正余弦定理解三角形教案

个性化教案教师以学生也填写时间学科数学年级上课时间课题名称正余弦定理解三角形课时计划教学目标1.正、余弦定理解三角形..正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积..正余弦定理的实际应用(灵活运用)教学重点难点.掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法..正、余弦定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积.【知识梳理】abc1.正弦定理：而A=而后;sF=2R,其中口是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：⑴a:b:c=sinA：sinB：sinC；(2)a=2Rsin_A,b二2Rsin_B,c二2Rsin_C；abc(3)sinA=-n,sinB;而sinC二派等形式，以解决不同的三角形问题.2R2R 2R2.余弦定理：a2=b2+C2-2bccos_A,bz=a2+C2-2accos_B,C2=a2+b2-22匕4S_二余弦定理b?+C2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2可以变形为：cosA二F^，c0sB=F^，cosC=F^1 1 1abc13s加炉2absme=2bcsinA=2acsinB=k2(a+ b+c)・("三角形外接圆半径，「是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R,r..三角形内角和为口，故有sinA>0sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C).三角形大边对大角，或者说大角对大边。即：若24从处5用人>。n8知一推二优质资料.正弦值（不是1）的情况下，对应角度有两个，而余弦值与角度一一对应。【常考考点】.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法..考查利用正、余眩定理判断三角形的形状以及计算三角形的面积..正余弦定理的实际应用（灵活运用）【解题关键】.三角函数及三角恒等变换的基础..正弦定理、余弦定理实现边角互化。（通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的正确选择）..能利用三角形的判定方法准确判断解三角形的情况。.三角形的边角关系（大边对大角）、三角形内角和180度。.巳知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如巳知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形为“AR^\aAB—U：关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b解的个数无解-解两解-解-解无解【一条规律】在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即fiAABC中，4>B=a>bosinA>sinB.优质资料

【两类问题】在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）巳知两角及任一边，求其它边或角；（2）巳知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）巳知两边及夹角求第三边和其他两角；（2）巳知三边，求各角.【两种途径】根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：⑴化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余眩）定理实施边、角转换.双基自测1.（大教人版教材习题改编）在4A8©中，A=60°,B=75°,a=10,则c等于（）.A.5\；'2b.10\j2C.年6D.5,..；6解析mA+B+C=180°,知C=45°,由正弦定理得:ac由正弦定理得:acsinA-sinC，10c2210c22答案C2.在448©中，若毛2=嘴，则8的值为（）.auA.30A.30°B,45°C,60°D,90°解析由正弦定理知:sinAcossinAcosBsinA-sinB.•.sinB=cosB,/.B=45°.答案B3.（2011・XX联考）在448©中，a=\：：3,U=1,c=2,则A等于（）.优质资料

A.30°B.45°C60°D.75°b2+C2-a21+4-31解析由余弦定理得：cosA=—而—=9.9=,2bC 2x|X22,:0<A<n,..A=60°.答案C4.在4A8©中，a=3、；2b=2x.-3,cosC=；,则△48©的面积为（）.A.3\阳2、"C.4\佰D.J3解析•.•cosC=1，0<C<n,3.sinC=华，31."△AB42absme1 2.,'，2=2*3\：’2、2,'3'—3—=4\；3答案C5.巳知AABC三边满足a2+b2=C2「/3ab,则此三角形的最大内角为解析•/a2+b2-C2=--,i.13ab,.•.cosC=22.•.cosC=22+匕2-C2 \；32ab故C=150°为三角形的最大内角.答案150°考点一利用正弦定理解三角形【例1【例1】在好8©中，a=、",b=x，'2,8=45°.求角A,©和边口［审题视点］巳知两边及一边对角或巳知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注优质资料

意解的判断由正弦定理得_sinA-sinB，sinA-sin45意解的判断由正弦定理得_sinA-sinB，sinA-sin45°.•.sinA二2,•.•a>b,..A=60°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,bsinC-.，/+富C=^FB= 2 ；当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°,bsinC-逮C=^iKB= 2 1方，法总堵》(1)巳知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代人求解即可⑵巳知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应弓I起注意.【训练1】(2011・)在448©中，若匕=5,乙B='tanA=2,则sinA=；a=解析因为AABC中，tanA=2,所以人是锐角,sinA且=2,sin2A+cos2A=1,cosA联立解得9=『,ab再由正弦定理得而不=而百代人数据解得@=2%：讪.答案竽2"10优质资料

