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判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有两相异实根x1,x2(x1<x2){x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2

}△=0△<0有两相等实根

x1=x2={x|x≠

}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1三个“二次”的关系表中的承担几种角色

1、一元二次方程的两根。2、二次函数的零点。3、不等式解的端点。题型一定义域为R时例1：若不等式对任意实数x恒成立，求m取值范围。变式1：若函数的定义域为R，则m的取值范围是__________。求实数m的取值范围。求实数a的取值范围。（1）二次不等式a

x2+bx+c

>0恒成立题型一方法小结（2）二次不等式a

x2+bx+c

<0恒成立（3）二次不等式a

x2+bx+c

≥

0恒成立（4）二次不等式a

x2+bx+c

≤

0恒成立则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，分离参数法例2.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.

【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．题型二定义域不为R时

练习3：若不等式x2-mx+4>0对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.

练习2：若不等式mx2-2x+1>0对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.

练习1：若不等式x2-2x+m>0对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.

练习：若不等式x2+(a-4)x+4-2a>0对于

a

∈[-1,1]恒成立,则实数x的取值范围是_______.题型二方法小结问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数23y..xo（2）转换求函数的最值例2.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.则解：构造函数23y..xo例2.关于x的不等式

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