2.3 数学归纳法 - 公开课

2.3数学归纳法12021/5/9我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是五毛！猜：四毛！22021/5/9问题探究问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是甜的？

（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？每一个东西都尝一口32021/5/9猜想数列的通项公式为：解:验证:逐一验证，不可能！！！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？42021/5/9多米诺骨牌游戏52021/5/9多米诺骨牌游戏如何保证骨牌一一倒下？需要几个条件才能做到？（1）第一块骨牌倒下（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,即第K（K≥1）个骨牌倒下，则一定能推倒紧挨着它的第K+1个骨牌62021/5/9多米诺骨牌游戏1.如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？2.这个游戏对证明数列的通项公式为：有什么启发？72021/5/9多米诺骨牌游戏证明通项公式第一个骨牌倒下（游戏开始的基础）前一块骨牌倒下必能导致后一块骨牌也倒下，即第K（K≥1）个骨牌倒下，则一定能推倒紧挨着它的第K+1个骨牌（游戏继续的条件）（2）结论：所有骨牌都倒下多米诺骨牌与证明通项公式（1）先取n取第一个值：n=1时，猜想成立.那么,当根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立.82021/5/9证明通项公式(2)数学归纳法(1)先看n取第一个值：n=1时，猜想成立.那么,当根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立.(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.

（归纳奠基)(2)假设n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

（归纳递推）只要完成(1)(2)这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.数学归纳法.92021/5/9若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n都成立.归纳奠基归纳递推数学归纳法：两个步骤一个结论缺一不可102021/5/9数学归纳法与多米诺骨牌游戏相似之处数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值n0时命题成立.

相当于多米诺骨牌开始倒的第一张112021/5/9数学归纳法与多米诺骨牌游戏相似之处数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

相当于多米诺骨牌第K个骨牌倒下后，第K+1个骨牌是否跟着倒下KK+1KK+1122021/5/9多米诺骨牌游戏第一个骨牌倒下第K个骨牌倒下，第K+1个骨牌也随后倒下所有骨牌都倒下数学归纳法与多米诺骨牌游戏n取第一个值n0时命题成立.

假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

与正整数n有关的数学命题成立数学归纳法132021/5/9即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立.思考1：甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下：证明：假设n=k时等式成立，即那么上述证法是正确的吗？为什么？结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.142021/5/9思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程，它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？证明：这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式成立152021/5/9证明：这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式成立结论2：用数学归纳法证明n=k+1成立时，必须用到假设n=k时成立的结论，否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑关系,造成推理无效162021/5/9思考2：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程，它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？证明：这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知所要证明的等式成立.利用假设假设172021/5/9例1用数学归纳法证明证明：（1）当n=1时，左边=12=1,右边=1等式成立(2)假设当n=k()时等式成立,即那么,当n=k+1时182021/5/9即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.192021/5/9证明:(1)当n=1时,左边=,(2)假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即右边=此时，原等式成立.那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.

202021/5/91.用数学归纳法证明不等式第一步应证明下述哪个不等式成立（

）2.用数学归纳法证明在验证n=1时，等式左边是（

）巩固练习：如何证明当n=n0时命题成立BC212021/5/9巩固练习：假设当n=k时，如何证明n=k+1时命题成立3.用数学归纳法证明的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）D222021/5/94.用数学归纳法证明，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式两边加上（）A巩固练习：假设当n=k时，如何证明n=k+1时命题成立232021/5/95.用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1的证明，等式左边需要多乘的代数式是（）D巩固练习：假设当n=k时，如何证明n=k+1时命题成立242021/5/92.数学归纳法的一般步骤：若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

验证n