微分中值定理经典题型

第2章微分学中值定理及其应用-习题课(1)课堂练习举例主要内容2021/5/91洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理Fermat定理主要内容2021/5/92分析:设欲证:使只要证亦即证明作辅助函数

验证在上满足罗尔定理条件.课堂练习2021/5/93证明反证法,由第1题!若将第1题改为:提示：2021/5/94求证存在使2.设可导，且在连续，证明：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得2021/5/95在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证明第2题的特殊情况:n=2!2021/5/96证明不妨设设证明对任意有3.2021/5/974.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且试证必存在分析:

所给条件可写为想到找一点c,使证明:

因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在2021/5/98证明:2021/5/992021/5/9106.试证至少存在一点使法1令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在2021/5/9117试证至少存在一点使证:

法2

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:2021/5/9128.且试证存在证明:

欲证因

f(x)在[a,b]上满足L-中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证2021/5/913证例1举例2021/5/914两式相减,则有2021/5/9152021/5/916例2证明:两式相减,得令h→0,两边取极限,利用f

〃(a)

的连续性得2021/5/917

有关中值问题的解题方法小结利用逆向思维

,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理

.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,多半用Taylor和lagrange公式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.2021/5/918第2章导数应用-习题课(2)课堂练习举例主要内容2021/5/919主要内容单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘.导数的应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线.2.解决最值问题

目标函数的建立与简化

最值的判别问题3.其他应用:证明不等式;研究方程实根等.2021/5/9201.可导函数单调性判别在I

上严格单调递增在I

上严格单调递减在I

上单调递增在I

上单调递减2021/5/9212.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值2021/5/9223.在[a,b]上连续的函数f(x)的最大（小）值求法求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2021/5/9234.连续曲线凹凸与拐点（1）凸（凹）函数的定义2021/5/924（2）凸函数的判定判定法则1判定法则2判定法则32021/5/925(3)拐点的定义及判定法拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点过由正变负或过由负变正判定法则12021/5/926例1证举例2021/5/927例2证明方法1：202