理科十推理与证明学生

第十四章 推理与证明第一节合情推理与演绎推理题型185 归纳推理例题14.1设函数f（x）＝ ，观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当＿＿＿．例题14.2定义Fn(A,B)表示所有满足ABa1,a2,,an的集合A,B组成的有序集合对的个数．试探究F1(A,B),F2(A,B),，并归纳推得(A,B)Fn(A,B)=_________.例题14.3如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列按如此规律下去，则 a2009 a2010 a2011a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6

1，由下往上的六个点：a(nN*)的前12项，如下表所示：n.a12例题14.4已知函数y6(1)nsinx2n,x[2n,2n1)f(x)2,(nx(1)n1sin2n2,x[2n1,2n2)2,若数列{a}满足amm)(mN),且am的前m项和为Sm,则f(m2S2014S2006=.例题14.5意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，,其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割 0.6180339887,．人们称该数列 {an}为“斐波那契数列” ．若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2014项的值是_______例题14.6观察下列等式：sin2cos2300sincos3003；4sin2cos24502sincos4501；2sin2cos26003sincos6001；4229002sincos0；sincos900可以猜想出结论：训练题1[2014·北京卷]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人训练题2[2014·福建卷]已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．训练题3[2014·陕西卷]x(x)＝f(x)，f(x)＝f(f(x))，n已知f(x)＝1＋x，x≥0，若f1n＋1n?N＋，则f2014(x)的表达式为________．训练题4[2014·福建卷]若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．训练题5[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．训练题6[2014·陕西卷]观察分析下表中的数据：多面体面数()顶点数()棱数()FVE三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中

F，V，E所满足的等式是

________．训练题

7向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正

n n

3,n

N

边形内的概率为

pn，下列论断正确的是A．随着

n的增大，

pn增大

B

．随着

n的增大，

pn减小C．随着

n的增大，

pn先增大后减小

D．随着

n的增大，

pn先减小后增大训练题

8n个连续自然数按规律排成下表，

根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（

）A．↓→ B．→↓C．↑→D．→↑训练题9题型186 类比推理例题14.7观察下列等式：C51C55232，C91C95C992723，C131C135C139C131321125，C171 C175 C179 C1713 C1717 215 27，,,,由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*1594n1，C4n1C4n1C4n1C4n1．例题14.8（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=2232,所以36的所有正约数之和为(123)(223222222（323)(12323)(22参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________例题14.9将函数y1的图象绕原点顺时针旋转45后可得到双曲线x2y22．据此类x推得函数y4x的图象的焦距为．x1O为直线AB外的一点，则点P在直线AB上的充要例题14.10在平面上有如下命题：“条件是：存在实数x,y满足OPxOAyOB，且xy1”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：例题14.11已知命题：在平面直角坐标系xoy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆x2y21(mn0,pm2n2)上，则sinAsinC1（其中e为椭圆m2n2sinBexoy中，的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线x2y21(mn0,pm2n2)上，则．m2n2例题14.12设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用V表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到O－ABC→→→→平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S·OA＋S·OB＋S·OC＝0.将它类比到空△OBC→△OCA→△OBA→间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有__________________________．例题14.13在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)1[k(k1)(k2)(k1)k(k1)],由此得1(131223012),3231(234123),,3n(n1)1[n(n1)(n2)(n1)n(n1)].3相加，得1223n(n1)11)(n2).n(n3类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果为．例题14.14设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2SS－ABC的四个面的面积分别为S1234a＋b＋c；类比这个结论可知：四面体、S、S、S，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝.训练题1若a0,a1,a2,an成等差数列，则有等式C0a0C1aC2a2(1)nCnan0成立，类比上述性质，相应地：若b0,b1,b2,bnnn1nn成等比数列，则有等式___成立。训练题2已知(2x1)na0a1xa2x2...anxn中令x0,就可以求出常数，即1a0.请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题若xaixix234n，则123n=e，即ea0a1xa2xa3xa4xanxa1a2a3ani0训练题3先阅读下面的材料：“求111的值时，采用了如下方法：令111x，则有x1x，两边同时平方，得x21x，解得x15（负值舍去）．”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法，可以求得2函数F(x)3333xx的零点为________．训练题4已知数列an是正项等差数列，若Cna12a23a3nan，则数列Cn也为等123n差数列.类比上述结论，已知数列bn是正项等比数列，若dn=，则数列{dn}也为等比数列.训练题5我们知道无限循环小数0.31，现探究0.77。设0.7x，由0.70.777...可397知10xx7.777...0.777...，即10xx7，从而x。则类比上述探究过程，用9分数形式表示0.735训练题6数学家科拉茨在 1937年提出了一个著名的猜想： 任给一个正整数 n，若它是偶数，则将它减半（即 n），若它是奇数，则将它乘 3加1（即3n 1），不断重复这样的运2算，经过有限步后，一定可以得到 1。如初始正整数为 6，按照上述规则，我们得到一个数列：6,3,10,5,16,8,4,2,1 。根据此猜想，如果对于正整数 n（首项），经过变换（注： 1可以多次出现）后的第 8项为1 ，则n的所有可能的值为第二节证明题型187 综合法与分析法证明例题14.14设函数f(x)ax2bx且f(1)a，2c2b。求证：2（），且3b31a0a4(2)函数f(x)在0,2中至少有一个零点（3）设x1,x2是f(x)的两个零点，则2x1x2574例题14.15在三角形ABC中，A,B,C成等差数列，其对边分别为a,b,c，求证：11a3cabbcb题型188反证法证明例题14.16若a,b,c均为实数，且ax22y,by22z,cz22x236求证：a,b,c中至少有一个大于0题型189数学归纳法例题14.17用数学归纳法证明：11111111...1N)134...(n22n12nn1n2n3nn11L113(n2)例题14.18用数学归纳法证明不等式n1n22n24时的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边。。。。。。。。。。。。。。。（）A．增加了一项1B．增加了两项112(k1)2k12(k1)C．增加了两项11，又减少了一项12k12(k1)k1D．增加了一项1，又减少了一项12(k1)1k其它训练题训练题

