高中物理“等时圆”大家共享及高中物理-临界问题的求解

不同的“等时圆”AOBC30°图1【例1】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tACAOBC30°图1A．2s和2sB．和2sC．和4sD．4s和图2AOBC30°α1α2D解析：由于CO=OB=OA，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图2所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳图2AOBC30°α1α2D解得：,钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。aaObcd图3【例2】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O点无初速释放，用t1、t2、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则A．B．C．D.cbacbadOefg图4解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选A。必须注意，“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。题图中O不是最高点，题设圆不是“等时圆”。现以O点为最高点，取合适的竖直直径Oe，作“等时圆”交Ob于b，如图4所示，显然，O到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa＞Of，Oc＜Og，故可推知，正确的选项是B。C图5D【例3】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为、、，则（）C图5DABCD无法确定BCB/C/图6D解析：题设图中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。延长OA，过B作B/B⊥BO ，则O、B、B/在同一圆周上，B/处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。同理，过C作C/C⊥CO，则O、C、C/在同一圆周上，C/处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。C/、B/BCB/C/图6D【例4】M•Pθα图7如图7所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为θ)搭建一条光滑轨道M•Pθα图7解析：先用解析法求解。从定点P向斜面作垂线，垂足为D，如图8所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为物体沿轨道下滑的加速度M•PM•Pθα图8Dh联立解得：令根式中分母，利用积化和差得：，θ一定，当时，分母y取得最大值，物体沿轨道下滑的时间t最小。再用“等时圆”作图求解。以α定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图9α物体沿轨道下滑的加速度由于，故得：，图9θ•Pα1M1M2α2α•PM2θθ图9θ•Pα1M1M2α2α•PM2θθ甲乙•PHL图10•PHL图10【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。•PTNMQDKM′Hθ图11α解析：先用解析法求解。如图11所示，延长PM与定圆相交于N•PTNMQDKM′Hθ图11α又，所以由圆的切割线定理得：=常数，所以，式中为常数，为变量。当M点的选择不同时，的值也不同，当=H时，其值最大，此时t最小。也就是轨道PM/延长线PQ与定圆相交于和地面的接触点Q，物体沿轨道下滑的时间最短，轨道PM/与竖直线的夹角α满足或.图12•POO/、MDQαHL再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与定圆⊙O外切于M的“等时圆”半径最小，如图12所示，由P沿轨道下滑到M点的时间也最短。