第五章静电场

第五章静电场内容提要：库仑定律静电场、电场强度的叠加原理电场强度的定义；点电荷系的电场强度叠加原理；连续带电体的电场强度叠加原理；连续带电体的电场强度叠加原理。电场的图示法一电场线；通量；曲面的法线；电通量的定义;高斯定理的意义；高斯定理的应用静电场的保守性和环流定理电势差和电势静电场中的导体电容、电容器十、电介质及其极化目的要求：了解电荷的基本性质，理解库仑定律。掌握描述电场的参量：电场强度、电势及它们间的关系，掌握场强叠加原理。理解电场的高斯定理，掌握用高斯定理计算电场强度的条件和方法。理解电场的环流定理，掌握用两种方法计算电势和由电势计算电场强度的条件和方法。了解导体的静电平衡条件及由于导体的存在对电场分布的影响。理解电容器的电容，了解电容器储存电能的表达式。理解电容器储存的静电场能量；会计算电场的能量和能量密度。了解电介质的极化现象，了解各向同性电介质中D和E间的关系和区别，了解电介质中的高斯定理，了解电介质对电容器电容的影响。重点与难点：库仑定律的意义及应用。电场强度矢量是从力的角度描述电场的物理量；用高斯定理计算电场强度的条件和方法；高斯定理反映的电场性质，库仑定律和高斯定理是用不同形式表示电场与场源电荷关系的同一规律。L^£E-出=0说明静电场是保守力场，可引入电势的概念。用两种方法计算电势和由电势计算电场强度的条件和方法导体的静电感应平衡条件及性质；

求电容的一般方法电位移矢量D的意义，电场线和电位移线的区别。教学思路及实施方案：本课应强调：强调库仑定律是静电学的基本实验规律。说明库仑定律只适用于点电荷，当r—0时，任何带电体已不能看作点电荷了；两点电荷之间的作用力在它们的连线上，所以电场力是有心力，可引入电势和电势能的概念。电场力是通过一种特殊的物质一电场来传递的。场强叠加原理是计算电场强度的第一种方法的理论基础，应重点讲解。高斯定理是麦克斯韦电磁场理论的重要组成部分，高斯定理来源于库仑力与距离的严格平方反比。库仑定律和高斯定理是用不同形式表示电场与场源电荷关系的同一规律。用高斯定理计算电场强度的条件是电场分布具有某种对称性，这就要求电荷分布具有某种对称性。用高斯定理计算电场强度实际上是对某些对称分布的场强已知场强的方向，求场强的大小。由于静电场是保守力场，才能引入电势能和电势的概念求解静电平衡的导体问题的基本出发点是电荷守恒定律和导体内部的合场强处处为零。对于线性电介质，只要将真空中的公式的&0—£，即可得到电介质中的相应公式。教学内容：第一节第一节电荷库仑定律一、 电荷守恒定律正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。r2实验原理库仑的扭秤是由一根悬挂在细长线上二、 库仑定律r2实验原理库仑的扭秤是由一根悬挂在细长线上的轻棒和在轻棒两端附着的两只平衡球构成的。当球上没有力作用时，棒取一定的平衡位置。如果两球中有一个带电，同时把另一个带同种电荷的小球放在它附近，则会有电力作用在这个球上，球可以移动，使棒绕着悬挂点转动，直到悬线的扭力与电的作用力达到平衡时为止。因为悬线很细，很小的力作用在球上就能使棒显著地偏离其原来位置，转动的角度与力的大小成正比。库仑让这个可移动球和固定的球带上不同量的电荷，并改变它们之间的距离：第一次，两球相距36个刻度，测得银线的旋转角度为36度。第二次，两球相距18个刻度，测得银线的旋转角度为144度。第三次，两球相距8.5个刻度，测得银线的旋转角度为575.5度。上述实验表明，两个电荷之间的距离为4：2：1时，扭转角为1：4：16。由于扭转角的大小与扭力成反比，所以得到：两电荷间的斥力的大小与距离的平方成反比。库仑认为第三次的偏差是由漏电所致。经过了这们巧妙的安排，仔细实验，反复的测量，并对实验结果进行分析，找出误差产生的原因，进行修正，库仑终于测定了带等量同种电荷的小球之间的斥力。