抛物线结论的几个证明

圆锥曲线常用结论及证明推导抛物线：以=2px为例]2.定点问题若48在抛物周上，且满足。不丽=常数，则直践力8过x轴上的定点.（变彩考查：若直线48过x轴上的定点，则X工，乂乃均为定值常数）证明:设4（芮,弘）,8（彳2，%）,则丁；=2px”y；=2p.q从而44直线：y-y]=———（x-xj,令y=0,则、=一月・9―士"+西内一々 必一力区乂--.通分化简得一二巫这二立一生二.心，必一必必一为2PZOA-O8=xlx2+yxy2=上洋+%必=常数，此时不难得到乂外为常数，4P.因此》=一生2为常数定值，因此48过x轴的定点.2P当然，此结论也可以通过联立韦达定理的思路证明，这里不做叙述.

3.定值问题过焦点"的直线与抛物践交于48两点，在处分别做抛物线的切线，这两条切式的交5.焦点弦的圆过焦点厂的直线与抛物线,交于48两点，以为直径的回与准线相切.证明：设力（田,,），8（占,%），则力8=力厂48b=/U'+88'=x+.0+p,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"从而中点横坐标有：X、=/；」 >1j-从而中点M到准线的距离为：牛+自五产二券 J.因此，以/1B为直径的圆（皿心为M）与准线相切 夕?7.［（/，凡）为抛物线上一点，过力作抛物钱,的切线，切线方程为：NoP=P（x+/）,

双曲线：以r-r=i为例

/厂i.焦点到渐近线的距高二方证明：根据对称性只需要分析一个焦点和一条渐近线即可,以右焦点厂（c,0）,渐近线：y二一x为例（将渐近线变为：bx-ay=0）此时,焦点到渐近线的距离=Jcr+h1所以距寓双曲线：以r-r=i为例

/厂i.焦点到渐近线的距高二方证明：根据对称性只需要分析一个焦点和一条渐近线即可,以右焦点厂（c,0）,渐近线：y二一x为例（将渐近线变为：bx-ay=0）此时,焦点到渐近线的距离=Jcr+h1所以距寓=b仔如看图，我们也能找到对应的。力,c2,点屋法：3屋凡修=匕（变形：与二与二勺）；其中C为弦的中点

a x2-$a一般地，为双曲线左右顶点时也是成立的.证明：设，（再，凹）,尸（再,必），则8（a）则二4,根据上面证明，得出结论.占一片3.与工一三=1有相同的渐近线的方程可以设为二一二=7（/IhO）

b- aro证明：将♦一与=%（2。0）变为标准式：~^7-三7=1或二—=7=1crfr a-A 一ZrZ-aA/t2j b2>0时，双曲或焦点在k轴，渐近线为：y=±. x=±—XaJ_.2/ b4<0时，双曲线焦点在y轴，渐近线为：y=±r-x=±—x因此，4正明站束.思考：与二一二=1有相同的离心率的方程也可以设为二一三= 40）吗？NO!a"6一 ，rn正确为:与ry2与正确为:与ry2与- h2=I有相同的离心率的方程可以设为=A(A>0)4.焦点三角形的面枳为：Sgg=Qtan4.焦点三角形的面枳为：Sgg=Qtan一2证明：设PF】=m.PF2=n,根据定义有:PFX-PFZ=m-n=2a,F1F2=2c结合余弦定理有：(2c1=m2+n2-2nuicosO/ 、2 / 、2 八变形为:(2c)=(m-n)+2mn-2mncosO,带入ni-n=2a2c22。2从而:4c;=4a22c22。2从而:4c;=4a2+2mn(1-cos0)=>nm= l-cos6>2b21一cos。所以:=l^sin6>=-•—^—sinO=h2Sin6>w队2 2l-cos<91-cosd=h2—1-2sin。20cos2心i-2Jb22在椭80中，焦点三角形的面积为：tan-（证明同理）k i广椭圆：以r+F=l为例crb一1•点差法（变加口=一,）洪中C为弦相的中点证明：设/（芭,乂）,8（々,为），带入标准方程有:再变形为:lr七一司々+为1进一步变为证明：设/（芭,乂）,8（々,为），带入标准方程有:再变形为:lr七一司々+为1进一步变为当48关于原点对称，且4氏P均在椭圆上时，有:一般地，为柄圆左右顶点时也是成立的.证明：设/（芭,必），。（占,为），则8（一为,一必）yl-y?则k“〃依=十升，根据上面证明，得出结论.*2一%27＞：2.通经：尸0=丁（双曲线中结论一致）；其中00_Lx轴且通过焦点证明："01x轴且通过焦点，有：x,二c,带入楠回方程得C-24C?）/八r+K=i=yp=»1--="-7。一匕 I/JIa-b2 2b2因此：yp=—,从而有?。= a a以上集左在双曲戌中证明名路一致.

3,过椭圆上一点尸（飞,必）作椭Hj'y+anl的切战，切蝶方程为岑+*当=|整理得：-^x2―2甘x十护一y；=0,q-q-A