图中PD和OQ都垂直于地面，由几何关系可知，轨道PM的延长线必与定圆图12•POO/、MDQαHL【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角α的三角函数表达）。OPOPMdαθ图13设轨道PM与水平面夹角为θ，则物体沿轨道下滑的加速度由正弦定理得：又 联立以上四个方程，有α、θ、、a和t五个变量，可以建立起下滑时间t与OM倾角α之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。OPMdαθ·O/r图14如果改用“等时圆”作图求解，以定点P为最高点，可作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与大环内切的“等时圆”半径最小，如图14所示，该“等时圆”的圆心O/满足，且在OM连线上。该圆就是由OPMdαθ·O/r图14几何关系有，得则OM与水平面的夹角α满足或。临界问题的求解临界问题是物理现象中的常见现象。所谓临界状态就是物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，临界状态通常具有以下特点：瞬时性、突变性、关联性、极值性等。临界状态往往隐藏着关键性的隐含条件，是解题的切入口，在物理解题中起举足轻重的作用。求解临界问题通常有如下方法：极限法、假设法、数学分析法（包括解析法、几何分析法等）、图象法等。极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”、“要使”等词语时，一般隐含着临界问题。处理问题时，一般把物理问题（或过程）设想为临界状态，从而使隐藏着的条件暴露出来，达到求解的目的。假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，解决办法是采用假设法，把物理过程按变化的方向作进一步的外推，从而判断可能出现的情况。数学分析法；是一种很理性的分析方式，把物理现象转化成数学语言，用数学工具加以推导，从而求出临界问题，用这种分析方法一定要注意理论分析与物理实际紧密联系起来，切忌纯数学理论分析。图象法：将物理过程的变化规律反映到物理图象中，通过图象分析求出临界问题。下面列举的是高中物理各知识系统中典型的临界问题。一、运动学中的临界问题例1、一列客车以速度1前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度2匀速前进，且12，货车车尾与客车车头相距0，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。求客车的加速度符合什么条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S≤S0。下面用两种方法求解。解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：，货车：，两车不相撞的条件：。联立以上各式有：。解法二：客车减速到的过程中客车的位移为：，经历的时间为：；货车的位移为：，两车不相撞则：。联立以上四式有：。归纳：正确分析物体的运动过程，找出临界状态是解题的关键。例2、甲乙两地相距，摩托车的加速度为12，减速时的加速度为12摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？分析：题目中并没有说明摩托车由甲地往乙地是如何运动的，从甲地往乙地所用时间最短这一临界状态是解决问题的突破口。分析的方法可以用数学推导法，也可以用图象分析法等。解法一：用数学推导法。设摩托车加速运动时间为1，匀速运动时间为2，减速运动时间为3，总时间为，则：联立以上六式并代入数据得：要使以上方程有解，须判别式Δ≥0，即：，所以，即最短时间为。故有：，解得：。可见摩托车从甲地到乙地先加速后紧接着减速达到乙地所用时间最短，匀速时间为零。最大速度为：。图1vvm解法二：用图象分析法。建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”图1vvm，联立以上三式得：最短时间为，最大速度为。归纳：比较以上两种分析方法，图象法比解析法简单，是一种可取的方法。二、平衡状态的临界问题例1、倾角为度的斜面上放置一个重的物体，物体与斜面间的动摩擦因数为，要使物体恰好能沿斜面向上匀速运动，所加的力至少为多大？方向如何？