但是对于异种电荷之间的引力，用扭称来测量就遇到了麻烦。因为金属丝的扭转的回复力矩仅与角度的一次方成比例，这就不能保证扭称的稳定。经过反复的思考，库仑发明了电摆。他利用与单摆相类似的方法测定了异种电荷之间的引力也与它们的距离的平方成反比。最后库仑终于找出了在真空中两个点电荷之间的相互作用力与两点电荷所带的电量及它们之间的距离的定量关系，这就是静电学中的库仑定律，即两电荷间的力与两电荷的乘积成正比，与两者的距离平方成反比。库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律，它使电学的研究从定性进入定量阶段，是电学史中的一块重要的里程碑。电荷的单位库仑就是以他的姓氏命名的。库仑定律的意义由库仑定律知：当r—0时，F—8，说明库仑定律只适用于点电荷，当r—0时，任何带电体已不能看作点电荷了。两点电荷之间的作用力在它们的连线上，所以电场力是有心力，可引入电势和电势能的概念。由于库仑力是严格平方反比的，因此才有高斯定理。三、电荷的量子化对于上式我们在定量研究时会发现，r是可测量，而q的大小如何来量度呢？对于测量电量19世纪上半叶的共识是从I=Q/t来定量Q，可见电流是主体，20世纪初叶定义相距1米的无限长且横切面积无限小的两平行导线通同向电流，如果引力=2*10-7N/m，则电流I=1A，Q=1库仑=1A*1s，1948年国际会议决定的第四个基础单位中电流以安培计。在1834年法拉第发现电解定律时，在研究电解中认识到正负离子是带电实体，所带电量是一基本量的整数倍。1886年汤姆孙对气体放电阴极射线进行了大量实验研究，认为阴极射线是从阴极发出的质量非常小的带有负电的粒子流，并测得了这种粒子的荷质比，同时对比光电效应、炽热金属发出的带电粒子的荷质比，发现很近似，经过几十年的实验工作，1899年汤姆孙得出原子并不是不可分割的最小微粒，所有原子内部都有带负电的微粒，电量都相同，质量也相同，但质量很小，只有氢原子质量的千分之一，并可通过不同的方式把它们从原子中扯出来，这种微粒就是电子，电子是构成原子的最小构件，是最早发现的“基本”粒子，汤姆孙由于证实电子的存在和测得电子的荷质比而于1906年荣获诺贝尔物理学奖。1909年，密立根做了著名的油滴实验得出油滴所带电荷总是某一基本电荷的整数倍结论，这个基本电荷就是电子的电荷，1917年密立根正式宣布电子的电荷值是SI下(1.591+-0.002)*10-19C，荣获1923年诺贝尔奖。今天1.602*10-1£。到此我们可以得出，k为常数，在SI中k=8.988*109N*m2*C-2,单位制有理化，令人4双0，于是咨1qq-F= ro4兀8r2e。称为真空电容率或真空介电常量1e0=菽=8.85*10-12C2*N-1*m-2第二节电场电场强度一、电场由上一节学习可以知道，两个相距一段距离的带电体之间存在作用的电力，在第四章中还会看到两个相距一段距离的电流之间存在着相互作用的磁力，两个相距一段距离的物体之间存在着万有引力.两个不相接触的物体间怎么会发生相互作用呢？这种带电体电荷间的电相互作用模式可表示为电荷——电场——电荷31正点电荷的场强分布Cb)顿点电荷的场疆分布带电体上的电荷分布如果是不随时间变化的静止电荷，其周围空间中的电场分布也是不随时间变化的电场，这种电场称为静电轨本章和下一章就先来讨论这种静电场。二、电场强度任何带电体上的电荷都会在其周围空间产生电场，电场的最基本特征是对进人其存在空间的其他电荷产生电作用力为定量地研究电场，我们引人一个这样的电荷：其电量q0很小，以便它引人电场后不会导致产生电场的电荷分布发生变化；同时，这个电荷的几何线度很小，以致于可将其视为点电荷，从而通过它能研究电场空间各点的电场性质这种电荷称为试探点电荷.