数学物理方程期末试卷

学年第二学期数学与物理方程期末试卷出卷人：欧峥1、长度为l的弦左端开始时自由，以后受到强度为的力的作用，右端系在弹性系数为k的弹性支承上面；初始位移为初始速度为试写出相应的定解问题。(10分)2、长为的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为，杆的初始温度分布是，试写出其定解问题。(10分)3、试用分离变量法求定解问题(10分)：.4、分离变量法求定解问题(10分)5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） 7、用积分变换法求解定解问题（10分）：8、用积分变换法求解定解问题(10分)：9、用格林函数法求解定解问题(10分)：10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10分)

3、解令（2分），代入原方程中得到两个常微分方程：，（2分），由边界条件得到，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到为特征值，特征函数(1分)，再解，得到（2分），于是（1分）再由初始条件得到（1分），所以原定解问题的解为（1分）4、解：令 （1分）将其代入定解问题可以得到：（1分）（1分）(2)的解为：（2分）对于(1)，由分离变量法可得一般解为（2分）由初始条件可求得：(2分)所以，原定解问题的解为： (1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2分）令x-at=0得=F（0）+G（2x） （2分）令x+at=0得=F（2x）+G(0) （2分）所以F(x)=-G(0).G（x）=-F(0). （2分）且F（0）+G(0)= （1分）所以u(x,t)=+- （1分）即为古尔沙问题的解。6、解令(1分)，代入原方程中，将方程齐次化，因此(2分)，再求定解问题(2分)由达朗贝尔公式得到以上问题的解为 (4分)故 (1分)7、解对y取拉普拉斯变换(1分)，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到(3分)，解这个微分方程得到(3分)，再取拉普拉斯逆变换有(2分)所以原问题的解为.(1分)8、解：对于初值问题关于x作Fourier变换，得： （2分）该方程变为带参数的常微分方程的初值问题。解得 （2分）于是 （2分）则由，得：。 （2分）作像函数的Fourier逆变换（2分）9、解：设为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为(1分)设为调和函数，则由第二格林公式知（2）（1）＋（2）可得(2分)若能求得满足（3）则定义格林函数，则有(2分)由电象法可知，为的象点，故可取 (1分)显然其满足（3）。从而可得格林函数(3分)故而(1分)10、解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M）=—g（M，M） （2分）其中函数g满足的条件为：式中为区域的边界曲面 （3分）（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面内M点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面