Nfmg图2xNfmg图2xFα解：x方向：y方向：其中ABQCP图3联立以上三式求解得：，其中。当时ABQCP图3。例2、如图3所示，用光滑的粗铁丝做成一个直角三角形，边水平，，及上分别套有用细绳连着的小环、Q。当它们相对静止时，细线与边所成的夹角的变化范围是多少？分析：题设中没有说明、Q质量的大小，可用假设法来判断这个问题中可能出现的临界状态。若Q的重力大于的重力，则可不计的重力，的平衡转化为二力平衡，此时细绳的拉力与对环的支持力几乎在同一直线上垂直于的方向，即接近。若的重力远大于Q的重力，则可不计Q的重力，Q的平衡转化为二力平衡，此时绳的拉力与对环Q支持力几乎在同一直线上垂直于的方向，即接近。综上分析，的变化范围是：。F图4F图4三、动力学中的临界问题fmg图5Nyx例1、如图4所示，斜面体的质量为，质量为的物体放在倾角为0的斜面上，，斜面与物体间的动摩擦因数为，地面光滑。现对斜面体施加一水平推力，要使物体相对斜面静止不动，力应为多大？（取，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）fmg图5Nyx分析：采用极限分析方法，把推向两个极端来分析，当很小时，物体将相对斜面下滑；当很大时，物体将相对斜面上滑，因此不能太小也不能太大，的取值是一个范围。解：设物体处于相对斜面下滑的临界状态。推力为，此时物体的受力情况如图5所示，则对：对（）：联立以上三式代入数据得：2，。归纳：求解此类问题的关键点是正确进行受力分析，找出临临界条件，列出动学方程和平衡方程。建立坐标系时，要注意以加速度方向为正方向。fmg图6Nfmg图6Nyxa对：对（）：联立三式并代入数据得：2，。所以推力的范围是：。A0A0aD0aB0aC0a图7分析：题设中没有明显的临界条件。设动摩擦因数为，当物体在斜面上滑动时有：，可作如下的假设：（1）当时，物体静止在水平面上，；（2）当时，物体沿斜面匀速下滑；（3）当时，物体加速下滑，（4）当0时，，物体做自由落体运动。综合以上几种假设易知D正确。归纳：进行合理假设是找出问题的临介条件的重要手段。例3、一物体由静止开始沿不同长度的光滑斜面滑到水平面上的点，这些斜面的起点都在竖直墙壁处，如图8所示，已知点距墙角的距离为，要使小物体从斜面的起点滑到点所用的时间最短，求斜面的起点距地面的高度是多少？最短时间是多少？Ab图8B分析：用数学分析方法。设小物体从点沿倾角为的斜面滑下到点，则长为：，Ab图8B加速度为：，则有解得：。由以上结果分析可知：当0即时，下滑的时间最短，最短时间为：。归纳：数学法是解题的重要工具。图9AO例4、如图9所示，在竖直平面内有一固定点O，O点系一长为的轻绳绳的另一端系一质量为的小球，把小球拉离平衡位置使绳与竖直方向的夹角为，然后让小球绕O点在竖直平面内摆动，现在O点的正下方点钉一铁钉，要使小球能摆到原来的高度，则铁钉与O点的距离X必须满足什么条件？图9AO分析：小球若能摆到最高位置，意味着小球达到最高点时的速度为零。小球的运动轨迹是圆周的一部分，那么圆周上哪些位置小球的速度可能为零？先来分析这个问题。找圆周上三个特殊位置和二个一般位置来分析，这五个位置的受力情况如图10所示，对应的动力学方程为：位置1：①1图103541图103542位置3：③位置4：④位置5：⑤要使小球在竖直平面内做圆周运动，则绳对小球的拉力必须大于或等于零，即，在1、2、3三个位置小球的速度可以为零，而在4、5位置小球的速度不能为零，否则小球将会离开圆周，若小球保持做圆周运动，由④⑤两式可知，当时，有。由上面的分析可知；要使小球在圆周上运动，且在某点的速度等于零，则这些位置只能在圆周水平直径以下的这部分圆周上（包括水平直径的两个端点），在这个问题中，水平直径的两个端点就是临界点。所以，该题中要求小球能摆到原来的高度，则钉子的位置与小球释放时的位置在同一等高线上是临界位置，钉子的位置只能在这一等高线以上，即x。归纳：在竖直圆周上运动的问题较复杂，分析这类问题的关键是分析物体在不同位置时的受力情况，然后建立动力学方程进行讨论分析。实际上，要使小球在绳子的拉力作用下能在竖直平面内做完整的圆周运动，必须具备的条件就是绳子的拉力大于或恰好等于零，由此可以得出小球达到最高点时这一速度临界条件。四、振动和波中的临界问题例1、把一根长度为的轻弹簧下端固定，上端连一个质量为的物块，在的上面再放一个质量也是的物块Q，系统静止后，弹簧的长度为，如图11所示。