将试探点电荷且于所研究的电场，设试探点电荷在电场r处受的电场力为F，则F。应与q和反映r处电场性质的一个矢量E(r)有关，设F0=q0E(r)，则。 °0° E(r)=*q是一个与试探点电荷无关、完全反映r处电场本身性质的物理量.反映电场本身性质的物理量E称为电场的电场强度，简称场强.单位牛顿每库仑,N*C-i,IS中常用伏特*米-1，V*m-i。三、 点电荷的电场强度E(r)=世 町 四、 场强叠加原理与任意带电体电场的电场强度由前面一节中关于静电力的叠加原理的讨论可知，N个点电荷q1,q2~,qN组成的点电荷组对位于r处的一个试探电荷q0的静电力为F(r)=.")其中，fi0为点电荷组中第I个点电荷qi对试探电荷q0的作用力。根据电场强度的定义，点电荷组产生的电场在空间r处的电场强度为E(r)=卫空以jr)这里，Ei(r)为点电荷组中第I个点电荷单1独存在时产生的电场在r处的电场强度。式子表明：若干点电荷产生的电扬的电场强度，等于各点电荷单独存在时产生的电场的电场强度的朱量和，这称为电场的场强叠加原理.由于任何带电系统都可以分割成许多可视为点电荷的电荷元的集合，根据点电荷电场的电场强度公式和场强叠加原理，原则上我们可以求出任何带电系统的电场的电场强度。1、 点电荷组的电场强度2、 线电荷带电体的电场强度3、 面电荷带电体的电场强度4、 体电荷带电体的电场强度第三节第三节电力线高斯定理电场的图示法一电场线为了形象地描述电场在空间的分布，按下述规定在电场中画出的假想曲线族：曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；曲线的疏密程度表示场强的大小，具体地说即该点附近垂直于电场方向

的单位面积上穿过的电场线数目等于该点的场强大小。静电场的电场线具有如下性质：在无电荷分布处，任何两条电场线不会相交；不形成闭合曲线，也不中断；而是起自正电荷，结束于负电荷。电通量曲面的法线：电通量的定义：如图所示，以dS表示电场中某一设想的面元，该面元所在处的场强为E，定义该面元的电通量为通过此面元的电场线数目。、d①=E-ds其中，E--面元dS上的场强，d的方向就是该点的法线方向。①e E•ds均匀电场，S是平面，且与电力线垂直电通量①=ES均匀电场，S是平面，与电力线不垂直，①=ES±=EScosa，a是S的法线和电力线的夹角高斯定理德国数学家高斯(1777-1855)，1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，表现出超人的数学天才。1795〜1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯定理是由德国物理学家和数学家K.F.高斯导出的，是电磁学的一条重要定理。高斯定理的推导先讨论最简单的情况。设电场由点电荷q产生，以q为球心作半径为r的球面，其电通量为中=月E-ds』Eds=U4~|—ds=日—月ds=4~|—4兀r2=q结果说明通过球面的电通量与半径无关，而与0点电荷的电量有关。L 以上结论说明：电通量中与所取球面V" 的半径无关。这表示从点电荷q发出的电一s/场线连续地延伸到无穷远处；如果球面不J '包含电荷，则由于q二。，所以中二。。这实际上是由于电场线由源正电荷发出(或终止于负电荷)，所以穿入此曲面的电通量(负通量)和穿出此曲面的电通量(正通量)刚好相消。电通量与封闭曲面的形状无关我们在s和s'闭合曲面上取小片，证明s面上的小片的电通量和s'面上的小片的电通量相等。设内小片的面积为』，外小片的面积为A。—►通过内小片的电通量=E(r)/=E(r)a通过外小片的电通量=E-A=EAcos0=[E(—)2][a(竺2—]cos0=Ea(R) (R) (r)Rrcos0 (r)所以电通量与封闭曲面的形状无关。