部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知函数，求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）从函数的图象可确定及，然后将代入，求解；（2）先写出的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间.【详解】解：（1）由函数的图象可知，，，故，则，又当时，，且，故，所以.（2），令得：.故的单调递增区间为.【点睛】本题考查三角函数的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般.18．已知函数，且.（1）求实数m的值，并求函数的值域；（2）函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；值域为；（2）或.【解析】（1）由求出得到，再利用单调性可求出值域；（2）对于任意，总存在，使得成立，转化为的值域是值域的子集可求得答案.【详解】（1），.在上递减，在上递增，且，.值域为.（2）对于任意，总存在，使得成立，则的值域是值域的子集；依题意知，当时，，...当时，，...故或.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意，总存在，使得成立，转化为则的值域是值域的子集问题求解.19．在中，角、、的对边分别是、、，且满足.（1）求角；（2）设为边上的点，平分，且，若与的面积比，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得出关于的二次方程，结合可求得的值，由可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出，设，则，然后在和中利用余弦定理可得出关于的方程，可求得的值，进而可求得的长.【详解】（1）由已知可得，即，，，.，；（2）由（1）知，设点到边的距离为，则点到边的距离也为，因为平分，，，，由，得.设，则，分别在和中由余弦定理得，，.，解得，.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．设函数.（1）若函数在处的切线方程是，求实数a，b的值；（2）在（1）的条件下，若对于恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用导数的几何意义，求得函数在处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把，转化为，令，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，可得，且，所以在处的切线方程是，又因为函数在处的切线方程是，所以，解得或，又由，所以.（2）由（1）可得，因为，即.令，则，令，所以，当时，，递增，即递增，所以，所以在递减，则，可得，即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y（单位：枚）与销售价格x（单位：元/枚，）：当时满足关系式，（m，n为常数）；当时满足关系式.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚.（1）求m，n的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x的值，使公司每日销售该芯片所获利润最大.（x精确到0.01元/枚）【答案】（1），，；（2）.【解析】(1)由题意得到关于实数的方程组，求解方程组可得，，则每日的销售量；(2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格元/枚时，每日利润最大.【详解】解：（1）因为时，；时，，所以，解得，，每日的销售量.（2）由（1）知，当时：每日销售利润，.则，当或时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.是函数在上的唯一极大值点，；当时：每日销售利润，在有最大值，且.综上，销售价格元/枚时，每日利润最大.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，然后分，；，；，；，四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知，即恒成立，从而可得，即，而，从而可证得结论【详解】解：（1