b2b2a+ccosB【例2】在448©中，a、b、c分别是角A、B、©的对边，且不=cosC⑴求角8的大小；⑵若匕=、口3,a+c=4,求△ABC的面积.［审题视点］由结=-义，利用余弦定理转化为边的关系求解.cosC2a+ca2+C2-b2解(1)由余弦定理知：cosB」2aca2+b2-c2cosC=——t-.2ab将上式代入黑=-而黑得：TOC\o"1-5"\h\zcosC 2a+ca2+c2-b2 2ab b2ac %2+b2-c2--2a+c，整理得：a2+c2-b2=-ac.a2+c2-b2-ac1・cosB= = =--cos 2ac 2ac 2・••B为三角形的内角，,B=3n.⑵将b=\:诅，a+c=4,B=—n代人b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,( 11.•.ac=3..•.13=16-2ac[l-2j,.•.ac=3.1△AB41△AB42acsinB=4优质资料市工总品》(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.⑵熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练2】巳知A,B,C为△48©的三个内角，其所对的边分别为a,b,c,A且2cos2,+cosA=0.⑴求角人的值；(2)若2=2\：叽b+c=4,求△ABC的面积.A解(1)由2cos2^+cosA=0,得1+cosA+cosA=0,即cosA=-2,2n,/0<A<n,AA=—.32n⑵由余眩定理得，a2=b2+c2-2bccosA,A=--,3则a2=(b+c)2-bc,1a=2\；3,b+c=4,有12=42-bc,则bc=4,故Sar=5bcsinA=\/3△ABC2 N考点三利用正、余眩定理判断三角形形状【例3】在448©中，若伽+匕2)$用伊-8)=⑶-匕2)5mC试判断4A8©的形状.[审题视点]首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解 由巳知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,得b2[sin(A-B)+sinC]=a2[sinC-sin(A-B)],优质资料即bzsinAcosB=a2cosAsinB,即siiBsinAcosB=sinzAcosBsinB,所以sin2B=sin2A,由于A，8是三角形的内角.故0<2A<2n,0<2B<2n.故只可能2A=2B或2A=n-2B,即A=B或A+Bj.故AABC为等腰三角形或直角三角形方浣总堵。判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系.……4abc，一【训练3】在4A8©中，若^二.一则△48©是（）.cosAcosBcosCA.直角三角形B.等边三角形C钝角三角形D.等腰直角三角形解析由正弦定理得2=2口5m人，b=2RsinB,c=2RsinC（R为△48©外接圆半径）.sinAsinBsinC二r= = 7^.cosAcosBcosC即tanA=tanB=tanC,aA=B=C.答案B考点四正、余弦定理的综合应用优质资料【例3】在4A8©中，内角人，B,C对边的边长分别是2,b,c,巳知c=2,C=H-36若4A8©的面积等于飞氏求2,b；⑵若sinC+sin(B-A)=2sin24，求4A8©的面积.［审题视点］第⑴问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a,b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据5m©+5后笛-2=20。2人进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边2，匕的值即可解决问题.解(1)由余弦定理及巳知条件，得22+匕2-2匕=4.1 fa2+b2-ab=4,又因为△A8©的面积等于［3,所以2absinC=q3"^ab=4,联立方程组|胪_4 解fa=2,叫…［b=2.⑵由题意，得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA.当cosa=o,kdA=n时，B=H,2 6a=¥,b=芋；当cosAnO时，得sinB=2sinA,由正弦定理，得匕=2在由2+b2-ab=4,联立方程组、c[b=2a,优质资料<解得一一1一2】：3所以△48©的面积S=5absinC=W-.23门坛总注》正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题.4【训练3】（2011.西城一模）设AABC角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且c0sB飞,b=2.⑴当A=30°时，求2的值;⑵当△人8©的面积为3时，求a+c的值.43解⑴因为c0sB=5,所以SinBFab a10由正弦定理^=3,可得由，,13(2)因为AABC的面积S=3ac・sinB,sinB=—,253所以10ac=3,ac=10.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,得4=a2+c2-—ac=a2+c2-16,KDa2+c2=20.5所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40.所以a+c=2\：而优质资料阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但梢不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.，【防X措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】(2011・)在448©中，a,b,c分别为内角A，B,C所对的边长，a=\：3b=x,'2,1+2^5笛+6=0,求边BC上的高.错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根.实录由1+2cos(B+C)=0,知cosA=2，aA=3，ab根据正弦”S市二而^得：sinB.哑上必，.B/或知sna2 4或4.以下解答过程略正解;在448©中，cos(B+C);-cosA,.,.1+2cos(B+C)=1-2cosA=0,「.A=n.3abRABC中，根据正弦定理而^sn6.sinB二千二场a2•.•a>b，..B=4，.C=n-(A+B)=12n.sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA优质资料一旦1+也事一通+巡-2X2+2 2- 4 -・•・BC边上的高为bsinC=\以业广2二哼1【试一试】△48©的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=<2a._b⑴心a⑵若C2=b2+、^3a2,求B.［尝试解答］⑴由正弦定理得,siiAsinB+sinBcos2A=-jDsinA,RDsinB(sin2A+coszA)二.、/2sinA.故sinB=&sinA,所以a=、B+■於aTOC\o"1-5"\h\z⑵由余弦定理和c2=b2+13a2,得cosB= 廉 .2c由⑴知b2=2a2,故c2=(2+\E)a2.可得^528=；,又cosB>0,故cosB=半，所以B=45°.【巩固练习】1.在锐角^ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=、弓b,则角A等于( )“兀 冗 兀 冗A.-B.—C.—D.—3 4 6 12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB二asinA，则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定.在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=—b,且a>b,则/B=2( )优质资料4.AABC的内角A,B,4.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2兀B=-66一兀 一C=-，则AABC的面积为|((A)2<3+2(B)<3+1(C)2声-2(D)<3-15.AABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1b=V3，则c=()2,/32D.16,设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB，则角C=( )A.A.IB.弓C,9D.5兀~67.已知锐角7.已知锐角.BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6，则b()A.