若封闭曲面S包围由若干点电荷组成的电荷系统｛q,｝，由场强叠加原理不难得出，通过任一封闭曲面的电通量气也有上述结论。高斯定理：对于电场中的任一封闭曲面S，它的电通量气为中=月E-ds=A0式中的q是闭合曲面内的净电荷。上式是高斯定理的数学表示式，它表明：在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的净电荷量的1/e。倍。高斯定理的意义：(1)高斯定理表明静电场是有源场，这个结论对普遍的电磁场也成立。高斯定理的本质是因为电的作用力是与距离的严格平方成反比，因此库伦定律和高斯定理不是两条独立的定理。可以说库仑定律和高斯定理是用不同形式表示电场与场源电荷关系的同一规律。库伦定律：已知电荷求场。高斯定理：已知场，确定任一区域有多少电荷。但必须指出的是：对于静止电荷的电场，它们是等价的；对于运动电荷的电场，库仑定律不再成立，而由于电荷的相对论不变性，高斯定理仍成立。对高斯定理的理解应注意以下几点：场强E是封闭曲面S上各点的场强，它是由封闭曲面内、外的所有电荷共同产生的合场强。通过任一封闭曲面的总通量气仅与面内包围的净电荷量有关，与面外的电荷无关。当气〉0时，有净电场线穿出曲面；当气V0时，有净电场线穿入曲面。3、用高斯定理证明电场线的三个性质、电场线起于正电荷(或无穷远处)止于负电荷(或无穷远处)，在无电荷处电场线不中断。、电场线不形成闭合曲线。、任何两条电场线在无电荷处不相交。思考题：若匀强电场的电场线斜穿过口袋形的闭合曲面，求除袋口外其余部分的电通量(设袋口是半径为r的圆面，E与圆面的法线相交为a角)—>解：因为；%E.亦=0所以：除袋口外其余部分的电通量：中=—[Enr2cosa]高斯定理的应用中』E-ds=A求电荷分布。在式e e0中，高斯面具有任意性。因此，若在某区域内场强分布已知，利用高斯定理可求出此区域内的电荷及分布。求电场分布。jjE.亦=仝由高斯定理：s80，若知道等式的右端（即知道电荷在空间的分布），即知道积分的结果。若要求出定积分的被积函数，在一般的情况下不能做到。但是，由前述我们已经知道，当场源电荷分布具有某种对称性，相应地，它产生的电场也将具有某种对称性。在这种情况下，可以运用高斯定理求出场强分布。这种求解场强的方法一般包含两步:首先，根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性，选取高斯面，计算①/然后，再应用高斯定理计算场强数值。在第一步骤中的关键技巧是根据场的对称性特点选取（或设想）合适的高斯面，以便能使场强E以常量的形式从积分中提出来。例如：点电荷，均匀带电球（体、面），高斯面选球面；无限长均匀带电（直线、拄面、拄体），高斯面选拄面；无限大均匀带电平面及几个无限大均匀带电平行平面，高斯面选拄面。下面通过实例说明该求解过程和方法。例题例1.求均匀带电球的电场分布，已知球面半径为R，所带总电量为q（设q>0）。解：因为电荷分布具有球对称，所以高斯面可以选球面。球外任意一点（半径为,）：由高斯定理：中=jjE-ds=Ejjds=E4兀r2=—S s 0E=———所以： 4双or2 （r〉R）球内任意一点（半径为r）：由高斯定理:由高斯定理:E=衣所以： 4脱oR3 （r<R）E=—堕—特例：1.均匀带电球面：球面外任意一点（半径为r）： 4双or2球面内任意一点（半径为r）：E=0E=———2•点电荷： 4双or2结论：均匀带电球体外、均匀带电球面外任意一点的场强等于把这些电荷全部集中在球心点电荷产生的场强。例2.求半径为R的无限长均匀带电柱体的电场分布。已知带电

