方法技巧专题10圆锥曲线中的垂径定理原卷版

(问题背景：直线斜率存在)图1图2图3(1)如图1,在圆O中,E为弦AB中点，则皿AB,即晨勺—(2)如图2，在圆O中,1与圆0相切于E点，则。口1，即晨£「T.(若切点坐标为E(x,y)，可得切线1方程：％%+yy=r2)⑶如图3,AB为圆0直径，E圆上异于A、B两点的动点，则B」AE，即4二-1.(二)圆锥曲线中的垂(二)圆锥曲线中的垂径定理(问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下)1.椭圆中的垂径定理（以焦点在X轴的椭圆方程上+y2=1（a>b>。）为例）a2b2图1 图2 图3b2（1）如图1,在椭圆C中，E为弦AB的中点，则kE・kB=-a-；（证明：用点差法）b2（2）如图2,在椭圆C中，/与椭圆相切于E点，则kE•勺=-a-；（证明：法一：极限思想，当A无穷接近B点；法二：换元法变换为X'2+y'2=1证明即可；法三：导数）b2（3）如图3,l过中心O,交椭圆于A,B两点,E是椭圆上异于A、B点的动点则kE•kE=-瓦.（证明：取AE重点M，连接OM，即可用（1）证明）【注意：若焦点在y轴上的椭圆方程上+g=1（a>b>0）,b2a2则上面结论变为：—；，即kE-kB=kE.勺=kE.kE=-；】2.双曲线中的垂径定理

如图3b21与双曲线相切于E点,则koE.Va如图3b21与双曲线相切于E点,则koE.Va；如图4过O点的l交双曲线于A,B两点，E是双曲线上异于A、B点的动点，则kBE.kAE a2如图5l交上双曲线两渐近线于A,B两点，E为线段AB的中点贝°kOE.kABb2TOC\o"1-5"\h\zY2X2 a2【注意：若焦点在Y轴上的双曲线方程2--—=1(a>0,b>0),则上面斜率乘积结论变为：■—a2b2 b2a2即J.鼠二J为=kBE.kAE=五】圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为(统称为有心圆锥曲线)：\o"CurrentDocument"…一X2y2 n(1)若方程一+—=1(m>0且n>0,或mn<0)存在以上关系，则上述结论可表述为：—一,m n m即kOE"J即kOE"JkOE为二kBE-kAE，其中m，n分别是x2,y2系数的倒数.mA(2)若方程Ax2+By2=1(A>0且B>0,或AB<0)存在以上关系，则上述结论可表述为：-高,B即k即kOE"JkOE为二kBE-kAEA高，其中A,B分别是x2,y2系数.B1.例题初1 „X2 Y2【例1】过点MS)作斜率为-2的直线与椭圆Ca+餐=1(a>b>0)相交于A'B两点,若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为的中点，则该椭圆的离心率为X2Y2【例2】已知A、B为椭圆一+y-=1(a>b>0)的左右顶点，P为椭圆上异于A、B的点，PA、PB的斜率a2b2分别为k分别为k,k，且kk=-3则该椭圆的离心率为4TOC\o"1-5"\h\zx2 V2【例3】设双曲线c：瓦味=im>。，八°)的顶点为A，A，P为双曲线上一点,直线个交双曲线C的一条渐近线于M点，直线A2M和A2P的斜率分别为k1，k2，若A2M1PA1且k1+4k2=0，则双曲线C离心率为( )5 XA、2 B> — C、<5 D、42V2X2【例4】已知A、B是双曲线二--=1(a>0,b>0)的两个顶点，P是双曲线上异于A、B的另一点，P关a2b2于V轴的对称点为Q，记直线AP、BQ的斜率分别为k,k，且kk=-4，则双曲线的离心率为 TOC\o"1-5"\h\z1 2 12 5X2 V2【例5】过双曲线——)=1(a>b>0)的左焦点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A、B两a2 b2点，记线段AB的中点为M，且FM等于半焦距，则双曲线的离心率e=【例6】已知直线/的斜率为1，且与双曲线5-y2=1相切于第一象限于点A，则点A的坐标为【例1】已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若4BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程为

【例2】已知椭圆1+y2=1,P是椭圆的上顶点，过P作斜率为k（k*0）的直线/交椭圆于另一点A,设点A关于原点的对称点为B，（1）求4PAB面积的最大值（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围X2y2【例3】设直线x—3y+m=0（m丰0）与双曲线—一二=1（〃>0,b>0）两条渐近线分别交于A，B，若点PB则该双曲线的离心率是PB则该双曲线的离心率是【例4】已知某椭圆的焦点是Fi(-4,0),JU0),过点「并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且IFBI+1F2B1=10.椭圆上不同的两点4\,y),C(x2,y2)满足条件：IF2AI、IF2BI、IF2cI成等差数歹ij.⑴求该椭圆的方程;⑵求弦AC中点的横坐标;⑶设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.三、自我素养养成练习与思考x2y21.如图，已知椭圆一十二=1(〃>b>0)，过原点的直线交椭圆于点P、A两点(其中点P在第一象限)，a2b2过点P作x轴的垂线，垂线为C,连AC并延长交椭圆于B,若尸A±PB，则椭圆的离心率为

x2V22.已知双曲线——b-=1(〃>0,b>0)的左右焦点为F1,F2，右顶点为A,P为双曲线右支上一点，PF1交双曲线的左支于点Q,与渐近线V=bx交于点R,线段PQ的中点为M,若RF1PF,AM1PF，则双a 2 1 1曲线的离心率为 X2V2.如图，已知椭圆一+^-=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B，P为第一象限内一点，且PB1AB，连a2b2接PA交椭圆于点C，连BC、OP，若OP1BC，则椭圆的离心率为 x2V2.如图，F1，F2分别是双曲线C：石—b-=1(a>0,b>0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线勺B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线MN与x轴交于点M，若|Mq|=|FF2|，则C的离心率是 。X2V2.过点P(1，D作直线,与椭圆丁号二1交于A，B两点，求AB的中点M的轨迹卬的方程。.过点P(1,1)作直线l'与有心圆锥曲线C:kx2+W=1(k丰0)交于E、F两点，是否存在这样的直线/'使点P为线段EF的中点？若存在，求直线/'的方程；若不存在，说明理由.TOC\o"1-5"\h\z X2V2 ..如图，P(2,1)，椭圆C：—+2-=1，不过原点O的直线l与C相交于A、B两点，且线段AB被直线OP\o"CurrentDo