Ch1.5-全概率公式与贝叶斯公式

第一章随机事件及其概率§1.1随机事件

§1.2频率与概率§1.3古典概型与几何概型§1.4条件概率与事件的独立性§1.5全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式例1.22(引例)有两个形状相同的罐子，在第一罐中装有2个白球1个黑球，在第二罐中装有3个白球2个黑球，某人任取一罐，从中任取一球，试求取得白球的概率。

解记为Ai事件“球取自第i罐”，i=1,2，B表示事件“取得白球”。显然有利用概率的有限可加性和乘法公式可得第五节全概率公式与贝叶斯公式由题意知于是有

引例中计算概率P(B)的思想方法具有一般性，可总结成如下定理：定理1.5（全概率公式）如果事件满足如下条件：（1）（2）两两互不相容，即（3）则对于任何一个事件B，有证化整为零化难为易注意：全概公式是一种“化整为零”“化难为易”的的方法，它不仅使计算简单，而且使分析问题的思路变得十分清晰，从而使题目的难度大为降低。

【例】10个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后放回去，第二次又随机地取出2个，求第二次取出的是两个新球的概率。

【解】以第一次随机地取出2个球的所有可能结果作为完备事件组，记A1=“第一次取出2个新球”，A2=“第一次取出1个新球1个旧球”，A3=“第一次取出2个旧球”，B=“第二次取出的是两个新球”，则于是，由全概公式得例1.23为了解某支股票未来一定时期内价格的变化，人们往往会去分析影响该股票价格的基本因素，比如利率的变化。现假定经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验分析，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，该支股票价格上涨的概率为40%，求该支股票价格将上涨的概率。

解记A为事件“利率下调”，为事件“利率不变”，B为事件“股票价格上涨”，依题意有由全概率公式有

例1.24甲、乙、丙三人独立地向同一飞机进行射击，三个人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。若飞机被一人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若两人击中，飞机被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必被击落。求飞机被击落的概率。

解设Ai表示事件“恰有i人击中飞机”，显然A0,A1,A2,A3构成一完备事件组。又设B1,B2,B3分别表示甲、乙、丙击中飞机这三个事件，B表示事件“飞机被击落”，依题意有又同理可求得由全概率公式有所以，飞机被击落的概率为0.458。【例】甲乙两人进行比赛，每次比赛胜者得1分，假定每次比赛甲、乙获胜的概率分别为a与b（a+b=1），比赛进行到有一人比对方多2分为止，多2分为胜者，求甲最终获胜的概率。【解】设A=“甲最终获胜”，B1=“第1、2次射击甲均获胜”，B2=“第1、2次射击乙均获胜”，B3=“在第1、2次射击中，甲、乙各胜1次”，显然B1，B2，B3构成完备事件组。则由全概公式所以

类似问题：反复掷一枚骰子，求3点在5点之前出现的概率；反复掷两枚骰子，求点数之和为5出现在点数之和为7之前的概率。此类题目通常是以第一次试验的所有可能结果作为完备事件组然后利用全概公式求解。12345

分析：设Ai=“第i个元件能够正常工作”(i=1,2,3,4,5),一般同学会想到利用广义加法公式求解，即计算显然，这样求解，计算过程麻烦且毫无数学美感，如果利用全概公式求解感觉就大不一样了。

【解】以第3个元件能否正常工作作为完备事件组，用B表示“系统能够正常工作”，则下面分别计算和，若第3个元件能正常工作，则原系统变为1245全概公式若第3个元件不能正常工作，则原系统变为1245于是二、贝叶斯（Bayes）公式定理1.6（贝叶斯公式）如果事件满足如下条件：则对于任何一个事件B(P(B)>0)，有（1）（2）两两互不相容，即（3）例1.25两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02。加工出来的零件放在一起，已知第二台加工的零件比第一台加工的零件多一倍，从这些零件中任意取出一个零件，如果它是废品，问它是哪一台车床加工的可能性大？

解用Ai表示事件“取出的零件是第i台车床加工的”，i=1,2,B表示事件“取出的零件是废品”。依题意有由贝叶斯公式有由此可见，该废品是第二台车床加工的可能性大。

【例】对以往的数据分析结果表明，当机器调整的良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，试求已知某日早上第一件产品时合格品时，机器调整得良好的概率是多少？

【解】设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”，则有由贝叶斯公式得所求概率为即当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97.此例题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.先验概率与后验概率

【例】已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

【解】设A=“任取一产品，经检验认为是合格品”，B=“任取一产品确是合格品”，则（1）（2）应用统计方法确定先验概率应用

Bayes

公式计算机可计算出后验概率应用医学知识确定实例：计算机自动辅助诊断系统假定为各种“疾病”对人进行观察与检查,可以确定某个指标如体温、脉搏、血液中转氨酶含量等对应于较大的“疾病”可提供给医生作进一