柱体的线电荷密度为入（设入〉0）。解：因为电荷分布具有柱面对称，所以高斯面选柱面。柱面外任意一点（半径为Q：由高斯定理：二L二L二一二一一，Xl中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-ds+JJE-ds=E2兀rl=一es 上底 下底 侧面XE= 所以： 2双0r （r〉R）柱面内任意一点（半径为r）：由高斯定理：中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-ds+JJE-ds=E2兀rl=——Xes 上底 下底 侧面 8兀R210E=—r—X所以： 2气R2 (*R)特例：1.半径为R的无限长均匀带电柱面：XE= 柱面外： 2双0rXE= 2兀8XE= 2兀8r02.无限长均匀带电直线：结论：无限长均匀带电圆柱体外、无限长均匀带电圆柱面外任意一点的场强等于把这些电荷全部集中在轴线点电荷产生的场强。例3.求无限大均匀带电平面的电场分布。已知带电平面上面电荷密度为。（设。＞0）。解：高斯面选柱面。由高斯定理：二一二一二一二一—一兀r2b中=JJE-ds=JJE-ds+JJE-d+JJE-ds=E2e=es 上底 下底 侧面b28280所以：第四节第四节静电场的环流定理、电势教学内容：在本节中，将从功能的角度研究静电场的性质，出发点仍是库仑定律。

静电场的保守性和环流定理首先考虑一个特例：考虑在静止点电荷q产生的电场中，移动另一点电荷q0由P1点沿任一路径I到P2点时，静电场力所做的功（如图所示）。qqdA=qEcosudl= o—cosBdl0 4ksr2dA=qqodr4兀g dA=qqodr4兀g r2o由此得:,/cos0dl=dr即在点电荷的电场中，沿任意一路径静电场力移动点电荷所作的功，与做功路径无关，仅与始末位置有关。静电场的这一特性叫静电场的保守性，或者说静电场是保守场，静电力是保守力。静电场的这一特性与引力场非常相似，这是因为万有引力和库仑力都是遵从平方反比律。所以，万有引力做功的结论对于静电力做功也是适用的。因为任何静止带电体系都可以看作是静止点电荷系的某种集合，由叠加原理知，对于带电体系也有相同的结论。也就是说，上述对点电荷产生的电场所得的结论，对场源电荷为任一分布时的电场也适用。静电场的环流定理设想若沿任何一条闭合路径，即始末位置重合，静电力移动电荷做功又为多少呢?用静电场的特性可以马上判断，其结果一定为零。若用场强E的闭合路径线积分表达，其数学表示为：_L—^[E・dl=0在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。这又称作静电场

的环流定理，它反映了静电场的保守性，即静电力是保守力。在电磁场理论中又说为静电场是无旋场。电势能能和电势1.电势能由第三章中保守力与势已经知道，对应一个保守力，相应地存在着一个由位置决定的标量函数，两个不同位置间的标量函数之差反映了该保守力所做的功，这个标量函数称为此保守力的势能。=q=qo\e-dl若规定：W8=0则有电势能为：2.电势由上式，可以看出它反映的静电场力做功是与被移动电荷无关的，仅由场本身决定，故可用关于场强E的线积分来定义与静电场力相对应的这个标量函数，称为静电场的电势，常用U表示，它是描述静电场的另一个基本物理量。w电势•零点一U=i=jE-dl. . 0 r因此在一静电场中任易一点P的电势等于场强沿任一路径由P点到电势零点的线积分，即等于静电场力移动单位正点电荷经任意路径由P点到电势零点所做的功。电势零点的选择具有任意性，如何选择视方便而定。一般地，当电荷分布在有限范围内，常选无穷远处为电势零点。在工程技术中，常把电势零点选在“地上”，需要提起注意的是这个“地”的确切含义，它可能是指大地，也可能是指电路中某一公共导线等，它们是不相同的，需要区分。