1如图

1，在△OAB中，M是

AB边上的点，则

→ MB→ MA→OM＝ABOA＋ABOB，类比到空间向量，如图

2，在四面体

OABC中，M是△ABC内一点，那么下列结论正确的是

·· （

）O

OAMBAMC图1图2BMB＋MC→MC＋MA→MA＋MB→A.OM＝MA＋MB＋MCOA＋MA＋MB＋MCOB＋MA＋MB＋MCOC→B. OM＝

BC

→OA＋

CA

→OB＋

AB

→OC△ABC的周长 △ABC的周长 △ABC的周长→d1→d2→d3→C.OM＝d＋d＋dOA＋d＋d＋dOB＋d＋d＋dOC123123123（其中d、d、d分别表示M到BC、CA、AB的距离）123D.→S△MBC→S△MCA→S△MAB→OM＝OA＋OB＋OCS△ABCS△ABCS△ABC训练题2若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如1421197,19717，则f(14)17,记f1(n)f(n),f2(n)f(f1(n)),,fk1(n)f(fk(n)),kN*,则f2012(8)=训练题3在含有3件次品的10件产品中，取出n(n10,nN*)件产品，记n表示取出的次品数，算得如下一组期望值En：当n=1时，当n=2时，当n=3时，,,

EEE

123

0C30C711C31C703C101C101;100C30C721C31C71C32C706C102C1022;C102100C30C731C31C72C32C71C33C709C103C10323;C103C10310观察以上结果，可以推测：若在含有M件次品的N件产品中，取出*件产品，记ξ表示取出的次品数，则Eξ=．n(nN,nN)nn训练题4已知a＜b，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有．（填上所有错误步骤的序号）a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，,①2a﹣2b＜b+a﹣2b，即2（a﹣b）＜a﹣b，,②2（a﹣b）?（a﹣b）＜（a﹣b）?（a﹣b），即2（a﹣b）2＜（a﹣b）2，,③∵（a﹣b）2＞0，∴可证得 2＜1．,④训练题5对一块边长为 1的正方形进行如下操作 :第一 步,将它分割成 3x3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S15；第二步,将图9①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第,步,所得图形的面积Sn(5)n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则9(I)当n=1时,所得几何体的体积V1=______.(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn=______.训练题6现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a2．类比到4空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为123n2n1n234n1n1训练题7在n行m列矩阵345n12中，n 1 2 n 3 n 2 n 1记位于第i(,1,2,)。当n9时，。行第j列的数为jna11a22a33a99aiji训练题8设V是全体平面向量构成的集合，若映射f:VR满足：对任意向量a=（x1，y1）?V，b=（x2，y2）?V，以及任意 ?R，均有f( a(1 )b) f(a) (1 )f(b),则称映射f具有性质 P。现给出如下映射：①f1:VR,f2(m)x,y,m(x,y)V;②f2:VR,f2(m)x2y,m(x,y)V;③f3:VR,f3(m)xy1,m(x,y)V.其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）训练题9观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，,，则52011的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．8125训练题10设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是A．T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T,V中每一个关于乘法都是封闭的训练题11在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线f(x)x(x0)x2训练题12设函数,观察:f1(x)f(x)x,x2f2(x)f(f1(x))x,3x4f3(x)f(f2(x))x,7x8f4(x)f(f3(x))x,15x16根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)).训练题13观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为,,。训练题14观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10A．28B．76C．123D．199训练题15正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7.动点P3从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10训练题16我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求16其直径d的一个近似公式dV.人们还用过一些类似的近似公式.根据9π=3.14159 判断，下列近似公式中最精确的一个是11.316B．d32VC．d3300VD．d321dV157V911训练题17观察下列不等式1132221115，22333111172232424,,照此规律，第五个不等式为.．．．训练题n18设N=2（n?N*，n≥2），将N个数x1,x2,,，xN依次放入编号为1,2，,，N的N个位置，得到排列P=xx,x.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序012N依次放入对应的前N和后Nx,xxx,x，将此操作称为C变换，个位置，得到排列P=xN-12211324N将P1分成两段，每段N个数，并对每段作C变换，得到p；当2≤i≤n-2时，将Pi分成22Ni2段，每段2i个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x位于P中的第4个位置.72（1）当N=16时，x位于P中的第___个位置；72n（2）当N=2（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.训练题19回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，,，99．3位回文数有90个：101，111，121，,，191，202，,，999．则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）2n 1(n N)位回文数有 个．训练题20某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数 .1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2°）+cos222（-1848°-sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.训练题21若Snsinsin2...sinn（nN