如果迅速撤去Q，物块将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是多少？图11QP分析：由题意可知在撤去Q后物块将在竖直方向做简谐运动，即以平衡位置为中心做往复运动，找到平衡位置和确定振动的振幅是求解问题的关键：平衡位置在重力和弹力平衡的位置，由题设条件可知，平衡位置在弹簧长度为的位置；刚开始运动时，弹簧的长度是，可知振幅是。根据对称性可知弹簧的最大长度为。图11QP例2、质量分别为和的两物块、用轻弹簧相连后竖直放在水平面上，现用力把物块向下压而使之处于静止状态，如图12所示，然后突然撤去外力，要使物块能离开地面，则压力至少要为多大（设该过程在弹性限度内进行）？FAB图12分析：先假设是不动的，则撤去压力后，将在竖直平面内做简谐运动，平衡位置在弹簧压缩量为的位置；若要物体能被拉离地面，则弹簧至少要被拉长，可见A物体的振幅为：FAB图12，所以压力至少为：。归纳：由以上两例分析可知：求解这一类问题一要正确进行受力分析，二要灵活运用简谐运动对称性的特点。例3、一列横波沿轴传播，、是轴上的两点，相距，时点恰好振动达到最高点，而点正好经过平衡位置向上振动，已知这列波的频率为。试求该波的最大波速。分析：该题没有说明、在轴上的距离与波长的关系以及波的传播方向，也就是存在一个波的传播方向及波速不确定的问题，波可能是沿轴正方向传播，也可能是沿轴负方向传播；若、在轴上的距离小于一个波长则波速最大。解：若波沿方向传播：，，波速为：，（）当时波速最大，max。若波沿方向传播：，，波速为：，（）当时波速最大，max。归纳：对于波动问题，由于其运动规律有周期性的变化，在一般求解中往往含有多个解，若题中有了其他条件的限制，就有了符合条件的特定解（最大或最小），在本题中就是求波的上限值（也可以说是临界值）。若题目给出的是波传播方向上两点的传播时间，求波的传播速度则其波速有下限值，即有最小值。求解波动问题一定要注意以下两点，一是两大特性：波动的周期性（空间和时间的周期），波传播方向的不确定性；二是三大关系：质点间距离与波长的关系，传播时间与周期的关系，质点振动方向与波传播方向的关系。五、电磁学中的临界问题tU-U0U0BAmvq图13例1：、表示真空中相距为的平行金属板，极板长为，加上电压后，其间的电场可视为匀强电场，在时，将图13所示的方形波加在、上，且A0，B，此时恰有一带电微粒沿两板中央飞入电场。微粒质量为（不计重力），带电量为，速度大小为，离开电场时恰能平行于金属板飞出，求（1）所加交变电压0的取值范围，（2）所加电压的频率应满足什么条件？tU-U0U0BAmvq图13分析：若要粒子恰能平行于金属板方向飞出，就要粒子在离开电场时只有平行于金属板的速度，而垂直于金属板方向的速度为零。带电粒子在进入电场以后只受电场力作用，但电场力是周期性地变化的，在这种周期性电场力的作用下，带电粒子的运动可以分为这样两个分运动：垂直于电场方向的匀速直线运动；平行于电场方向的匀变速直线运动（加速度大小不变）。平行于电场方向的运动是比较复杂的：第一个半周内，粒子做初速度为零的匀加速运动，第二个半周内，做匀减速直线运动，末速度变为零；第三、四个半周期内的运动依次重复第一、二两个半周期内的运动。由粒子的运动情况分析可知，要使粒子能平行于金属板飞出，必须满足二个条件：一是粒子在电场中运动的时间只能是电压周期的整数倍，即，这样才能证证粒子离开电场时只具有平行于金属板方向的速度；二是粒子不能落到极板上，在电场中平行于电场方向运动的距离要小于极板间距离的一半，即。这两个条件就是问题的临界条件。解：由上面的分析有临界条件：，，结合垂直于电场方向的运动规律和平行于电场方向的运动规律：，联立以上各式得：、，。归纳；处理这类问题的关键是正确进行受力分析，确定物体的运动规律，特别注意速度的变化和加速度的变化，再结合题目所给的约束找出问题的临界条件。图14vMN例2、金属板、平行放置，两板间距为，板长，板间加有平行于板面的匀强磁场，如图14所示，两板之间用导线相连。当电子束从、两板正中间以速度7沿平行于板的方向射入板间，结果在板的周围末发现电子飞出板间，由此可知板间的磁感应强度必须符合什么条件？图14vMN分析：由题意可知，电子没有飞出板间，则一定是打在了极板上。两板间无电场，只有磁场，电子在磁场中只受到向左的洛仑兹力作用。根据电子的受力情况，电子只能在匀强磁场中做匀速圆周运动。