当激发电场的电荷分布可视为无穷范围时，若选无穷远为电势零点，上式可能出现不收敛，是没有物理意义的，在这种情况下可任选一确定位置为电势零点。在(SI)单位制中，电势的单位为焦耳/库仑(J/C)，也叫伏特(V)。3.电势差由于位置是有相对性的，故由位置决定的一给定电场的电势也是具有相对意义的。但是，对于两给定位置的电势差却具有完全确定的值，这个值代表了在两点间移动单位正电荷时静电力所做的功，用下述公式表示：电势•零点一电势零点一 ^b一一jE-dl—jE-dl=jE-dlrha

由上式可知，电势U实质上就等于与参考点（电势零点）的电势差值。电势的计算电势叠加原理一个电荷系统的电场中任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点产生的电势的代数和。这就是电势叠加原理。电势叠加原理对于求解电场的电势分布是非常有用的，该叠加过程是求标量代数和，相对于E的矢量叠加运算要简单一些。2•点电荷的电场中的电势分布因为：点电荷的电场强度：'4双0r3'U="E-dr="一q_dr=1q所以：Pr r4双0r2点电荷系的电场中的电势Up"Hr带电体的电场中的电势方法一：；""标量积分，已选8为电势零点，积分范围遍及整个带电体）8一一U=jE-dl、 、方法二：Pp;（应已知E=E侦）；这是标量积分并注意若E不连续或有尖点则要分段积分）例1.求均匀带电细圆环在轴线上任一点X处的电势。解：在圆环上任取一小段dl，它在轴线上任一点X处的电势为dUMdldU4双（X2+R2q4双 v'X2+R20U=-^i2血q4双 v'X2+R20则 4双 0 4双v'x2+R20 0

特例：圆心处：x=0。由上面的计算知道:U=-^4兀8R0入U= 兀R若为半圆，则有 4双。1U=±竺若为4圆周， 4双02例2.求均匀带电圆盘在圆心处的电势（设电荷线密度为b）。解：由例题1的结论，我们可以选半径为r，宽度为dl的细圆环。它的电势为：dq=o2兀dq=o2兀rdr4兀8r0b——Rb2b——RU=jR 所以：04双0r 280应注意：例题2是以例题1的结论为基础计算的。例3.求均匀带电球面的电势分布。设球面半径为R，总电量为q。解：由高斯定理：均匀带电球面的球面外任意一点（半径为r）：E=-^4兀8r2均匀带电球面内任意一点°（半径为r）：E=0U="E-dl=—^-所以：球面外任一点（r>R）：r 4兀80rU=』8E-dl=』8一q一dr= q球面内任意一点（半径为r）： r R4兀80r2 4兀80R第五节第五节静电场中的导体和电容_ _F_ _F=qE静电场对引入静电场的电荷要产生力的作用： 求E的三种方法：E=』1dq r 求E的三种方法：E=』—Mq=jjE-ds= dU80dU80；日8UEydy2.静电场对引入静电场的电荷要做功。入广气dUdz。=-q(Ub-U)U-fdqU=『E-dl求U的两种方法：P4双or； Pp；静电场中的导体在电场中引入导体，由于电场与组成导体的带电微粒的相互作用，导体将发生感应现象，原电场分布也将发生变化，这些改变与导体的电结构有关。导体的静电感应平衡条件在电场作用下，导体内的自由电子将发生定向迁移，打破原导体上处处电中性，出现电荷的重新分布，这些电荷叫感应电荷，这种现象叫静电感应现象。感应过程仅持续很短暂的时间(对于铜约为10-19S)就迅速达到新的静电平衡，称为“静电感应平衡”。此时导体内自由电子定向迁移停止，导体上新的电荷分布恒定，导体内外的电场 E应是原外加电场Eo与感应电荷产生的电场E'叠加而成，即_ _ _E-E+E'o对于导体内，平衡时自由电子停止定向迁移，必有感应电场完全抵消外加电场，即导体内的电场必为零；对于导体表面的电场必定要垂直于该表面，因为如果有场强的平行分量存在，电荷将沿表面运动。