幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算法则-教案及幂函数与二次函数

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案?教学目标1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程．3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题．教学重点与难点重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导．教学过程设计师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程1.072x=4．我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．师：请同学谈谈对对数这个定义的认识．生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法．生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．（此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．）师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法．师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯）?式子名称?abN?指数式对数式ab=NlogaN=b???练习1?把下列指数式写成对数形式：练习2?把下列对数形式写成指数形式：练习3?求下列各式的值：（两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三．）因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．（注意纠正学生的错误读法和写法．）师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．师：要特别强调的是：零和负数没有对数．师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？（根据本班情况决定是否设置此问．）生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．（此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从ab=N出发回答较为简单．）师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数．师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.71828……．练习4?计算下列对数：lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．生：10lg105=105．生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式．师：（板书）alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）（再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．）（学生讨论，并口答．）生：（板书）证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．师：你是根据什么证明对数恒等式的？生：根据对数定义．师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．生：a＞0，a≠1，N＞0．师：接下来观察式子结构特点并加以记忆．（给学生一分钟时间．）师：（板书）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2．师：第2题对吗？错在哪儿？师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？（经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式．）生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式alogaN=N．（师用红笔在两处a上重重地描写．）师：最后说说对数恒等式的作用是什么？生：化简！师：请打开书74页，做练习4．（生口答．略）师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质．师：负数和零有没有对数？并说明理由．生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数．师：（板书）性质1：负数和零没有对数．师：1的对数是多少？生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．师：（板书）1的对数是零．师；底数的对数等于多少？生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．师：（板书）底数的对数等于1．师：给一分钟时间，请牢记这三条性质．师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下．生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=am-n．还有（am）n=amn；师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即loga（MN）=logaM+logaN．（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以M·N=ap·aq=ap+q，所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．即loga（MN）=logaM+logaN．?师：这个法则的适用条件是什么？生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．师：（板书）log62+log63=？生：log62+log63=log6（2×3）=1．师：正确．由此例我们又得到什么启示？生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．（给学生三分钟讨论时间．）生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？生：（板书）师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．师：法则（2）的适用条件是什么？生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．师：（板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．师：（板书）例1?计算：生：（板书）解（1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；（由学生判对错，并说明理由．）生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即loga（N）n=n·logaN．师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证Nn=an·logaN=（a·logaN）n，只需证N=alogaN．?由对数恒等式，这是显然成立的．师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有N=alogaN．所以Nn=（alogaN）n=an·logaN．?根据对数的定义有loga（N）n=n·logaN．师：法则（3）的适用条件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．师：观察式子结构特点并加以记忆．生：从左往右仍然是降级运算．师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．（找一好一差两名学生板书．）错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．（师再次提醒学生注意要准确记忆公式．）师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即师：法则（4）的适用条件是什么？生：a＞0，a≠1；N＞0．师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2?用logax，logay，logaz表示下列各式：（生板书）解（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）（师板书）例3?计算：（生板书）解（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容．作业?课本P78．习题第1，2，3，4题．课堂教学设计说明本节的教学过程是：1．从实际问题引入，给出对数定义；2．深刻认识对数定义；3．对数式与指数式的互化；4．对数恒等式alogaN=N；5．对数的性质；6．对数运算法则；7．例题·小结·作业．通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究）；如何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究）．针对高中数学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法．幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1的图象分别如右图．3.二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称性图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝eq\f(x1＋x2,2)对称．(2)一般地，函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()．A．－3B．－1C．1D．3解析∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3.答案A2.如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()．A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B3．(2011·浙江)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x＞0.))若f(α)＝4，则实数α等于()．A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α≤0，,－α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＞0，,α2＝4，))得α＝－4或α＝2，故选B.答案B4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()．A．3B．2或3C．2D．1或2解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fb＝b，,b>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－3b＋2＝0，,b>1.))解得b＝2.答案C5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b＝－2，,2a2＝4.))因此f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋46.函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．[审题视点]分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．解(1)f(x)＝(x－1)2＋1.当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1.当t<1<t＋1，即0<t<1时，g(t)＝f(1)＝1当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1综上可知g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋1≤0，t≤0，,1，0<t<1，,t2－2t＋2，t≥1.))(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．7.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值．(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)取得最小值1；x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5或a≥5.8.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围．[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－eq\f(1,3)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－eq\f(1,3)＜(3－2a)－eq\f(1,3)等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).故a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a＜－1或\f(2,3)＜a＜\f(3,2))).本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性