动力计算及单自由度自由振动参考

结构的动力计算第14章1§14-1动力计算概述一、动力计算的特点、目的和内容1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。

“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。2、目的和内容

计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。

与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。2P(t)tPt简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。二、动力荷载分类按起变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）涉及到内外两方面的因素：1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。3三、动力计算中体系的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）PtP(t)ttrPtrP42个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振时的计算简图单自由度体系5水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)4个自由度m1m2m32个自由度6y(x,t)x无限自由度体系2、广义座标法：如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中 ——是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。ak(t)——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。xyxa1，a2，……..any(x,t)7四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）m…………..运动方程m设其中P(t)＝I(t)…………..平衡方程I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反改写成虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程）都要用到抽象的虚位移概念8§14-2单自由度体系的自由振动自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……….9一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）1、刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W弹性力恒与位移反向惯性力……………(a)其中kyj=W及上式可以简化为或由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。102、柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。..m静平衡位置I(t)可得与(b)相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。二、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2由初始条件确定11m静平衡位置I(t)设t=0

时..（d）式可以写成由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令(e)式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定振幅相位角12y0ty-yTTTyt0yt0A-A13三、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周期－工程频率－园频率－计算频率和周期的几种形式频率和周期的讨论1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；3.是结构动力特性的重要数量标志。14例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/21例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A1IIEI1=mhk例3.计算图示刚架的频率和周期。由截面平衡15四、简谐自由振动的特性由式可得，加速度为：在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。惯性力为：16例4徐.姨计算戴图示狐体系仁的自甩振频会率。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2解：些单自积由度利体系售，以表济示位逗移参籍数的呼幅值异,各质监点上门所受上的力抢为：建立得力矩棵平衡绳方程化简旷后得17五、被阻尼袭对振丝式动的涛影响实验凶证明延，振瞎动中晋的结顿构，诵不仅识产生否与变倒形成凯比例鉴的弹崇性内加力，壳还产娘生非展弹性迁的内险力，非弹怜性力倡起阻叠尼作仁用。在础不考众虑阻汤尼的愁情况知下所很得出久的某钓些结比论也泄反应觉了结狐构的笔振动李规律趴，如毫：事实栋上，受由于抄非弹秆性力烧的存区在，瘦自由启振动切会衰宫减直岁到停穿止；屑共振艘时振摆幅也璃不会扫无限塌增大掌，而恶是一呈个有戏限值驼。非弹利性力聪起着块减小脆振幅狠的作偿用，臂使振底动衰为减，导因此效，为胸了进何一步桌了解侵结构碑的振参动规哄律，吧就要殊研究款阻尼世。1、饱阻尼灰的存汤在忽略峡阻尼冬的振乏动规岭律考虑付阻尼可的振洽动规欣律结构你的自湖振频寇率是愧结构雄的固冤有特最性，甚与外阶因无办关。简谐值荷载知作用撞下有膜可能悟出现蝴共振渔。自由淘振动敢的振扶幅永堂不衰素减。自由何振动其的振下幅逐艰渐衰项减。共振决时的烟振幅缝趋于设无穷四大。共振揭时的愚振幅古较大杜但为莫有限笔值。182、味在建鼓筑物籍中产砌生阻何尼、烛耗散栏能量谦的因验素1）鲁结构酸在变格形过那程中烟材料障内部巨有摩佣擦，竞称“估内摩倦擦”饶，耗好散能硬量；2）宇建筑研物基贸础的层振动拢引起撕土壤狭发生说振动楼，此友振动垮以波廊的形逗式向睁周围爱扩散着，振动点波在封土壤仰中传浸播而章耗散呆能量胞；3）建土体灶内摩拣擦、婆支座霉上的芬摩擦谷、结威点上伸的摩皮擦和吗空气市阻尼胡等等译。振动便的衰姥减和涂能量馆的耗宝散都尊通过扎非弹促性力承来考窗虑，睁由于袄对非遭弹性堂力的烈描述腾不同棒，目馋前主溜要有返两种神阻尼织理论皇：*粘击滞阻方尼理猾论——维非弹亮性力之与变却形速绣度成脑正比宵：*滞舰变阻抹尼理胁论关于跑阻尼兔，有宫两种徒定义湾或理晕解：1）完使振第动衰线减的栋作用忆；2）包使能丢量耗梯散。3、狭阻尼屑力的奶确定合：总与需质点躺速度哀反向卧；大吩小与双质点完速度谎有如烈下关援系：1）顿与质葬点速轧度成牛正比逆（比技较常槽用，虽称为煮粘滞朽阻尼重）。2）子与质谱点速功度平嚷方成蹲正比效（如茂质点纠在流质体中福运动块受到眯的阻尾力）脾。3）歌与质塞点速随度无削关（天如摩榴擦力赢）。其他鼠阻尼颠力也黄可化处为等晨效粘萝滞阻斩尼力图来分轰析。19mS(t)I(t)P(t)y..kmP(t)P(t)C平衡腹方程4、献阻尼爱对自雀由振犬动的凯影响令及设解为：特征匙方程特征恢值一般葵解20（1城）低阻攻尼情重形(<1输)特征值一般解令由初骨始条池件确吓定C1和C2；设得21其中yt0AnAn+1讨论窃：（a）衰减帽周期车运动振幅（b）阻尼备对振当幅的教影响22例6讯.全对图肌示刚伪架进天行自径由振姥动以私测动芦力特凤性。期加力旁20拖kN捞时顶杨部侧惰移2犹cm洽，振剩动一弄周T=1.滴4s穷后，诵回摆毛1.圣6