处于静电平衡的导体，有许多重要性质：由场强与电势梯度间的关系，导体静电平衡条件还可等价地表述为：处于静电平衡的导体是一个等势体，导体表面即为等势面。导体内净电荷处处为零；电荷只能分布在导体表面。导体表面上任一处的电荷面密度与该点紧邻处的场强大小成正比。(4)对于孤立的导体，当其处于静电平衡时，表面电荷面密度与该位置处导体表面的曲率半径有关。一般而言，曲率半径越大，电荷面密度越小；反之，电荷面密度越大。例1.A为导体球，B为与A同心的导体球壳，如图所示。R=—mR=—mR= m _一已知：求：（1）（2）气523R32.5QA=4X10-6C,QB=-2x10-已知：求：（1）（2）各表面的电量％，q2,q3;ub=?（3）解：（1）U=（3）解：（1）因为导体带电只能带在表面上，所以qi=Qa=4X10-6C。又因为导体内部场强处处为零，由高斯定理得到：q2=-4x10-6C。再由电荷守恒定律：q3=2x10-6c。U="E-dl="Edr= 一=4.5x104V（2） BR3 R3 4双0R3U=J%E-dl=jR2Edr=-Q^（——土）=7.2x104V（3） ABR1 R1 霍0R1R2例2.对于如图所示的无限大带电平板，证明，相对的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。解：方法1：设两块平板分别带电Qa，Qb，由电荷守恒定律:

(1)

b3s+b4s=Qb （2）由于导体内部的合场强为零，且每层面电荷产生的场强为a%0，方向垂直带电面指向两侧。1（3） （b-b-b-b）=0（3）01 ， 、八（4）b=-a2 3 （b+b+b-（4）b=-a2 3联立求解得到：b]=气方法2：由高斯定理和导体平衡条件可得：—>jf.E-ds=（b+b）As&nb=-b再由电荷守恒定律即可得到相同的结论。情况又如何？忽略金属板的边缘效应。两板间距为h。解：（1）例3.有一块大金属平板A,面积为S,总电量为q,今在其近旁平行放置第二块大金属平板B（如图所示），此板原来不带电。求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布。若把第二块金属板接地情况又如何？忽略金属板的边缘效应。两板间距为h。解：（1）由电荷守恒定律：（1）（2）且每层面电荷产生的场强bs+（1）（2）且每层面电荷产生的场强bs+bs=0由于导体内部的合场强为零为6%0，方向垂直带电面指向两侧。（3）-^（b-b-b-b）=0（3）0（4）=—q2sa=0-^（b+b（4）=—q2sa=00联立求解得到：b1=b2=b4，b3（2）若把第二块金属板接地，则有:由电荷守恒定律：bs+bs=q

由于导体内部的合场强为零，且每层面电荷产生的场强为62£0，方向垂直带电面指向两侧。1 - —、C（3）（4）—qs （6-6（3）（4）—qs0-^（6+6+6）=00联立求解得到：61=0，62=qs6第六节第六节电容和静电场能量一、电容、电容器电容器的电容两个靠得很近的导体所组成的电容器。常见的电容器有平行板电容器、圆柱电容器、可变电容器等。电容器的电容：—q—qUU—U在国际单位：制（/『）中，电容的单位是法拉（F）,l法位=1库仑/伏特平行板电容器首先以平行板电容器为例给出由两个导体组成的电容器的电容定义。一对平行平面导体A、B的面积很大，且靠得很近，若A、B两板带等量异号电荷，电场线将集中在两表面之间的狭窄空间内，这时外界的其它带电体和导体所引起的干扰，对二板间的电势差的影响实际上可以忽略，我们可把这种装置看成是电容器（平行板电容器），两导体板叫电容器的极板。若增加或减少极板的电量q，不难分析得出两极板间的电势差也随之成正比的增加或减少。因此，UabUab=Ua-UbE=—8 .0.q8sC= =—0-Ud球形电容器E=—竺drC= =4兀8 A~B—nU 。C= =4兀8 A~B—nU 。R-RC=4兀8R•••abRb 粮0RaR特例：孤立导体球的电容：RbT3，