由于极板的制约，电子打在极板上的位置只能是上，当电子打在的上端时对应最小的半径，当电子打在板的下端时对应最大的半径，这两种情况就是问题的临界状态，求出这两种临界状态对应的圆半径就可求出磁感应强度的大小，可见磁感应强度的大小是一个范围。图15v图15vMNR2R1，代入数据得：当半径最大时：得，，代入数据得：，所以磁感应强度符合的条件是：。归纳：带电粒子在磁场中运动时洛仑兹力只能改变粒子的运动方向。而不能改粒子速度的大小，粒子一般情况下做圆周运动，由于题设条件的限制，粒子可能的运动轨道只能在一定的范围，这个范围就是临界条件，由临界条件求出轨道半径是求解这类问题的关键。例3、如图16所示，、为竖直放置足够长的平行板，板间距离为-2，板中央有一电子源能沿水平方向连续发射速度为7范围的电子。若两平行板之间不加磁场，电子将打在板的；现两平行板间加一垂直于纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场。已知电子质量为，电子电量-19，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地。（1）问是否有电子打到板？如有则电子击中板的范围如何？并求出其长度。（2）令7，若板的右侧加一与板成0角斜向下方的匀强电场，电场强度为（图16中没有画出），并去掉板。求速度最大的电子从点出发至打到板上所经历的时间的表达式。APOR/O/BAPOR/O/BP/NMd图16解：（1）设能打到板上的电子的最小速度为0，由牛顿第二定律及向心力公式得：，即：。APR/O/BP/NEd图17R/APR/O/BP/NEd图17R/O/当电子的速度为最大时，设它能打在板上的点，对应的半径为，这是该题的另一个临界状态，如图16所示。由牛顿第二定律及向心力公式得：，即：。又由图16中的几何关系有：，0。所以电子打在板上的长度为：。（2）由（1）可知，即粒子运动轨迹所对的圆心角为0，则电子沿平行于电场的方向进入电场，所以电子在电场中先作减速运动，然后反向作匀加速运动，再次进入磁场，最后打在A板上。由于电子返回磁场时速度大小没变，所以圆周运动的轨道半径不会变，在图17中由几何关系不难发现：电子最后打在A板上时其轨迹恰好与A板相切，这是该题的又一个关键性的临界状态。由的时间：，在电场中运动的时间：，由的时间：，总时间为：。归纳：该题涉及的知识点虽不多，但是一道难度较大的题，如何确定电子的运动过程和可能的轨迹是难点，解决办法就是找出关键性的临界状态，从而确定电子在相应的临界状态时的运动轨迹，再恰当地利用物理知识和几何知识来求解。六、光学中的临界问题例1、如图18所示，是一直立的平面镜，12是竖直放置的米尺，是一遮光板，在米尺上开一小孔，某人眼睛紧贴小孔可从中看到米尺的某部分的像。（1）试画图标明人眼睛通过平面镜能看到米尺在下面的部位。（2）为使人眼不能通过在中看到米尺在的下部位，可在上贴一遮光纸，试在图中确定出所贴纸的最小尺寸及位置。图18SABcP1MP2d2S/ab分析：（1）标明人眼睛通过平面镜能看到米尺在下面的部位，必须找出其边界光线。根据光路可逆原理，若将人眼看成是点光源，则从射出的光线经反射后能照射到的区域就是能被人看得到的区域。为确定这个区域，在图18中先根据平面镜成像的对称性画出人眼的像，其中一条边界线就是连线所对应的入射光线，连线与相交于点，与12相交于点，连接；另一条边界线是的连线所对应的反射光线，的连线与相交于点，连接延长交12于点，则段即为人眼能观察到的范围。最后在，上并标上表示光的传播方向的箭头。图18SABcP1MP2d2S/ab（2）由于米尺上的段只能通过的部分反射才能达到s处，故只要在部分贴上遮光纸，S处的眼睛就不能从中看到以下米尺的任何部位。归纳：利用光路可逆原理进行逆向思维是解决光学问题的一个重要手段，将眼睛做为发光体把问题转化为求点光源发出的光经平面镜反射后所能照射到的范围问题，从而使问题得以简化。确定边界线即临界条件是求解观察范围的关键。BBAEO图19分析：根据对称性可知所求光束的横截面是一个圆面。所以关键是求出这个圆的半径，即找出边界光线。解：设入射光线AB为所求光束的临界光线，入射角为，经球壳外表面折射后折射角为，因为AB是临界光线，所以射向内表面的光线的入射角恰好等于临界角，在ΔOEB中由正弦定理得：（C是临界角），，，所以，。由几何关系有：，进入空心球壳的