中考数学动点问题复习VIP

中考数学复习一动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新,考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等,是近几年中考题的热点和难点;二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理;在动点的运动过程中观察图形的变化情况,理解图形在不同位置的情况,做好计算推理的过程;在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质;三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式或函数图像函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为A． B． C． D．对应训练1．如图,⊙O的圆心在定角∠α0°＜α＜180°的角平分线上运动,且⊙O与∠α的两边相切,图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径rr＞0变化的函数图象大致是A．B．C．D．考点二：动态几何型题目一点动问题．例2如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12动点P从点A出发,沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒,y=S△EPF,则y与t的函数图象大致是A． B． C． D．对应训练2．如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2．设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C． D．二线动问题例3如右图所示,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移,设扫过的阴影部分的面积为S,BP为x,则S关于x的函数图象大致是A．B．C． D．对应训练3．如图所示,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线l,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是A． B．C． D．三面动问题例4如图所示：边长分别为1和2的两个正方形,其中一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么s与t的大致图象应为A． B． C． D．对应训练4．如图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S阴影部分,则S与t的大致图象为A． B． C． D．考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型,解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.一因动点产生的等腰三角形问题例1如图1,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,AC＝8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ＝90°．1求ED、EC的长；2若BP＝2,求CQ的长；3记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长．图1备用图例2如图1,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A－1,0、B3,0、C0,3三点,直线l是抛物线的对称轴．1求抛物线的函数关系式；2设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标；3在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．图1例3如图1,点A在x轴上,OA＝4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．1求点B的坐标；2求经过A、O、B的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．图1例4如图1,已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A,且与x轴交于点B．求点A和点B的坐标2过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l2cm1cm3 图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为2,23,∠BCO＝60°,OH⊥BC于点H;动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度;设点P运动的时间为t秒;⑴求OH的长；⑵若△OPQ的面积为S平方单位;求S与t之间的函数关系式;并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少⑶设PQ与OB交于点M;①当△OPM,为等腰三角形时,求⑵中S的值;②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论;8.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC＝50,AD＝75,BC＝135;点P从点B出发沿折线段BA－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK⊥BC,交折线段CD－DA－AB于点E;点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止;设点P、Q运动的时间是t秒t＞0;⑴当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长；⑵当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ∥DC⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式；不必写出t的取值范围⑷△PQE能否成为直角三角形若能,写出t的取值范围；若不能,请说明理由;9.如图所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上;过点B、C作直线l;将直线l平移,平移后的直线l与x轴交于点D,与y轴交于点E;⑴将直线l向右平移,设平移距离CD为tt≥0,直角梯形OABC被直线l扫过的面积图中阴影部份为S,S关于t的函数图象如图2所示,OM为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,N点横坐标为4;①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2＜t＜4时,求S关于t的函数解析式；⑵在第⑴题的条件下,当直线l向左或向右平移时包括l与直线BC重合,在直线AB上是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由;因动点产生的线段和差问题例1在平面直角坐标系中,已知点A－2,0,B0,4,点E在OB上,且∠OAE＝∠OBA．1如图1,求点E的坐标；2如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′．①设AA′＝m,其中0＜m＜2,使用含m的式子表示A′B2＋BE′2,并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时,求点E′的坐标直接写出结果即可．图1图2例2如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A－2,－4、O0,0、B2,0三点．1求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；2若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM＋OM的最小值．图1例3如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点．1求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；2点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在,请说明理由；3请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标．图1因动点产生的面积问题例1如图1,已知抛物线b、c是常数,且c＜0与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧,与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为－1,0．1b＝______,点B的横坐标为_______上述结果均用含c的代数式表示；2连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E．点D是x轴上一点,坐标为2,0,当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式；3在2的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个．图1例2如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A0,1、B2,0、O0,0,将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O．1一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式；2设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；3在2的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形并写出它的两条性质．图1例3如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点不与点A、B重合,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D．1求a、b及sin∠ACP的值；2设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10若存在,直接写出m的值；若不存在,请说明理由．图1例4如图1,直线l经过点A1,0,且与双曲线x＞0交于点B2,1．过点p＞1作x轴的平行线分别交曲线x＞0和x＜0于M、N两点．1求m的值及直线l的解析式；2若点P在直线y＝2上,求证：△PMB∽△PNA；3是否存在实数p,使得S△AMN＝4S△AMP若存在,请求出所有满足条件的p的值；若不存在,请说明理由．图1例5如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为3,0,0,1．点D是线段BC上的动点与端点B、C不重合,过点D作直线交折线OAB于点E．1记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；2当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化若不变,求出重叠部分的面积；若改变,请说明理由．图1例6如图1,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝3,BC＝4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE＝x,△AEF的面积为y．1求线段AD的长；2若EF⊥AB,当点E在斜边AB上移动时,①求y与x的函数关系式写出自变量x的取值范围；②当x取何值时,y有最大值并求出最大值．3若点F在直角边AC上点F与A、C不重合,点E在斜边AB上移动,试问,是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分若存在直线EF,求出x的值；若不存在直线EF,请说明理由．图1备用图例7如图1,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为0,10,8,4,点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒．1当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标长度单位关于运动时间t秒的函数图象如图2所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；2求正方形边长及顶点C的坐标；3在1中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标．4如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值；若不能,请说明理由．图1图2因动点产生的梯形问题例1已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A,B．1求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；2记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y＝3x－3交于点E,若,求四边形BDEP的面积．图1例2如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上．已知点A1,2,过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．1求该抛物线的函数解析式；2点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形若存在,求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由；3若△AOB沿AC方向平移点A始终在线段AC上,且不与点C重合,△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．图1例4已知二次函数的图象经过A2,0、C0,12两点,且对称轴为直线x＝4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B．1求二次函数的解析式及顶点P的坐标；2如图1,在直线y＝2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形若存在,求出点D的坐标；若不存在,请说明理由；3如图2,点M是线段OP上的一个动点O、P两点除外,以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN．在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式．图1图2例5如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y＝,点C的坐标为–4,0,平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Qx,y在抛物线上,点Pt,0在x轴上．1写出点M的坐标；2当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值．图1例6如图1,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C0,－1,△ABC的面积为．1求该二次函数的关系式；2过y轴上的一点M0,m作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围；3在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形若存在,求出点D的坐标；若不存在,请说明理由．图1因动点产生的相切问题例1如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点．1当时,求AP的长；2如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上如图2,设AP＝x,QP＝y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域；3在2的条件下,当时如图3,存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长．图1图2图3例2如图1,A－5,0,B－3,0,点C在y轴的正半轴上,∠CBO＝45°,CD//AB,∠CDA＝90°．点P从点Q4,0出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒．1求点C的坐标；2当∠BCP＝15°时,求t的值；3以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边或边所在的直线相切时,求t的值．图1例3如图1,菱形ABCD的边长为2厘米,∠DAB＝60°．点P从A出发,以每秒厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时,点Q也从点A出发,以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时,P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．1当P异于A、C时,请说明PQ//BC；2以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问：在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点图1因动点产生的相似三角形问题例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y＝ax2＋bxa＞0经过点A和x轴正半轴上的点B,AO＝BO＝2,∠AOB＝120°．1求这条抛物线的表达式；2连结OM,求∠AOM的大小；3如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标．图1例2如图1,已知抛物线b是实数且b＞2与x轴的正半轴分别交于点A、B点A位于点B是左侧,与y轴的正半轴交于点C．1点B的坐标为______,点C的坐标为__________用含b的代数式表示；2请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形如果存在,求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由；3请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似全等可看作相似的特殊情况如果