数学物理方法复习题

第一部分:填空题1复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导的必要条件是2柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为3复变函数f(z)=|z|2z在z二—处可导4复变函数f(z)=xy+iy在z=一处可导5ln(-1)=6指数函数f(z)=ez的周期为6 1-dz=Izk2(z--)26-e-dz=z-3k1z-3』旦=―L2k1z2-410i注dzkzJz-1)511在z=1的邻域上将函数f(z)=e1-z展开成洛朗级数为012将e1/z在z0=0的邻域上展开成洛朗级数为13将sin，在z=1的邻域上展开成洛朗级数为 z-1 014z=0为函数任的 0 2zz=0为函数$由1的0z1z0=1为函数e1-z的coszz0k0为函数=的阶极点z。二°为函数学的阶极点181920212223242526272829302、1—e2z函数f(z)==3—在z。=0的留数Resf(0)=函数f(z)=e1在z。=1的留数Resf(1)=,在无限远点的留数Resf3)=函数f(Z)=e1/Z2在z=0的留数Resf(0)=0c,、cosz函数f(z)=——在z=0的留数Resf(0)= TOC\o"1-5"\h\zz3 0函数f(z)=W在z=0的留数Resf(0)= z3 0积分Jbf(t飨(t-t)dr= (te(a,b))a 0两端固定的弦在线密度为pf(x,t)=P①(x)sin31的横向力作用下振动，泛定方程为.两端固定的弦在点x0受变力pf(x,t)=pf0sin3t的横向力的作用，其泛定方程为.弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F二-Ru(R为阻力系数),t弦在阻尼介质中的振动方程为。长为l的均匀杆，两端有恒定的热流q0进入，其边界条件为.长为l的均匀杆，一端x二0固定，另一端x二l受拉力F0的作用而作纵振动,其边界条件为 长为l的均匀杆，一端x二0固定，另一端x二l受拉力F0的作用而伸长，杆在放手后振动,其边界条件为 初始条件为.

31长为I的两端固定的弦,在%点施加冲量为I的冲力使其振动,其初始条件为32本征值问题 X"(X)+九X(x)=0 0<x<lX(0)=0,X(l)=0中的本征值入=，本征函数X(X)=33本征值问题 X"(x)+九X(x)=0 0<x<lX'(0)=0,X'(l)=0中的本征值入=，本征函数X(x)=TOC\o"1-5"\h\z34本征值问题 :X"(x)+九X(x)=0 0<x<lX(0)=0,X'(l)=0中的本征值九=，本征函数X(x)=\o"CurrentDocument"35本征值问题 ；X"(x)+九X(x)=0 0<x<lX'(0)=0,X(l)=0中的本征值入=，本征函数X(x)=\o"CurrentDocument"36本征值问题 ；①'仰)+九①(6=0①3+2兀)=①(中)中的本征值入=,本征函数①3)=一维无界空间的波动问题 auxx=0luL『(x)u习(x)11=0

的解是 .无限长弦的自由振动,其初始位移为甲(x),初始速度为-w1(x)，则U(X,t)= .极坐标系中Laplace方程带有周期性边界条件u(p,①+2兀)=u(p,⑺的解.勒让德多项式Pn；0)二 勺(0)二 PlPl(1)二P(-1); .以勒让德多项式为基本的函数族,在区间［-1,+1］上将函数f(x)展开为广义傅立叶级数f(x)=芍fpj(x),其系数f= TOC\o"1-5"\h\zII bl=0J1［P(X)］2dx=. -1l.J1xnP(x)dx= ,(n<l)(不要求)\o"CurrentDocument"-1 l.勒让德多项式的微分表达式Pl(x)=.以勒让德多项式为基本的函数族在区间［-1,+1］上将函数f(x)=x2展开为广义傅立叶级数,即x2=.勒让德多项式的母函数1_ _=<J1一21_ _=<J1一2rcos。+r2, (r〉D1 =<f (r<R)RR2-2rRcoso+r2 (r〉R).独立的I阶球函数共有个.独立的1阶球函数分别为.独立的2阶球函数分别为.若周期函数f(x)为奇函数，傅立叶展开式为,其展开系数为；若周期函数f(x)为偶函数，傅立叶展开式为,其展开系数为.第二部分:计算题.已知解析函数f(z)的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，求该解析函数⑴v=-excosy (2)u=^———,f(s)=0(课上的例题)\x2+y2》u=lnp,f(1)=0(作业题).计算下列积分cos冗z I=人dz(1)I—b(卜dz(例题) (2) ©7 r\z|=2zz—共 zL11z-2J(z+2).在挖去奇点的环域上或指定的环域上将下列函数展开成洛朗级数(1)在z=2(课上的例题)(1)(z-1)(z-2) 0⑵e1/1-z 在zl1(课上的例题)0⑶(z工_2)在1<|z|<2，在|z|〉2(课上的例题)

ez/z 在z0=0(作业题)⑸a上在z=0(作业题)z 0sin—!—在z=0z-1 0.计算下列函数在其有限远奇点的留数（作业题）’e二 （课上的例题） （3）e1/1-z（课后习（作业题）（z-a）3题）.计算下列回路积分dz(1)(z2+1)(z-1)2(课上的例题)(2)cosz―j蓝(1)(z2+1)(z-1)2(课上的例题)(2)cosz―j蓝1z(作业题)(3)I=Aei/z2dz(课后习题)z=2(4)zdz=bz=22-Sin2z（课后习题）6.计算下列实变定积分:(1)I=J2ndxdz

02+cosx（作业题）(2)1=产dx0(1+sCOSx)2dz, (0<£<1)(作业题)(3)I=(3)I=J8」2+1dx-8x4+1（作业题）(4)「cosmx(4)「cosmxdx

0x4+1,（m>0）（作业题）.两端固定的弦长为l，用细棒敲击x=%点，在该点施加冲力，设其冲量为I,求解弦的振动。（u［0=15（x—x°））（课上的例题）.长为l的杆，一端（x=0）固定，另一端（x=l）受力F0而伸长，求放手后杆的纵振动（作业题）.细杆导热问题，长为l的杆，两端绝热，初始温度分布为小。.均匀细杆长为l,一端（x=0）保持零度，另一端（x=l）有恒定的热流q。流入,且初始温度为零度，求解细杆的温度分布。.均匀细杆长为l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度匕和u2,求解细杆的导热问题.（课上的例题）.在圆形区域内求解Au=0，使满足边界条件川 =ACOS2平=A+=A+Bcos①（仿照例题）p=au一a2u-Asinu一a2u-Asin①tux\x000"「二0u-0lt-014求解定解问题（作业题，冲量定理法）.证明：p（1）-1,P（-1）=（-1）l（课上的例题，运用勒让德多项式的积分表示）.以勒让德多项式为基本函数，在区间［-1,1］上把下列函数展为广义傅立叶级f（x）-x3（作业题）（r<a）（课上的例题）|Au（r<a）（课上的例题）.球形区域内部求解定解问题Iu -COS29r-a

Au=0qq一一一、VSU.球形区域外部求解定解问题— =COS0 （r>a）/rr=a一 a.本来是匀强的静电场七。中放置半径为的接地导体球，试求球外的电势分布（作业题）.电荷4鹿q的电场中放置半径为a的接地导体球，球心与点电荷相距0d（>a）,求解这个静电场（课上例题）.用球函数把下列函数展开sin0cos中（课上例题）sin0sin①（课上例题）3sin20cos29一1 （课上例题）sin20sin①cos①sin20cos2中（1+3cos0）sin0cos①（作业题）.在半径为r的球的（1）内部（2）外部求解定解问题（作业题）0UI