求电容的一般方法：(1)根据电荷的分布求电容器的丘;R一一(2)"一华由dnUb=—iAE(2)"一华由dnR

BC―由C―由UAB(3)电容器的联结(1)串联且C一定与q无关。1(U-U)+(U-U)+—UUA-UB+UBUC+...qq1TOC\o"1-5"\h\z1 1——+一+...q C2C=qi+q2+…+qn=C+C+...+C(2)并联U-U1 2n例3.求圆柱形电容器的电容，如图所示。电容器由两个同轴柱例3.求圆柱形电容器的电容，如图所示。电容器由两个同轴柱i,形导体A、B组成，设其半径分别为ra、rb(raVrb)，长度为且i>>R广RA，两端的边缘效应可忽略。解：因为1»rb-ra，所以可把两个同轴柱形导体A、B视为无限长。由电场的高斯定理可以得到：入E= 2K8r， (R<r<R)两板之间的电势差： 人bU=jrbE-dr=jrb——_r=———ln^BAB ra ra2双r 2双 RC—=加oL圆柱形电容器的电容： UabIn气RJ带电系统的能量考虑一带电体的电量Q是一份、一份地从无限远处搬到这个带电体上的。当带电体具有电量q，相应的电势为U时，如果再把另一份dq从无限远处搬到这个带电体上时，需做功静电场是保守力场，外力做的功应该等于带电体所具有的电势能。dA=dA=UdqnA=jdA=jUdqw=A=QUdq所以，0电容器储存的静电场能量电容器的充、放电过程分别是电容器建立电场、储存电能和释放电能的过程。现在我们首先计算电容器所储存的电能.以充电过程为例,设充电后电容器极板所具有的电量为Q,电压为U,电容为C。求解思路是：若计算了在充电过程中电场力做的功就可算得该电能。设充电过程中任一时刻t，电容器的电压为u，极板电量为q，则有u=q/C若经过dt又充入微小电量dq，则外力做功dA为dqqnA=Q也=空dA=udq=qC 0C 2C外力做功即为电容器储存的电能Q2 1 1w=a=Q-=三uBq=2cu?b也就是电容器内电场能量的表达式。电场的能量电场的能量从场的观点看，电容器储存的电能即为电容器内电场的能量。下边以平行板电容器(匀强电场)为例，导出以场量给出的电场能量形式。w=2CUBb 对于平行板电容器：UAB=Ed， C=7代入得w=1竺E2d2=1&E2V=1DE2d2 2上式虽然是由平行板电容器这个特例推出的，但可以证明它对于任何电场均成立。上式从场的观点表达了电场能量在电场存在的空间内的分布，它表明电能是储存于电场中的，电场是电能的携带者，特别是对于时变电磁场，更证实了此观点的正确性。一般地，任一带电系统的电场是非均匀的，电场能量为W=j(—DE)dVV电场能量密度第七节第七节电介质一.电介质及其极化电介质是几乎没有自由电荷的一类物质。当把电介质引入电场时，虽然电介质中的电子仍不能远离它所属的原子，但电介质上的电荷分布要发生变化，同时也要引起外电场的改变。电介质的分类：无极分子；有极分子电介质的极化：（1） 无极分子的位移极化；但无极分子电介质处在静电场中时，在电场力的作用下，分子的正负电荷中心将发生相对位移，形成电偶极子，它们的等效电偶极矩万的方向都将沿着电场的方向。对于整块均匀的电介质，在它内部处处仍然保持电中性，但是在电介质的两个和外电场相垂直的表面上，将分别出现正电荷和负电荷，这些电荷不能脱离电介质，也不能在电介质中移动，我们称为极化电荷（束缚电荷）。电介质的极化：我们把这种在外电场作用下，在电介质中出现极化电荷的现象称为电介质的极化。这类分子可以