一元二次方程根与系数的关系典型例题

/一元二次方程根与系数的关系[同步教育信息]一.本周教学内容：一元二次方程的根与系数的关系［学习目标］

1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系〔即：韦达定理及逆定理；

2.灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根.构作根满足某些要求的新方程。

3.在解题中锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；

4.提高自己综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。

5.体会特殊到一般.再由一般到特殊的认识事物的规律.有意培养自己发现规律的兴趣.及树立勇于探索规律的精神。二.重点、难点：

1.教学重点：一元二次方程根与系数关系及其推导和应用.注意往往不解方程.用两根和与积或各系数就可解决问题.这时解了方程反而更麻烦。

2.教学难点：正确理解根与系数的关系.掌握配方思想.把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。[典型例题]例1.已知方程的一个根是.求它的另一个根及b的值。分析：含字母系数的一元二次方程中.若已知它的一个根.往往由韦达定理可求另一根.并确定字母系数的值。解：〔方法一设方程的另一根为.则由方程的根与系数关系得：解得：〔方法二由题意：解得：根据韦达定理设另一根为x.则点拨：解法一较简单.主要原因是突出了求解的整体性。例2.已知方程的两根为.求下列代数式的值：〔1；〔2；〔3分析：若方程两根.则不解方程.可求出关于的对称式的值.只须将其配成含有、的形式。解：由已知.根据韦达定理〔1〔2〔3点拨：体会配方思想.将代数式配成含有的形式.再代系数即可。例3.已知：是两个不相等的实数.且满足.那么求的值。分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根.再对所求代数式配方变形。解：由题意.为的两个不等实根因而有又点拨：善于转化未见过的题.充分挖掘已知条件。例4.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根.求k的值。解：〔解法一设方程两根α、β.方程的两根.则有：由当时.代入当时.由代入则代入把代入<2>中.或〔解法二将与相减得：此时方程根为0或.即题中两方程相同根为0或〔1若是0则；〔2若是.则；或点拨：两种解法各有千秋.一运用了解方程组思想.二运用了"若方程与有公共根.则公共根必满足方程"的结论。例5.已知方程〔1若方程两根之差为5.求k。〔2若方程一根是另一根2倍.求这两根之积。分析：对含字母系数的一元二次方程.可根据题设中方程根与系数关系.确定方程系数字母的值。解：〔1设方程两根与.由韦达定理知：又〔2设方程两根.由根系关系知：点拨：已知两根的关系.应用韦达定理解决系数求值问题。例6.已知方程两根之比为1：3.判别式值为16.求a、b的值。分析：必用判别式.又韦达定理知..显然可求a、b。解：设已知方程的两根为m.3m由韦达定理知：即把代入得：点拨：把判别式、韦达定理综合出题.更易贯通新旧知识。例7.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。〔1用含m的代数式表示；〔2当时.求m的值。分析：应注意.即可用根系关系。解：〔1由题意：〔2由〔1得：解得：检验：当时.原方程无实根。∴舍去当时.原方程有实根。∴点拨：易忽略检验.要学会灵活应用一元二次方程有关概念.及判别式.根系关系。例8.已知方程的两根为.求一个一元二次方程.使它两根为和。分析：所求方程.只要求出的值即可.转化成例2类型了。解：设所求一元二次方程为为方程的两根∴由韦达定理又∴所求一元二次方程为即：点拨：应用根系关系构造方程.如果方程有两实根.那么方程为.当为分数时.往往化成整系数方程。［总结扩展］

1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系.是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具.必须熟记.为进一步使用打下基础。

2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导.向学生展示认识事物的一般规律.提倡积极思维.勇于探索的精神.借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力。

3.本节课学习了根与系数的关系的应用.主要有如下几方面：〔1验根；〔2已知方程的一根.求另一根；〔3求某些代数式的值；〔4求作一个新方程……

4.通过根与系数的关系的应用.能较好地熟悉和掌握了根与系数的关系.由此锻炼和培养了学生逻辑思维能力。[模拟试题]〔答题时间：40分钟一.选择题。

1.已知是关于x的一元二次方程的一个根.则k与另一根分别为〔

A.2.-1

B.-1.2

C.-2.1

D.1.-22.已知方程的两根互为相反数.则m的值是〔

A.4

B.-4

C.1

D.-13.若方程有两根.一根大于1,一根小于1.则k的取值范围是〔

A.

B.

C.

D.4.若方程的两根中.只有一个是0.那么〔

A.

B.

C.

D.不能确定5.方程的大根与小根之差等于〔

A.

B.

C.1

D.6.以为根的.且二次项系数为1的一元二次方程是〔

A.

B.

C.

D.二.填空题。

7.关于x的一元二次方程的两根互为倒数.则m＝________。8.已知一元二次方程两根比2：3.则a.b.c之间的关系是______。

9.已知方程的两根.且.则________。

10.已知是方程的两根.不解方程可得：________.________.________。11.已知.则以为根的一元二次方程是______________________________。三.解答题。

12.已知方程的两个实根中.其中一个是另一个的2倍.求m的值。13.已知方程的两根不解方程.求和的值。

14.已知方程的两根.求作以为两根的方程。

15.设是方程的两个实根.且两实根的倒数和等于3.试求m的值。[试题答案]一.选择题。

1.A

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B二.填空题。

7.

8.设.则

9.或时.原方程△＜0.故舍去.

10.

11.由此或或所求方程或三.解答题。

12.解：设方程的一个根为x.另一根2x由根系关系知：解得：

13.解：由题设条件

14.解：由题意即故所求方程是.即

15.解：由由不符合题意.舍去[励志故事]果断有一个6岁的小男孩.一天在外面玩耍时.发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地.从里面滚出了一个嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩决定把它带回家喂养。当他托着鸟巢走到家门口的时候.他突然想起妈妈不允许他在家里养小